分数と分数の割り算÷とかけ算×を図解。なぜ逆数の掛け算になるのか?理由も説明!小学6年生

「分数と分数の掛け算と割り算のやり方が良くわからない」「逆数をかけるのはなぜ?」という小学6年生・中学受験生と保護者の方へ。この記事は分数と分数のかけ算・割り算の計算方法などを分かりやすく図解します。6年生になる春休みの予習、6年生の夏休みの復習にオススメです。

分数計算(足し算引き算かけ算わり算)全体を復習したい小学6年生や中学受験生は「分数の四則計算まとめ」を見て下さい。

分数と分数のかけ算

爽茶そうちゃ

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_teacher(プロフィール)です。

今回の「分数のかけ算わり算」は前に出てきた「分数の足し算引き算」より実は簡単です。安心して下さい。

分数×整数(復習)

分数と分数のかけ算の前に、小5で習った分数と整数のかけ算を簡単に復習します。まとめると、こうでした。

分数×整数(小5)

分子整数をかければ良い

計算するときは仮分数に直す
計算途中で約分をしてもよい

答えるときは帯分数に直す

これを見て「分数×整数」が復習したくなった人は「分数と整数のかけ算・割り算」を見直して下さい。

では本題の「分数と分数のかけ算」に行きましょう!

 分数×分数のルール

さて、上にあった計算

この「×2」を一番簡単な分数に書き換えるとどうなりますか?

答を表示

以前習った「 A=A1」を使うと、2=21 と直せますね。

これを使って、13×2 を「分数×整数」から「分数×分数」に直すとどうなりますか?

答を表示

13×2 → 13×21 と直せますね!

そして、答えは変わらないはずなので

という式ができるはずですね。

この式を見ると、分子同士、分母同士をかけ算をして

という計算をしているのが分かります。

つまり「分子同士・分母同士をかけ算する」というのが分数×分数のルールです。

ホント?という方のために、もう一つ例を作り、図で確かめます。

もう1つの例を表示

こういう計算を考えます

この計算は、三等分したパンをさらに二等分する、という意味なので図にするとこうなります。

三等分をさらに二等分するので、分け方が二倍になり元のパンを六等分したうちの1ピースつまり16になります。

今の作業を計算にするとこうなります。

この式の分子と分母を見比べれば…

 やはり、分数×分数の場合、分子同士、分母同士をかけ算すれば良いと確認できますね。
o(・∀・)o

分数×分数(1)

分子同士、分母同士をかけ算する
(例:13×12=1×13×2=16)

足し算引き算に比べると、通分をしなくて良いので単純なルールだと思いませんか?

では、試しに1問練習してみましょう。

例題1(分数×分数)

23×12を計算しなさい。
注意!

計算結果をよく見て下さい。

図解

先程の公式通り書くとこうなります。

しかし26は2で約分ができるので2613が答えになります。

ウラワザ

今のやり方は、かけ算してから約分(割り算)をしていて二度手間ですね。分数×整数でやったように、分数のかけ算は、真上や真下だけでなく斜め上や斜め下とも約分が出来ます

先程の計算式の途中で

という形ができましたが、分子にある2と分母にある2を約分して

 と、一気に答えが出せるのです。

分数×分数(2)


(かけ算をする前に分子と分母を約分しても良い)

この後は、途中で約分をしていきましょう。

「分数×分数」のルールは以上です!足し算引き算よりずっと簡単ですね。

実際の解き方・教え方

ホントに苦手

前回の記事でも書きましたが、とにかく分数に苦手意識を持つ生徒が多いです(算数の成績が良い子でも)。

したがって分数を教えるときは「簡単だよ」という声かけをしながら実際に簡明なやり方を示し、それをステップを踏んで確実に解いていく感覚を身に着けさせましょう。

手順(3ステップ)

❶準備
等号に続いて長い横線を書いて、そこに数値を移す

❷約分
分母と分子で約分が出来ないか調べて、実行させる

❸かけ算
分母同士・分子同士をかけ算して答えを出す。

「3ステップ」ということを明示し、1つの作業に集中させます。そして1ステップ終わるごとに意識的にリラックスさせて全体感覚(「あ、今のが全体の2番目だな。あと1つだな」)を取り戻させるのが重要です。

 

では、類題で練習して完全に身につけて下さい!

