分数の総まとめ。分数を学び直したい・教え直したい・総復習したい人へ。

当サイトの分数記事一覧

(まとめ)分数の総まとめ(このページ)
(小3)分数基礎~分数に慣れる
(小4)分数の種類~仮分数から帯分数の変換

(小5)分数と整数/小数~整数/小数から分数の変換
(小5)約分と倍分~計算と通分の基礎
(小5)通分~分母をそろえる方法
(小3~5)分数の足し算・引き算
(小3)加減算①~真分数の足し算・引き算
(小4)加減算②~帯分数の足し算引き算
(小5)加減算③~通分をする足し算引き算
(小5)分数と整数のかけ算、割り算
(特1)教え方(小5)~分数が苦手になったら
(小6)分数同士のかけ算、割り算
(特2)教え方(小6)~分数が苦手になったら
(復習)分数の計算まとめ
(小6)分数の応用問題(約分/分割/整数化)

「分数が分からない・苦手・嫌い!」という小学生の方、「子供が分数を理解できないので基礎から教えたい」という保護者の方、または「分数を忘れてしまったので学び直したい!」という社会人の方へ。分数が苦手・嫌いという人は多いですが、復習したいというあなたはエライですよ!そんなあなたのために、東大卒講師歴20年の管理人が分数の重要基本事項を分かりやすく一気に解説します。この記事を読み終える頃には分数に対する苦手意識は吹っ飛んでいるでしょう♪

分数の基本(小2~3)

爽茶そうちゃ

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_teacher(プロフィール)です。

まずは分数の基本事項をサッと復習します。
分数の計算を復習したい人はコチラにジャンプして下さい。

分数の要素と呼び方

分母から先に読むので、この分数は、「さんぶんのに」と読みます。

分数の意味(二つ)

分数の意味(例:23)

❶1個のモノを等分したいくつか
(例)23→1個のモノを三等分したうちの二つ

❷分子÷分母 (例)23→2÷3

初めて学ぶ小学生外の人には2つ目の意味(分子÷分母)が重要です。

「下÷上」でなく上÷下うえわるしたであることに注意しましょう。

確認テスト(タッチで解答表示)

13を割り算に直しなさい(計算はしなくてもよい)
→( 上(分子)÷下(分母)で1÷3 )

分数の大きさ

分子(上)が大きくなると、数量としても大きくなります。

一方、分母(下)が大きくなると、数量としては小さくなります(分け方が細かくなるので)。

確認テスト(タッチで解答表示)

一番大きい分数はどれですか?
①(571737)
→( 分母が同じなので、分子が大きいものを選んで、57 )
②(2723211)
→( 分子が同じなので、分子が小さいものを選んで、23 )

小数との関係(数直線)

小数と分数の関係(0.1=110)

0から1までの長さを十等分したのが110です。

確認テスト(タッチで解答表示)

➀0.3を分数にすると?→(0.1が3個分なので、310)
➁0.7を分数にすると?→(0.1が7個分なので、710
)

「もっと詳しい説明を見たい」「問題を解いてみたい」という人は「分数の基礎(小学3年生)」を見て下さい。

分数が表す数量(~小5)

上の絵では全体を1としましたが、今度は具体的な数値にして考えます。

分数の大きさ

「AのCB」=A÷B×C
(例)12kgの23→12÷3×2=8g

確認テスト(タッチで解答表示)

➀1000mの25は何m?→(1000÷5×2=400m)
25kmは何m?→(1km=1000m なので、25kmは1000mの25と同じ)→(1000÷5×2=400m)
56時間は何分?→(1時間=60分なので、60分の56と同じ)→(60÷6×5=50)

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分数の種類(小4)

分数は次のように3つの形(種類)があります。

分数の種類

真分数しんぶんすう   ❷帯分数たいぶんすう   ❸仮分数かぶんすう
23  123  53

❷帯分数と❸仮分数は同じ大きさを2種類で表したものなので、互いに形を直すことができます。

計算の途中は仮分数答えを書く時は帯分数と考えると良いです。

帯分数仮分数に直す

帯分数の整数部分×分母+分子の答えが仮分数の分子になります。分母は変わりません

確認テスト(タッチで解答表示)

仮分数に直しなさい。
➀245→(2×5+4=14)→(145)
➁327→(3×7+2=23)→(237)

仮分数帯分数に直す

仮分数の分子÷分母で余りのある割り算をして、答えが帯分数の整数部分で、余りが分子になります。分母は変わりません。

確認テスト(タッチで解答表示)

