分数と分数の割り算÷とかけ算×を図解。なぜ逆数の掛け算になるのか?理由も説明!小学6年生

「分数と分数の掛け算と割り算のやり方が良くわからない」「逆数をかけるのはなぜ?」という小学6年生・中学受験生の方、お待たせしました!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく教えますよ♪6年生になる春休みの予習、6年生の夏休みの復習にオススメです。

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分数と分数のかけ算

爽茶そうちゃ

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_tutor(プロフィール)です。

今回の「分数のかけ算わり算」は前に出てきた「分数の足し算引き算」より実は簡単です。安心して下さい。

分数×整数(復習)

分数と分数のかけ算の前に、小5で習った分数と整数のかけ算を簡単に復習します。まとめると、こうでした。

分数×整数(小5)

分子整数をかければ良い

計算するときは仮分数に直す
計算途中で約分をしてもよい

答えるときは帯分数に直す

これを見て「分数×整数」が復習したくなった人は「分数と整数のかけ算・割り算」を見直して下さい。

「小学5年の文章題(毎日のドリル)」などの問題集を買うのも良いですね(「毎日のドリル」シリーズの詳しい紹介はこちら)

では本題の「分数と分数のかけ算」に行きましょう!

 分数×分数のルール

さて、上にあった計算をもう一度見て下さい。

この「×2」を一番簡単な分数に書き換えると…(▼をクリックして答を表示)


以前習った「 A=A1」を使うと、2=21 と直せますね。

これを使って、13×2 を「分数×整数」から「分数×分数」に直すと…


13×2 → 13×21 と直せますね! そして、答えは変わらないはずなので

という式ができるはず。

この式を見ると、分子同士、分母同士をかけ算をして

という計算をしているのが分かります。

つまり「分子同士・分母同士をかけ算する」というのが分数×分数のルールです。

ホント?という方は、もう一つの例を確かめて下さい。


こういう計算を考えます

この計算は、三等分したパンをさらに二等分する、という意味なので図にするとこうなります。

三等分をさらに二等分するので、分け方が二倍になり元のパンを六等分したうちの1ピースつまり16になります。

今の作業を計算にするとこうなります。

この式の分子と分母を見比べれば…

 やはり、分数×分数の場合、分子同士、分母同士をかけ算すれば良いと確認できますね。
o(・∀・)o

分数×分数(1)

分子同士、分母同士をかけ算する
(例:13×12=1×13×2=16)

足し算引き算に比べると、通分をしなくて良いので単純なルールだと思いませんか?

では、試しに1問練習してみましょう。

例題1(分数×分数)

23×12を計算しなさい。
注意!

計算結果をよく見て下さい。

図解(▼をクリック)

先程の公式通り書くとこうなります。

しかし26は2で約分できるので2613が答えです。13

ウラワザ

今のやり方は、かけ算してから約分(割り算)をしていて二度手間ですね。

実は、分数×整数でやったように、分数のかけ算は、真上や真下だけでなく斜め上や斜め下とも約分が出来ます

先程の計算式の途中で、こんな形がでてきましたが

分子にある2と分母にある2を約分して(斜め上と斜め下でも約分ができるんです!)…

 と、一気に答えが出せるのです。

分数×分数(2)


(かけ算をする前に分子と分母を約分しても良い)

この後は、途中で約分をしていきましょう。

爽茶そうちゃ
「分数×分数」のルールは以上です!
通分が必要ないので、足し算引き算よりずっと簡単ですね。

実際の解き方・教え方

ホントに苦手

前回の記事でも書きましたが、とにかく分数に苦手意識を持つ生徒が多いです(算数の成績が良い子でも)。

したがって分数を教えるときは「簡単だよ」という声かけをしながら実際に簡明なやり方を示し、それをステップを踏んで確実に解いていく感覚を身に着けさせましょう。

手順(3ステップ)

❶準備
等号に続いて長い横線を書いて、そこに数値を移す

❷約分
分母と分子で約分が出来ないか調べて、実行させる

❸かけ算
分母同士・分子同士をかけ算して答えを出す。

「3ステップ」ということを明示し、1つの作業に集中させます。そして1ステップ終わるごとに意識的にリラックスさせて全体感覚(「あ、今のが全体の2番目だな。あと1つだな」)を取り戻させるのが重要です。

では、類題で練習して完全に身につけて下さい!