問題で定着

練習問題1(分数×分数)

次の式を計算しなさい
(1)35×25 (2)14×314 (3)513×154 
(4)27×79×34 (5)2$\frac{1}{4}$×4×1$\frac{1}{6}$ 
●練問1-(1)
35×25を計算しなさい
ヒント

ルール通り計算します

図解
解答を表示

35×25=3×25×5=625

答: 625

●練問1-(2)
14×314を計算しなさい
ヒント

帯分数は…

図解
解答を表示

帯分数は仮分数に直して…314→(3×4+1=13)→134

仮分数のかけ算を行います。14×1341×134×4=1316

答: 1316

●練問1-(3)
513×154 を計算しなさい
ヒント

途中である工夫が出来ます

図解
解答を表示

まず帯分数を仮分数に直します。
513→(5×3+1=16)→163
145→(1×5+4=9)→95

そして仮分数同士のかけ算をします。途中で約分もできます。

163×95=16×93×5⇒(分母の9と分子の3を3で約分)⇒16×31×5=485

答えは帯分数に直します。485→(48÷5=9余り3)→953

答:935

●練問1-(4)
27×79×34 を計算しなさい
ヒント

3つの分数でもやり方は同じ

図解
解説と解答を表示

ゲームのように途中でバンバン約分します♪

答: 16

●練問1-(5)
214×4×16 を計算しなさい
ヒント

整数が入っていても同じ

図解
解説と解答を表示

まず帯分数と整数を仮分数に直してしまいましょう。2$\frac{1}{4}$$\frac{9}{4}$4$\frac{4}{1}$ です。

仮分数同士のかけ算をします。途中で約分をして、結果は帯分数にします。

答:112

これで分数×分数の練習は終了です。もう一度まとめます。

分数×分数の計算

分子同士分母同士をかければ良い

整数と帯分数は仮分数に直して計算

計算途中で約分をしてもよい

答えるときは帯分数に直す

つぎは割り算です。

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分数と分数のわり算

爽茶そうちゃ
分数の割り算は、かけ算と「ほとんど同じ」です。かけ算が出来た人なら簡単ですよ!

分数÷整数(復習)

小学5年生の三学期に「分数と整数のわり算」を学習しました。復習としてまとめると、こんな感じでした。

分数÷整数の計算

分母整数をかける

❷計算するときは仮分数にする
❸計算途中で約分をしてもよい

❹答えるときは帯分数にする

分母にかけ算」というのが特徴でした。だいたい思い出せたら「分数÷分数」をはじめましょう。

全然わからない!」という人は「分数と整数のかけ算・わり算」を見直してから、戻ってきて下さいね!

 

分数÷分数のやり方

さて、上にだした「まとめ」の問題

の「」を一番簡単な分数に書き換えるとどうなりますか?

答を表示

以前勉強した A=A1 を使って、2=21 とできますね!

それを使って、さきほどの式を「分数÷整数」から「分数÷分数」に直すとどうなりますか?

答を表示

と書き換えられます!