帯分数に直しなさい。
112→(11÷2=5あまり1)→(512)
135→(13÷5=2あまり3)→(235)

「詳しい説明を見たい」「問題を解きたい」「分数の大小問題を解きたい」という人は「分数の種類と帯分数から仮分数への変換」を見て下さい。

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分数の操作(小5)

分数は見た目を自由に操作できるのが特徴です。

分数操作のルール

分母と分子に同じ数をかけても(倍分)
同じ数で割っても(約分)
大きさは変わらない

分数の操作は3種類あります

分数の操作
  • 約分やくぶん→分子と分母を同じ数で割る
  • 倍分ばいぶん→分子と分母に同じ数をかける
  • 通分つうぶん→2つ以上の分数をそれぞれ倍分して
    分母を同じ数にする

約分

分子と分母を同じ数で割れなくなるまで割ります。

例えば、3045の場合、こうなります。

既約分数

上の例での23のように、もう約分できなくなった分数を「既約分数きやくぶんすう」と呼びます。

確認テスト(タッチかマウスオーバー)

3042
を約分すると?→(3042-(÷2)→-(÷2)→1521-(÷3)→-(÷3)→57)

倍分

倍分は約分と違って無限にできます。

確認テスト(タッチで解答表示)

12=(3)6=15(30)
➁1=3(3)=(7)7…(1は分子と分母が同じ分数になる)

「くわしい説明を見たい」「問題を解きたい」という人は「分数の操作方法。約分と倍分(小学5年生)」を見て下さい。

通分

分母が違う分数は足し算引き算ができないので分母をそろえる必要があります。これが通分つうぶんです。

通 分

分母を(最小公倍数に)そろえる事
例:1213を通分
…分母を2と3の最小公倍数6にそろえる
12→(分母分子を3倍)→36
13→(分母分子を2倍)→26

最小公倍数を求めたら、分母を見て何倍にするかを考えて、分子も同じだけ倍します。

 

確認テスト(タッチで解答表示)

2315を通分すると?
→分母を(3と5の最小公倍数15)にそろえると、(23–(分子5倍)→–(分母5倍)→101515–(分子3倍)→–(分母3倍)→315)で、答え(1015,315)

「くわしい説明を見たい」「もっと問題を解きたい」という人は「分数の通分。分母をそろえる(小学5年生)」を、最小公倍数の求め方を復習したい人は「公倍数の意味(書き出しで求める)」か「2つの数のすだれ算」を見て下さい。

通分に関連する応用問題(中学受験)

主に中学受験で問われる応用問題には以下のものがあります。最後の方にまとめてあります

・約分と分子と分母の和など
・分数の大小比較
・既約分数の個数
・範囲内の 〃
・分数の分割による計算の工夫

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分数と小数・整数(小5)

分数計算や割合計算で、分数と小数・整数を一緒に使うことがあります。頭がゴチャゴチャになる人もいるかもしれません。

コツは、迷ったら分数に統一すること です。

整数→分数

整数は必ず分数で表すことができます。

整数→分数

1を分母につける
(例) 5 → 51

小数→分数

通常の分数

(最後まで書いてある)小数は分数に直すことができます。

小数→分数

●小数第一位までの数→10を分母につけて約分
(例)0.441025

●小数第二位までの数→100を分母につけて約分

(例)0.1515100320

●小数第三位までの数→1000を分母につけて約分
(例)0.12512510002520054018

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

➀0.6→(61035)
➁0.36→(36100925)
③0.056→(56100028500142507125)

「くわしい説明を見たい」「もっと問題を解きたい」という人は「分数と整数・小数」を見て下さい。

循環小数

さらに、小数点以下が永遠に続く小数でも、規則的な数の列になる場合(例えば0.333… これを「循環小数じゅんかんしょうすう」と言います)は工夫することで分数に直せます。

もっと循環小数の問題を解きたい方は「循環小数の問題」を見て下さい

それ以外の小数

円周率3.14…のように、小数点以下が永遠に続いて規則的な数の列にもならない場合は分数に直せません。(「無理数」と言います)

 

分数→小数・整数

分数の意味は「分子÷分母」なので、分子÷分母の割り算をすれば小数にできます。

割り切れない場合でも、答えが規則的な数の列になる場合(例えば13=1÷3=0.333…「循環小数」)は繰り返し出てくる部分に特別な記号をつけて「0.3」のように表せます。