問題で定着

●練問1-(1)

35×25を計算しなさい
ヒント

ルール通り計算します

図解

35×25=3×25×5=625です。625

●練問1-(2)

14×314を計算しなさい
ヒント

帯分数は…に直します。

図解

帯分数は仮分数に直します。314→(3×4+1=13)→134

あとはかけ算して14×134=1×134×4=1316です。1316

●練問1-(3)

513×154 を計算しなさい
ヒント

途中である工夫が出来ます

図解

まず帯分数を仮分数に直します。
513→(5×3+1=16)→163、145→(1×5+4=9)→95

そして仮分数同士のかけ算をします。途中で約分もできます。

163×95=16×93×5⇒(分母の9と分子の3を3で約分)⇒16×31×5=485

答えは帯分数に直します。
485→(48÷5=9余り3)→953です。953

●練問1-(4)

27×79×34 を計算しなさい
ヒント

3つの分数でもやり方は同じ

図解

ゲームのように途中でバンバン約分します♪


16

●練問1-(5)

214×4×16 を計算しなさい
ヒント

整数が入っていても同じ

図解

まず帯分数と整数を仮分数に直してしまいましょう。

21494、4→41です。

仮分数同士のかけ算をします。途中で約分をして、結果は帯分数にします。

112

これで分数×分数の練習は終了です。もう一度まとめます。

分数×分数の計算

分子同士分母同士をかければ良い

整数と帯分数は仮分数に直して計算

計算途中で約分をしてもよい

答えるときは帯分数に直す

爽茶そうちゃ

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つぎは割り算です。難しくありませんから、安心して下さいね♪

春休みを迎える小学生と保護者様へ
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分数と分数のわり算

爽茶そうちゃ
分数の割り算は、かけ算と「ほとんど同じ」です。
かけ算が出来た人なら簡単ですよ!

分数÷整数(復習)

小学5年生の三学期に「分数と整数のわり算」を学習しました。復習としてまとめると、こんな感じでした。

分数÷整数の計算

分母整数をかける

❷計算するときは仮分数にする
❸計算途中で約分をしてもよい

❹答えるときは帯分数にする

分母にかけ算」というのが特徴でした。だいたい思い出せたら「分数÷分数」をはじめましょう。

全然わからない!」という人は「分数と整数のかけ算・わり算」を見直してから、戻ってきて下さいね!

分数÷分数のやり方

さて、上にだした「まとめ」の問題

の「」を一番簡単な分数に書き換えるとどうなりますか?(▼をクリック)


以前勉強した A=A1 を使って、2=21 とできますね!

それを使って、さきほどの式を「分数÷整数」から「分数÷分数」に直すとどうなりますか?


と書き換えられます!

そして、答えは変わらず16のハズですから、

という式ができますね。この式の答えの分母の613の分子「3」と12の分母「2」のかけ算で出来ていました。

分子と分母をかけていたんですね。

では答えの分子の1はどこから出てきたのか?というと…13の分子「1」と12の分母「1」のかけ算で出来ているのです。つまり…

こういう計算をしていたのですね。

ちょっと長くなりましたが…このように分数÷分数の場合、「÷」の後ろの分数の分子と分母をひっくり返したものをかけ算すれば良いのです。

ちなみに、この「分数の分子と分母をひっくり返した数」を逆数(ぎゃくすう)と言います。

分数÷分数

❶「÷」のすぐ後の分数の分子と分母をひっくり返して、かけ算

❷分母と分子をひっくり返した数=逆数ぎゃくすう
(例)23の逆数は32

本来は、ここで類題で練習を!といきたいのですが…

逆数をかける理由

理由を説明する理由


突然ですが質問です!

私の20年間の講師生活で「分数の割り算がどうして逆数のかけ算になるのか?」という質問を受けたことが何回くらいあると思いますか?小学生に戻ったつもりで考えて下さい。

分数の足し算引き算って通分があって面倒くさかったですね? ですから、かけ算わり算を習う前は「あんなに大変だった足し算引き算の後に来る分数のかけ算わり算は、どんなに難しいんだろう…分からなかったらどうしよう…」とビクビクしていませんでしたか?

そんな時に先生(私)から「かけ算わり算の方が簡単だよ♪」「分子・分母同士かけるだけだよ!」「ひっくり返してかけるだけだよ!!」と説明されたとしたら…「どうして?!」なんて質問をするでしょうか?それよりも「そんな簡単でいいの?!良かった!!」と驚き・安心して、問題を解こうとしますよね?

