分数の総まとめ！苦手な人でも性質や計算方法を理解できます♪

「分数が分からない・苦手・嫌い！」という小学生の方もう大丈夫です！東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」重要基本事項をまとめました！。読み終える頃には分数に対する苦手意識は吹っ飛んでいるでしょう♪

この記事は長文になっているので、下の目次から「分数のかけ算わり算」や「中学受験用の応用問題」など読みたいところをクリックしてジャンプして下さいね！

分数の基本(小2～3)

分数の要素と呼び方

分母から先に読むので、この分数は、「さんぶんのに」と読みます。

分数の意味(二つ)

小学4年生以降の人には2つ目の意味(分子÷分母)が重要です。

「下÷上」でなく「上÷下うえわるした」であることに注意しましょう。

分数の大きさ

❶分子(上)が大きくなると、数量としても大きくなります。

❷一方、分母(下)が大きくなると、数量としては小さくなります(分け方が細かくなるので)。

小数との関係(数直線)

分数が表す数量(～小5)

上の絵では全体を1としましたが、今度は具体的な数値にして考えます。

分数の種類(小4)

分数は次のように3つの形(種類)があります。

❷帯分数と❸仮分数は同じ大きさを2種類で表したものなので、互いに形を直すことができます。

計算の途中は仮分数、答えを書く時は帯分数と考えると良いです。

帯分数を仮分数に直す

帯分数の整数部分×分母+分子の答えが仮分数の分子になります。分母は変わりません

仮分数を帯分数に直す

仮分数の分子÷分母で余りのある割り算をして、答えが帯分数の整数部分で、余りが分子になります。分母は変わりません。

「詳しい説明を見たい」「問題を解きたい」「分数の大小問題を解きたい」という人は「分数の種類と帯分数から仮分数への変換」を見て下さい。

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分数の操作(小5)

分数は見た目を自由に操作できるのが特徴です。

分数の操作は3種類あります

約分

分子と分母を同じ数で割れなくなるまで割ります。

例えば、3045の場合、こうなります。

既約分数

上の例での23のように、もう約分できなくなった分数を「既約分数きやくぶんすう」と呼びます。

倍分

倍分は約分と違って無限にできます。

「くわしい説明を見たい」「問題を解きたい」という人は「分数の操作方法。約分と倍分(小学5年生)」を見て下さい。

通分

分母が違う分数は足し算引き算ができないので分母をそろえる必要があります。これが通分つうぶんです。

最小公倍数を求めたら、分母を見て何倍にするかを考えて、分子も同じだけ倍します。

 

「くわしい説明を見たい」「もっと問題を解きたい」という人は「分数の通分。分母をそろえる(小学5年生)」を、最小公倍数の求め方を復習したい人は「公倍数の意味(書き出しで求める)」か「2つの数のすだれ算」を見て下さい。

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主に中学受験で問われる応用問題には以下のものがあります。最後の方にまとめてあります。

・約分と分子と分母の和など
・分数の大小比較
・既約分数の個数
・範囲内の　〃
・分数の分割による計算の工夫

分数と小数・整数(小5)

分数計算や割合計算で、分数と小数・整数を一緒に使うことがあります。頭がゴチャゴチャになる人もいるかもしれません。

コツは、迷ったら分数に統一すること　です。

整数→分数

整数は必ず分数で表すことができます。

小数→分数

通常の分数

(最後まで書いてある)小数は分数に直すことができます。

確認テストをどうぞ

「くわしい説明を見たい」「もっと問題を解きたい」という人は「分数と整数・小数」を見て下さい。

循環小数

さらに、小数点以下が永遠に続く小数でも、規則的な数の列になる場合(例えば0.333… これを「循環小数じゅんかんしょうすう」と言います)は工夫することで分数に直せます。

もっと循環小数の問題を解きたい方は「循環小数の問題」を見て下さい

それ以外の小数

円周率3.14…のように、小数点以下が永遠に続いて規則的な数の列にもならない場合は分数に直せません。(「無理数」と言います)

 

分数→小数・整数

分数の意味は「分子÷分母」なので、分子÷分母の割り算をすれば小数にできます。

割り切れない場合でも、答えが規則的な数の列になる場合(例えば13=1÷3=0.333…「循環小数」)は繰り返し出てくる部分に特別な記号をつけて「0.3」のように表せます。

分数と小数の大小比較

分数と小数の大小を比べる時は、小数に揃えるのが簡単なことが多いです。

 

「くわしい説明を見たい」「問題を解きたい」という人は「分数と整数・小数」を見て下さい。

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分数の足し算・引き算
(小3～5)