分数と小数の大小比較

分数と小数の大小を比べる時は、小数に揃えるのが簡単なことが多いです。

 

「くわしい説明を見たい」「問題を解きたい」という人は「分数と整数・小数」を見て下さい。

爽茶そうちゃ
ここまでが分数の計算をするための準備でした。次から分数の計算を見ていきます。
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分数の足し算・引き算
(小3~5)

爽茶そうちゃ
ここから分数の計算を復習します。足し算引き算の方は通分が必要になってくるぶん、かけ算割り算より難しいです。
丁寧に復習して身につけましょう。

分母が同じ場合(小3・4)

真分数(小3)

真分数の足し算・引き算(小3)

分子だけを足し引きする。分母はそのまま
例1:15+25=1+25=35
例2::3525=325=15

確認テスト(タッチで解答表示)

37+47は?→(3+47=77=1)
1113813+413は?→(11-8+413=713)

「くわしい説明を見たい」「もっと問題を解きたい」という人は「(小3)分数の加減算➀真分数の足し算引き算」を見て下さい。

帯分数(小4)

帯分数の場合は、横の整数同士を足し算引き算してもOKです。

帯分数の足し算・引き算(小4)

整数分子同士を足し引きする。分母はそのまま

足し算で分子が大きくなった場合は繰り上げを、引き算で分子の引き算が出来ない場合は繰り下げを行います。

帯分数のくり上げ・くり下げ

・4117→4+117→4+147→547
・413→3+1+13→3+33+13→343

確認テスト(タッチで解答表示)

➀567-327は?→(整数と分子を引いて、247)
➁145+235は?→(375→3+75→3+125425)
③415-135は?→(415→3+1+15→3+55+15→365としてから、365-135=235)

「くわしい説明を見たい」「問題を解きたい」という人は「(小4)帯分数の足し算引き算」を見て下さい。

 

分母が違う場合(小5)

分母が異なる足し算引き算

通分してから、分子だけを足し引き
12+133626=56

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

(作成中)

「くわしい説明を見たい」「問題を解きたい」という人は「(小5)分母が異なる分数の足し算引き算」を見て下さい。

この「通分をする分数の足し算引き算」が、分数の最大のヤマ場です。ここで分数を苦手になる小学生が多いです。

苦手になりかけた小学生に分数を教える時は「分数の教え方(小学5年生用)」が参考になると思います。

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分数のかけ算・わり算
(小5~6)

分数×÷分数(小6)

足し算引き算より、こちらの方が簡単ですね。

分数×分数(小6)

分子同士分母同士をかければ良い

整数と帯分数は仮分数に直して計算

計算途中で約分をしてもよい

答えるときは帯分数に直す

わり算は「÷」の直後の分数の上下を逆さま(逆数)にしてから、かけ算。

分数÷分数(小6)

分子分母をひっくり返してわり算かけ算にする

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

(1)23×57=( 2×53×7=1021 )
(2)14÷25=( 1×54×2=58 )
(3)23×225=( 123×5=41×5=85=135 )
(4)37×1415÷25=( 3×14×57×15×2=11=1 )

「くわしい説明を見たい」「問題を解きたい」という人は「分数と分数のかけ算わり算」を、特に「逆数にする理由が知りたい」という人は同記事内の「逆数をかける理由」を見て下さい。

 

分数×÷整数

小6以降のやり方

整数は分母に1をつけて「N1」という分数にして計算します。

分数×整数(小6)

16×416×4141=21=13

分数÷整数(小6)

16÷416÷41==16×14==14=124

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

(作成中)

小5のやり方

小学校では「分数と分数のかけ算割り算」より「分数と整数のかけ算割り算」を先に学習する関係で、のまま計算する方法を習います。

*分数×整数(小5)

分子整数をかければ良い
分数と整数のかけ算の計算のやり方。分子と整数をかければ良い

*分数÷整数(小5)

分母整数をかける
分数÷整数の計算方法を図解したもの

今現在小5の生徒さんとその保護者様は「(小5)分数と整数のかけ算わり算」を見ると良いかもしれません。

小6以上の方はN1に直す方法で大丈夫です。

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分数の混合計算(小6)

爽茶そうちゃ
分数の学習が一通り終わった直後は、いろんなルール(特に足し算引き算とかけ算わり算のルールの違い)が頭の中でゴチャゴチャになっています。
一度、頭を整理しましょう。

分数計算の区別のポイント

分数計算のルールの「違い」をしっかり意識させます。一番のポイントは「通分のあるなし」です!