というわけで…質問の答えに戻ると、20年間で「分数の割り算がどうして逆数のかけ算になるの?」と質問する生徒はほとんどいませんでした!!(というかゼロだと思う…)

ですから、この記事を書くための事前調査で、ネットでは「分数の割り算がどうして逆数のかけ算になるのか?」の説明があふれかえっていることには少し驚きました…がネットにあふれかえっているということは知りたい方が多いという事ですから…当ブログでも説明をしてみよう、というわけです。

説明その1

一番最初に習った分数の意味を思い出してみましょう。

12=二等分したうちの一つですから「6×12」は6を二等分したうちの一つで、「6÷2」と同じ意味ですね。

そして2=21なので「6÷2」と「6÷12」と「6×21」は全部同じ意味です。

というわけで÷12×21 は同じ意味になり分数の割り算は「逆数をかける」と同じと分かります。(これは、三角形の面積などで感覚的に使い慣れていますよね!)
★三角形の面積=底辺×高さ÷2=底辺✕高さ×12

説明その2


理由その1で納得してほしいのですが…純粋に計算式上で考えるとこうなります。

分数BAのもう一つの意味は「B÷A」なので「10÷42」は「10÷(4÷2)」と同じ意味で、答えは「10÷(4÷2)」=10÷2=5になるはずです。

ところで、「10÷(4÷2)」の(4÷2)の「かっこ」を外すと「10÷4×2」 と「 10÷4÷2」 のどちらになるでしょうか?
答えが5になる方が正解なので 「10÷4×2」 の方ですね。
そして「10÷4×2」 を分数にすると「104×210×24」になり、「10×24」の10をかけ算として前に出すと「10×24」と直せます。

このようにして、分数の割り算「10÷42」を「10÷(4÷2)」→「10÷4×2」→「10×24」→「10×42」と逆数の掛け算に直せました。

中学で10-(4-2) の「カッコ」を外すと 10-4+2 になる(マイナスを引くとプラスになる)のを学びますが、それと同様(割り算を割るとかけるになる)です

というわけで、少し話がそれましたが(汗)、分数÷分数の計算を類題で練習します。その前に…

実際の解き方と教え方

「どうしてかけ算になるのか」よりもずっと大事なのが「実際の計算を素速く正確に行う手順」です。

分数に苦手意識を持つ子が多いので「ほとんど、かけ算と同じだよ!」「簡単だよ!」と明るく楽しい雰囲気で解かせましょう。

実際、かけ算と同じ3ステップです。

手順(3ステップ)

❶準備
等号に続いて長い横線を書いて、そこに数値を移す。この時、割り算の分数は分子・分母を上下逆に移す

*本当にはじめのうちは、分数の掛け算に書き直してから数値を移しても良いですが、慣れてきたら書き直さずに直接移しても良いでしょう。

❷約分
分母と分子で約分が出来ないか調べて、実行させる

❸かけ算
分母同士・分子同士をかけ算して答えを出す。

かけ算の時と同様に、ステップを区切って、1つの作業に集中させます。

以上を頭に入れて、類題で練習しましょう。

問題で定着

●練問2-(1)

25÷37 を計算しなさい
ヒント

ルール通り計算すればOK

図解
解答を表示

「÷」記号の後ろの分数37の分母と分子をひっくり返して73にしてからかけ算をします。25÷3725×73

あとは分数と分数のかけ算で、分子同士分母同士をかけます。

25×732×75×31415です。1415

簡単ですね?

●練問2-(2)

421÷27 を計算しなさい
図解
解答を表示

かけ算の時と同じように途中で約分ができます。

421
÷27=421
×72=4×721×2
=2×13×1=23

答:23

●練問2-(3)

415÷423 を計算しなさい
ヒント

◯分数は●分数に直しましょう

図解
解答を表示

帯分数を仮分数に直してから、分子と分母をひっくり返して割り算かけ算に変えます。

415÷423=415÷143=415×314

あとは途中で約分しながらかけ算をして答えを出します。

4×315×14=2×15×7=235 235

●練問2-(4)

1120÷715 を計算しなさい
ヒント

答える前に…

図解
解答を表示

わり算をかけ算に直し、途中で約分しつつ、かけ算を行います。1120÷715=1120×157=11×1520×7=11×34×7=3328

答えるときは帯分数に直します3328=1528

1528

●練問2-(5)