分母が同じ場合(小3・4)

真分数(小3)

「くわしい説明を見たい」「もっと問題を解きたい」という人は「(小3)分数の加減算➀真分数の足し算引き算」を見て下さい。

帯分数(小4)

帯分数の場合は、横の整数同士を足し算引き算してもOKです。

足し算で分子が大きくなった場合は繰り上げを、引き算で分子の引き算が出来ない場合は繰り下げを行います。

「くわしい説明を見たい」「問題を解きたい」という人は「(小4)帯分数の足し算引き算」を見て下さい。

 

分母が違う場合(小5)

確認テストをどうぞ

「くわしい説明を見たい」「問題を解きたい」という人は「(小5)分母が異なる分数の足し算引き算」を見て下さい。

この「通分をする分数の足し算引き算」が、分数の最大のヤマ場です。ここで分数を苦手になる小学生が多いです。

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苦手になりかけた小学生に分数を教える時は「分数の教え方(小学5年生用)」が参考になると思います。

分数のかけ算・わり算
(小5～6)

分数×÷分数(小6)

足し算引き算より、こちらの方が簡単ですね。

わり算は「÷」の直後の分数の上下を逆さま(逆数)にしてから、かけ算。

確認テストをどうぞ

「くわしい説明を見たい」「問題を解きたい」という人は「分数と分数のかけ算わり算」を、特に「逆数にする理由が知りたい」という人は同記事内の「逆数をかける理由」を見て下さい。

 

分数×÷整数

小6以降のやり方

整数は分母に1をつけて「N1」という分数にして計算します。

確認テストをどうぞ

小5のやり方

小学校では「分数と分数のかけ算割り算」より「分数と整数のかけ算割り算」を先に学習する関係で、1NにせずNのまま計算する方法を習います。

今現在小5の生徒さんとその保護者様は「(小5)分数と整数のかけ算わり算」を見ると良いかもしれません。

小6以上の方はN1に直す方法で大丈夫です。

 

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分数の混合計算(小6)

分数計算の区別のポイント

分数計算のルールの「違い」をしっかり意識させます。一番のポイントは「通分のあるなし」です！

お子さん・生徒さんに「計算規則をもう一回整理して教え直したい」という人は「分数の教え方(小学6年生)」を見て下さい。

最後に総まとめとして、混合計算を解いてみましょう。これが解ければ分数は大丈夫です。

 

「もっと問題を解きたい」という人は「分数の混合四則計算」を見て下さい。

分数の応用問題(中学受験)

約分すると～になる…問題

「約分すると～になる…分数」という問題はたった一つのコツをつかめば和差算・分配算の問題にすることができます。

「約分すると～になる分数」

例えば、約分すると23になる分数の一つ 2030は約分する前の形に直すと10×210×3になります。同じように46は2×22×3に、69は3×23×3にというように、約分すると23になる分数は皆●×2●×3という形になり、分配算で使った➀➁等の丸数字を使って「➁③」と表せます。(分母と分子が3:2の比の関係にある)

分母分子の和

「分子と分母の和が75で約分すると23になる分数」を考えます。

まず「約分すると23になる」なので「➁③」と表せます。
次に「分子と分母の和」つまり➁+③=⑤が75なので、線分図にすると…

➀=75÷5=15なので、分母③=15×3=45、分子➁=15×2=30 から、答えは3045です。

分母分子の差

「分子と分母の差が21で約分すると25になる分数」を考えます。

まず「約分すると25になる」なので「➁⑤」と表せます。
次に「分子と分母の差」つまり⑤－➁=③が21なので、線分図にすると下のようになります。

➀=21÷3=7なので、分子➁=7×2=14、分母⑤=7×5=35、 から、答えは1435です。

どちらかを加減して約分

「分子が8で分母に3を加えて約分すると25になる分数」を求めます。

まず「約分すると25」なので「➁⑤」。➁は分子=8で、⑤は「分母に3を加えた数」＝分母+3なので、線分図にすると…

➀は8÷2=4、⑤=4×5=20=分母+3なので、分母は20-3＝17とわかります。答えは817です。

分数の大小比較

３つのタイプがあります

分母か分子が等しい分数

分母も分子も違う分数→通分

分数と小数の比較→小数にそろえる

既約分数の個数

２つのタイプがあって解法が少し異なります。

通分あり

通分を必要とするタイプは実際に約分をして数えます。そして通分の難易度の違う2つのタイプがあります。

易しいのは「　と　の間にあって、分母が　の分数のうち、既約分数はいくつあるか？」という問題です。

指定された分母にスッキリと通分して「　と　の間の既約分数」に問題を直して約分を行い、残ったものを数えれば答えが出ます。

答えは、　個です。

一方、ちょっと難しいのは「」のように、通分が普通にはできない問題です。

の分母を　にするには分数倍(　倍)しないといけないので、分子も分数倍すると　になってしまいます。これを小数に直すと　になるので、「　と　の間の既約分数の数を求めよ」という問題に直せました。