分数の計算方法の違い

足し算・引き算→通分してから計算

(例)12+13=36+26=36 

かけ算・割り算→通分せずに計算

(例)12×13=1×12×3=16

お子さん・生徒さんに「計算規則をもう一回整理して教え直したい」という人は「分数の教え方(小学6年生)」を見て下さい。

最後に総まとめとして、混合計算を解いてみましょう。これが解ければ分数は大丈夫です。

確認テスト(タッチで解答表示)

(作成中)

 

確認テスト(タッチで解答表示)

(作成中)

「もっと問題を解きたい」という人は「分数の混合四則計算」を見て下さい。

爽茶そうちゃ
以上で分数の重要基本事項は終了です。次は中学受験用の応用です!
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分数の応用問題(中学受験)

約分すると~になる…問題

「約分すると~になる…分数」という問題はたった一つのコツをつかめば和差算・分配算の問題にすることができます。

約分すると…問題のコツ

約分すると23になる分数=」と表して線分図の問題にする

「約分すると~になる分数」

例えば、約分すると23になる分数の一つ 2030は約分する前の形に直すと10×210×3になります。同じように462×22×3に、693×23×3にというように、約分すると23になる分数は皆●×2●×3という形になり、分配算で使った➀➁等の丸数字を使ってと表せます。(分母と分子が3:2の比の関係にある)

分母分子の和

「分子と分母の和が75で約分すると23になる分数」を考えます。

まず「約分すると23になる」なのでと表せます。
次に「分子と分母の和」つまり➁+③=⑤が75なので、線分図にすると…

➀=75÷5=15なので、分母③=15×3=45、分子➁=15×2=30 から、答えは3045です。

確認テスト(タッチで解答表示)

分子と分母の和が56で約分すると35になる分数は?
→約分すると35になる分数は(  )と表せる。
→( ⑤+③=⑧=56なので、➀=56÷8=7 )
→( 分母⑤=7×5=35、分子③=7×3=21 、答えは2135 )

分母分子の差

「分子と分母の差が21で約分すると25になる分数」を考えます。

まず「約分すると25になる」なのでと表せます。
次に「分子と分母の差」つまり⑤-➁=③が21なので、線分図にすると下のようになります。

➀=21÷3=7なので、分子➁=7×2=14、分母⑤=7×5=35、 から、答えは1435です。

確認テスト(タッチで解答表示)

分子と分母の差が45で約分すると27になる分数は?
→約分すると27になる分数は(  )と表せる。
→( ⑦-➁=⑤=45なので、➀=45÷5=9 )
→( 分母⑤=9×7=63、分子③=9×2=18 、答えは1863 )

どちらかを加減して約分

「分子が8で分母に3を加えて約分すると25になる分数」を求めます。

まず「約分すると25」なので。➁は分子=8で、⑤は「分母に3を加えた数」=分母+3なので、線分図にすると…

➀は8÷2=4、⑤=4×5=20=分母+3なので、分母は20-3=17とわかります。答えは817です。

確認テスト(タッチで解答表示)

分子と分母の差が45で約分すると27になる分数は?
→約分すると27になる分数は(  )と表せる。
→( ⑦-➁=⑤=45なので、➀=45÷5=9 )
→( 分母⑤=9×7=63、分子③=9×2=18 、答えは1863 )

分数の大小比較

3つのタイプがあります

分母か分子が等しい分数

分母か分子のどちらかが等しい分数の大小比較は上で説明しました。
分数の大小比較①(復習)

分母が等しい→分子が大きければ、分数全体も大きい
分子が等しい→分母が小さければ、分数全体も大きい

分母も分子も違う分数→通分

一方13211635のように分母も分子も等しくない場合は…まず通分して分母をそろえてから分子を比較します。21と35の最小公倍数は105なので105に通分します。(公倍数の求め方を忘れた人は「公倍数の求め方(書き出し)」か「二数のすだれ算」を見て下さい)

1321-(分子分母5倍)→451051635の-(分子分母3倍)→48105
となるので、分子を比べると、1635の方が大きいと分かりますね。
分数の大小比較②