910÷320 を計算しなさい
ヒント

答える前に注意

図解
解答を表示

910÷320=910×203=9×2010×3=3×21×1=61=6

6

分母が1なので整数で答えないとバツになります。

●練問2-(6)

6÷412÷2 を計算しなさい
ヒント

整数も◯分数に直す

図解
解答を表示

整数も、分母に1をつけて仮分数にすればよかったですね。

6÷412÷2=61÷92÷21=61×29×12=6×2×11×9×2=1×2×11×3×2=23

23

これで分数と分数のわり算も終了です。もう一度まとめます。

分数÷分数の計算

分子分母をひっくり返してわり算かけ算にする

整数と帯分数は仮分数に直して計算

計算途中で約分をしてもよい

答えるときは帯分数に直す

爽茶そうちゃ
次は分数のかけ算とわり算が混じった計算にチャレンジして下さい!

かけ算・わり算の混合計算

爽茶そうちゃ
かけ算・割り算が理解出来た人は、かけ算・わり算が混じった計算問題を解いてみましょう。
気をつけるルールは「÷のすぐ後ろをひっくり返す」だけです♪

混合計算のやり方

例題3(かけ算わり算混合計算)

13÷12×15
図解

逆数にするのは「÷」直後の分数だけでよいので、この問題では12だけを逆数のかけ算にします。

13÷12×15=13×21×15=1×2×13×1×5=215

215

簡単ですね!

分数のかけ算わり算
の混合計算

÷の直後の分数だけを逆数にして掛け算

13÷12×15=13×21×15=1×2×13×1×5=215)

では、練習しましょう。

問題で定着

●類題3-(1)

12÷13×125 を計算しなさい。
図解
解答を表示

わり算はかけ算に、帯分数は仮分数に直して、計算を始めます。

12÷13×125=12×13×75=1×3×72×1×52110=2110

2110

●類題3-(2)

15×47÷215 を計算しなさい。
図解
解答を表示

15×47÷215=15×47×152=1×4×155×7×21×2×31×7×167

67

●類題3-(3)

1013×4÷5 を計算しなさい。
ヒント

整数を○分数に直しましょう

図解
解答を表示

整数は分母に1をつけて仮分数に直しましょう。

1013×4÷5=1013×41÷51=1013×41×15=10×4×113×1×52×4×113×1×1813

813

●類題3-(4)

13÷57÷25 を計算しなさい。
図解
解答を表示

13÷57÷25=13×75×52=1×7×53×5×21×7×13×1×276=116

116

●類題3-(5)

711÷56×713 を計算しなさい。
図解
解答を表示

711÷56×713=711÷56×223=711×65×223=7×6×2211×5×37×2×21×5×1285=535

535

●類題3-(6)

1415÷156×137 を計算しなさい。
図解
解答を表示

1415÷156×137=1415×611×107=14×6×1015×11×72×2×21×11×1811

811

爽茶そうちゃ

もっと問題を解きたい人は「分数の計算(算数基礎マスター)」(分数の総復習に最適)などを利用するとよいかもしれません。

次は最後のコーナー、文章問題です。

お子様が臨時休校中(2020年春)の保護者様へ
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文章問題

爽茶そうちゃ
最後は文章問題です。分数の計算もそうですが、色々な分野の公式をきちんと思い出してください。

文章題-(1)図形v

縦が423cm、横が225cmの長方形の面積はいくつですか?
ヒント

「長方形の面積=縦×横」でした

図解
解答を表示

公式通りに式を立てて計算すると、423×225=143×125=14×123×5=14×41×5=565=1115 と分かります。

1115cm2

文章題-(2)単位v

1mの重さが45kgの木材があります。この木材123mの重さは何kgですか?
ヒント

長さが2倍になれば重さも2倍、長さが3倍になれば重さも3倍です。

図解
解答を表示

長さが123mということは、長さが1mの123になっているので、重さも45kgの123になるということです。

このような「単位あたりの量」は「二重の矢印図」を書きます。詳しくは当ブログの記事「割合のまとめ」内の「単位あたりの量」を見て下さい。

図を見るかイメージすれば、?=45×123と分かるので、これを計算して、

45×12345×534×55×34×11×343=113

です。113kg

文章題-(3)図形v

上底が65cmで下底が135cm、高さが123cmの台形の面積はいくつか?
ヒント(▼をクリック)