あとはさっきと同じように実際に通分して残ったもののを数えれば終了～♪です。

約分無し

約分がない場合、例えば「分母が36で1より小さい既約分数の個数(136…3636の間にある既約分数の個数)を求めよ」というような問題の場合は、公倍数の問題になります(数えて出すこともできます)。

1から36までの36の素因数の倍数の個数(ベン図)の余事象の問題

 

単位分数(1N)の和にする問題

2940=1X+1Y+1Z とあらわす時のXYZを求めよ

コツはX=2,3,4…と増やしながら検討していくこと

→X=2: 12(=2040)<2940 なので、12との和に直せる。

2940=2040+940 =12+940  X=2 と分かりました。

次に、940=
1Y+1Z とあらわす時のYZを求めよという問題のつもりで解いていきます。今度はY=2,3,4と増やしながら検討します。

→Y=2: 
940<12(=2040) なのでアウト

→Y=3: 940<13(=13.3…40) なのでアウト

→Y=4: 940<14(=1040) なのでアウト

→Y=5: 15(=840)<940 なので、15との和に直せる。

940=840+140 =15+140  Y=5,Z=40 と分かりました。

以上より、X=2,Y=5,Z=40 で、
2940=12+15+140 とあらわすことができます。

・→「１2×3」を「1２－13」に変形して隣の式と打ち消す

(作成中)

→中学受験の学習法へ

 

次のステップへ

中学受験お悩みアドバイス

ここでは中学受験に関するお悩みに対して、講師歴20年の「そうちゃ」からアドバイスをさせていただきます。

中学受験しようか迷っている

公立小学校に通っている場合、中学受験か高校受験のどちらかを選択することになります(中には両方する人もいます)が、どちらが良いのか…迷っているご家庭も多いでしょう。

関連記事「中学受験と高校受験の比較」で徹底的に比較しました。

受験の準備、何をすれば？

何の準備もしないのは不安だけど、低学年のうちから「勉強、勉強」と詰め込むのは可愛そう…とお悩みのご家庭は多いでしょう。

必要最低限度の準備をしつつ、勉強以外の趣味や習い事もすると受験にも良い影響があります。

参考記事「低学年の間の受験準備」に詳しく書きました。

どの塾が良いの？？？

受験を始めるとして、どの塾に行くのかというのもお悩みポイントでしょう。

塾選びは「難関中に何人合格したか」という進学実績だけでなく、塾の特徴とお子さんの個性・御家庭の教育方針をよくすり合わせて選ばないと後で大変なことになります！

「大手集団塾の特徴を比較！塾の選び方」に詳しく書きました。

小4・小5から受験をはじめても大丈夫？

普通中学受験は小3から始めますが、小4・小5で受験を志すお子さんもいるでしょう。

ただ、集団塾のカリキュラムは新小4(3年)の2月から始まっているので、入塾前に準備が必要なこともあるでしょう。

「集団塾に途中から入る準備」で詳しく書いたので見て下さい。

集団塾内のクラスを上げたい！

塾内で上のクラスに行きたい。または今のクラスを維持したいというのは当然の悩みです。

小4後半・小5になるとそれまでの学習の「穴」ができてくるので、クラス分けテストの範囲だけでなく「穴」埋めの復習と再定着をしないと点数アップが出来ません。

参考記事「塾内の組分けテストの成績を上げてクラスをアップするには？」を是非見て下さい！

6年なのに志望校に偏差値が足りない…

6年で始まる範囲の無い摸試で志望校に偏差値が足りない…というのは、ほとんどの受験生に共通の悩みです。

ただ、5年までは「算数の実力をつける・成績上げる」ことが大事でしたが、6年では頭を切り替えて「志望校の入試問題で合格点を取る」ことを目標にすべきです。

参考記事「6年生時の志望校対策」を是非見て下さい！

受験はしないけど…

受験は考えていないけれど、学校の勉強だけでは将来の高校受験・大学受験が不安…というご家庭もあるかと思います。

中学に入ると部活も始まり学習時間を確保できない生徒さんが多く、入学時の学校内の位置を変えるのが難しくなるので、小学生のうちに「地頭」を良くしておくのは非常に大切です。

参考記事「高校受験のための小学生の勉強法」を是非見て下さい。