分母も分子も等しくない場合は通分して分子を比べる。
13211635 → 4510548105 → 1321<1635

分数と小数の比較→小数にそろえる

小数と比べる時は小数に揃えるのが簡単です。
詳しくはこちら

既約分数の個数

2つのタイプがあって解法が少し異なります。

既約分数の個数(通分あり)
  • 通分ありタイプ
    →分母を通分してそろえて、実際に約分する

    • スッキリ通分できる場合
    • スッキリ通分できない場合
  • 通分なしタイプ
    →公倍数の個数(ベン図)の問題にする

通分あり

通分を必要とするタイプは実際に約分をして数えます。そして通分の難易度の違う2つのタイプがあります。

易しいのは「 と の間にあって、分母が の分数のうち、既約分数はいくつあるか?」という問題です。

指定された分母にスッキリと通分して「 と の間の既約分数」に問題を直して約分を行い、残ったものを数えれば答えが出ます。

答えは、 個です。

一方、ちょっと難しいのは「」のように、通分が普通にはできない問題です。

の分母を にするには分数倍( 倍)しないといけないので、分子も分数倍すると になってしまいます。これを小数に直すと になるので、「 と の間の既約分数の数を求めよ」という問題に直せました。

あとはさっきと同じように実際に通分して残ったもののを数えれば終了~♪です。

約分無し

約分がない場合、例えば「分母が36で1より小さい既約分数の個数(1363636の間にある既約分数の個数)を求めよ」というような問題の場合は、公倍数の問題になります(数えて出すこともできます)。

1から36までの36の素因数の倍数の個数(ベン図)の余事象の問題

 

分数の分割による計算の工夫(通分)

・→「2×3」を「113」に変形して隣の式と打ち消す

整数化問題(かけ算・割り算)

(作成中)

→中学受験の学習法へ

 

この後は、あなたの目的に応じてどの順に記事を読んだら良いか提案していきます。

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目的別の学習メニュー

低学年のうちに中学受験の準備がしたい

公立の小学校では2年生から6年生の五年間をかけて分数を学びます。

もし中学受験をするなら中学受験の勉強が本格化する小4までに、一通りの基礎的内容を理解しておくと他の受験生に差をつけることが可能になります。

また、算数が苦手な子は分数のような計算分野を得意にしておくとテストの「基礎点」が確保できるので学習全体に良い影響を及ぼします。

小4時に2年分先に進んでいるのを目標に学習メニューを記します。他の分野での予習はさほど必要ありません。当ブログの記事もご利用下さい。

中学受験の予習メニュー

(小2三学期まで)分数の基礎
(小2三学期まで)真分数の足し算引き算
(小2春休み)分数の種類
(小3一学期)帯分数の足し算引き算
(小3夏休み)約分・倍分
(小3夏休み)通分
(小3二学期)分母が異なる分数の足し算引き算
(小3冬休み)分数と分数のかけ算割り算
(小3三学期)上記事項の総復習

 

「おうぎ形の面積・弧の長さの公式」のように分数で学ぶと理解がラクな項目もあります。分数の四則計算の基本をサクッとマスターするための小4・5向けのメニューです。

 

教科書の内容を確実にしたい

「中学受験は考えていないが、算数をしっかり身につけたい」方のための小学校の標準的な進度に合わせたメニューです。

分数しっかり定着

(小2・3)分数基礎
(小3三学期)真分数の足し算引き算
(小4)分数の種類
(小4)帯分数の足し算引き算
(小5二学期)約分倍分
(小5二学期)通分
(小5二学期)分数と小数整数
(小5二学期)分母が異なる分数の足し算引き算

(小5冬休み)5年生への分数の教え方
(小5三学期)分数と整数のかけ算割り算
(小5春休み)6年生への分数の教え方
(小6一学期)分数と分数のかけ算割り算
(小6一学期)分数の四則計算

 

公立中学入学に備えて分数を復習したい

中学に進むと、文字式・方程式が登場し、文字の計算もしなくてはなりません。

そしてその計算は分数で行われます。小数は分数に直します。こんな感じです。

$\frac{a+2b}{3}-\frac{3a-b}{4}$
$=\frac{4(a+2b)-3(3a-b)}{12}$
$=\frac{4a+8b-9a+3b}{12}$
$=\frac{-5a+11b}{12}$

したがって、中学入学前に分数に対する苦手意識を消しておくのが大切です。

春休みの宿題と一緒に、以下のメニューはいかがでしょうか?

分数が理解できましたか?

 

爽茶そうちゃ

最後までお読みいただきありがとうございました。この記事があなたとお子様の役に立てたら嬉しいです♪

他の分野のまとめもありますので、いかがですか?

 

小数の総まとめ

概数の総合案内

倍数・約数の総合案内

公約数・公倍数の総合案内

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