「台形の面積=(上底+下底)×高さ÷2」でした

図解
解答を表示

台形の面積の公式通りに式を作って計算して

(65+135)×123÷2=(65+8553×12145×53×1214×5×15×3×27×1×11×3×173=213です。213cm2

文章題-(4)割合v

Aさんはロープから225mを切り取りました。これはテープ全体の47にあたるそうです。切り取る前のテープは何mありましたか?
ヒント

「225mが全体の47にあたる」は「全体×47=225m」と同じ意味でした。当サイトの参考記事「割合まとめ」内の「」を参考にして下さい。

図解
解答を表示

「全体×47=225m」なので、割合の矢印図を書くとこうなります。

反対向きの矢印は割り算になるので「?=225÷47」と分かります。

これを計算して、225÷47=125×7412×75×4=215=415です。415m

次の問題は少しむずかしいかもしれません。

文章題-(5)図形v

縦が213cm、横が137cm、体積が8cm3の直方体の高さはいくつですか?
ヒント

公式「直方体の体積=縦×横×高さ」を使って、分からない数を□にして、とりあえず式を立ててみましょう。

図解
解答を表示

分からない数である高さを□にして、式を立てるとこうなります。

213×137×□=8

この式を計算できるところまで計算します。

213×137×□=8 →(73×107)×□=8 →(103)×□=8

103×□=8」この逆算を解くには、同じ形の「2×3=6」を参考にして、真ん中の数=右の数÷左の数 と分かります。(くわしくは参考記事「逆算のまとめ」を見て下さい。)

→□=8÷103=8×310=2410=125=225

225cm2

文章題-(6)割合

A君のお父さんは45才です。お母さんの年齢はお父さんの89で、A君の年齢はお母さんの14です。A君は何才ですか?
ヒント

あまり難しく考えずに式を立てて下さい♪

図解
解答を表示

割合を学んだときの矢印図を二段つなげて図を書くとこうなります。

A君(図の「??」)はお父さんの8914なので、45×89×14才です。

これを計算して、45×89×1445×8×11×9×45×2×11×1×1=10才と分かります。10

文章題-(7)割合

5mのリボンがあります。A君がリボンの13を切り取り、B君が残りの34を切り取りました。リボンは何m残っていますか?
ヒント

一気に答えを出そうとせずに、A君が取った分、その残り、B君が取った分、最後の残り、と一つづつ答えを出していきましょう。

図解
解答を表示

A君は5mの13つまり5×133mを切り取ります(計算の途中では仮分数のままにしておきます)

残りは5ー31533103m(これも仮分数のまま)。

B君はこの残り103mの34つまり103×3410×33×45×11×252mをとります(仮分数のまま)。

5mのリボンから、A君は3m、B君は52mを切り取ったので、残りは5-352=306106156=56mです。56m

ウラワザ

はじめにA君がリボンの13を切り取った時に、残りは1-13=全体(5m)の23と=5×23mと考えます。

次にB君が残りの34を切り取ると、最後に残るのはA君がとった残り(5×23m)の14=5×23×14と考えます。

これを計算すると、5×23×145×2×11×3×45×1×11×3×256mと同じ答えが出ます。引き算をせずにかけ算だけで答えが出るのが便利です。

文章題-(8)単位

15gの値段が9円の高級砂糖があります。この砂糖40gの値段は何円ですか?
ヒント

まず1gの値段を出してしまうと簡単です。

図解
解答を表示

15gの値段が9円なので、1gの値段は9÷15=91535円と分かります。

したがって、40gの値段は35×40=3×405×1=3×81×1=24円です。24

文章題-(9)単位

15gの値段が9円の高級砂糖があります。この砂糖を60円分買うとは何gになりますか?
ヒント

同じ砂糖ですが、今度は1円あたりの重さを出してみましょう。

図解
解答を表示

(8)は「gの…」と聞かれていたので「g」を÷×しましたが、この問題は「円…」と聞かれているので「円」を÷×します。

この問題の図

1円を出して・かける

15gの値段が9円のなので、1円あたりの重さは15÷9=15953gと分かります。

よって60円分の重さは53×60=5×603×1=5×201×1=100gです。100g

爽茶そうちゃ

これで文章題も終了です。

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爽茶そうちゃ

これで小2から5年も勉強した分数は終了です!

これまで習った分数計算を整理したい小学6年生や保護者の方には「分数が苦手になった小6への教え方(小6)」をオススメします。

最後まで読んでいただきありがとうございました。
この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです!

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