そして、答えは変わらず16のハズですから、

という式ができますね。この式の答えの分母の613の分子「3」と12の分母「2」のかけ算で出来ていました。

分子と分母をかけていたんですね。

では答えの分子の1はどこから出てきたのか?というと…13の分子「1」と12の分母「1」のかけ算で出来ているのです。つまり…

という計算をしていたのですね。

ちょっと長くなりましたが…このように分数÷分数の場合、「÷」の後ろの分数の分子と分母をひっくり返したものをかけ算すれば良いのです。

ちなみに、この「分数の分子と分母をひっくり返した数」を逆数(ぎゃくすう)と言います。

分数÷分数

❶「÷」のすぐ後の分数の分子と分母をひっくり返して、かけ算

❷分母と分子をひっくり返した数=逆数ぎゃくすう
(例)23の逆数は32

本来は、ここで類題で練習を!といきたいのですが…

逆数をかける理由

理由を説明する理由

突然ですが質問です!私の20年間の講師生活で「分数の割り算がどうして逆数のかけ算になるのか?」という質問を受けたことが何回くらいあると思いますか?

小学生に戻ったつもりで考えて下さい。分数の足し算引き算って通分があって面倒くさかったですね? ですから、かけ算わり算を習う前は「あんなに大変だった足し算引き算の後に来る分数のかけ算わり算は、どんなに難しいんだろう…分からなかったらどうしよう…」とビクビクしていませんでしたか?
そんな時に先生(私)から「かけ算わり算の方が簡単だよ♪」「分子・分母同士かけるだけだよ!」「ひっくり返してかけるだけだよ!!」と説明されたとしたら…「どうして?!」なんて質問をするでしょうか?それよりも「そんな簡単でいいの?!良かった!!」と驚き・安心して、問題を解こうとしますよね?

というわけで…質問の答えに戻ると、20年間で「分数の割り算がどうして逆数のかけ算になるの?」と質問する生徒はほとんどいませんでした!!(というかゼロだと思う…)

ですから、この記事を書くための事前調査で、ネットでは「分数の割り算がどうして逆数のかけ算になるのか?」の説明があふれかえっていることには少し驚きました…がネットにあふれかえっているということは知りたい方が多いという事ですから…当ブログでも説明をしてみよう、というわけです。

理由の説明その1

一番最初に習った分数の意味を思い出してみましょう。

12=二等分したうちの一つでした。
ですから、6の12つまり「6×12」は6を二等分したうちの一つなので、「6÷2」と同じ意味ですね。
そして2は21と同じ意味なので、
「6÷2」と「6÷12」と「6×21」は全部同じ意味です。

というわけで÷12×21 は同じ意味になり、
分数の割り算は「逆数をかける」と同じと分かります。
これは、三角形の面積などで感覚的に使い慣れていますよね!
★三角形の面積=底辺×高さ÷2=底辺✕高さ×12

理由の説明その2

理由その1で納得してほしいのですが…純粋に計算式上で考えるとこうなります。

分数BAのもう一つの意味は「B÷A」でした。
従って例えば「10÷42」は「10÷(4÷2)」と同じ意味で、答えは「10÷(4÷2)」=10÷2=5になるはずです。
ところで、「10÷(4÷2)」の(4÷2)の「かっこ」を外すと「10÷4×2」 と「 10÷4÷2」 のどちらになるでしょうか?答えが5になる方が正解なので 「10÷4×2」 の方ですね。
そして「10÷4×2」 を分数にすると「104×210×24」になり、「10×24」の10をかけ算として前に出すと「10×24」と直せます。

このようにして、10÷42を「10÷(4÷2)」から「10÷4×2」そして「10×24」=10×42 と逆数の掛け算に直せました。

中学で10-(4-2) の「カッコ」を外すと 10-4+2 になる(マイナスを引くとプラスになる)のを学びますが、それと同様(割り算を割るとかけるになる)です

というわけで、少し話がそれましたが(汗)、分数÷分数の計算を類題で練習します。その前に…

実際の解き方と教え方

「どうしてかけ算になるのか」よりもずっと大事なのが「実際の計算を素速く正確に行う手順」です。

分数に苦手意識を持つ子が多いので「ほとんど、かけ算と同じだよ!」「簡単だよ!」と明るく楽しい雰囲気で解かせましょう。

実際、かけ算と同じ3ステップです。

手順(3ステップ)

❶準備
等号に続いて長い横線を書いて、そこに数値を移す。この時、割り算の分数は分子・分母を上下逆に移す

*本当にはじめのうちは、分数の掛け算に書き直してから数値を移しても良いですが、慣れてきたら書き直さずに直接移しても良いでしょう。

❷約分
分母と分子で約分が出来ないか調べて、実行させる

❸かけ算
分母同士・分子同士をかけ算して答えを出す。

かけ算の時と同様に、ステップを区切って、1つの作業に集中させます。

以上を頭に入れて、類題で練習しましょう。

問題で定着

練習問題2(分数÷分数の練習)

以下の式を計算しなさい。
(1)$\frac{2}{5}$÷$\frac{3}{7}$ (2)$\frac{4}{21}$÷$\frac{2}{7}$ (3)$\frac{4}{15}$÷4$\frac{2}{3}$
(4)$\frac{11}{20}$÷$\frac{7}{15}$ (5)$\frac{9}{10}$÷$\frac{3}{20}$ (6)6÷4$\frac{1}{2}$
●練問2-(1)
$\frac{2}{5}$÷$\frac{3}{7}$
ヒント

ルール通り計算すればOK

図解
解答を表示

「÷」記号の後ろの分数$\frac{3}{7}$の分母と分子をひっくり返して$\frac{7}{3}$にしてからかけ算をします。$\frac{2}{5}$÷$\frac{3}{7}$$\frac{2}{5}$×$\frac{7}{3}$

あとは分数と分数のかけ算で、分子同士分母同士をかければOKです。$\frac{2}{5}$×$\frac{7}{3}$=$\frac{2×7}{5×3}$$\frac{14}{15}$

答: $\frac{14}{15}$

簡単ですね?

●練問2-(2)
$\frac{4}{21}$÷$\frac{2}{7}$
図解
解答を表示

かけ算の時と同じように途中で約分ができます。

421
÷27=421
×72=4×721×2
=2×13×1=23

答:23

●練問2-(3)
$\frac{4}{15}$÷4$\frac{2}{3}$
ヒント

◯分数は●分数に直しましょう

図解
解答を表示

帯分数を仮分数に直してから、分子と分母をひっくり返して割り算かけ算に変えます。

$\frac{4}{15}$÷4$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{15}$÷$\frac{14}{3}$=$\frac{4}{15}$×$\frac{3}{14}$

あとは途中で約分しながらかけ算をして答えを出します。

$\frac{4×3}{15×14}$=$\frac{2×1}{5×7}$=$\frac{2}{35}$

答: $\frac{2}{35}$

●練問2-(4)
$\frac{11}{20}$÷$\frac{7}{15}$
ヒント

答える前に…

図解
解答を表示

わり算をかけ算に直し、途中で約分しつつ、かけ算を行います。

$\frac{11}{20}$÷$\frac{7}{15}$=$\frac{11}{20}$×$\frac{15}{7}$=$\frac{11×15}{20×7}$=$\frac{11×3}{4×7}$=$\frac{33}{28}$

答えるときは帯分数に直します

$\frac{33}{28}$=1$\frac{5}{28}$

答: 1$\frac{5}{28}$

●練問2-(5)
$\frac{9}{10}$÷$\frac{3}{20}$
ヒント

答える前に注意

図解
解答を表示

$\frac{9}{10}$÷$\frac{3}{20}$=$\frac{9}{10}$×$\frac{20}{3}$=$\frac{9×20}{10×3}$=$\frac{3×2}{1×1}$=$\frac{6}{1}$=6

分母が1なので整数で答えないとバツになります。

答: 6

●練問2-(6)
6÷4$\frac{1}{2}$÷2
ヒント

整数も◯分数に直す

図解
解答を表示

整数も、分母に1をつけて仮分数にすればよかったですね。

6÷4$\frac{1}{2}$÷2=$\frac{6}{1}$÷$\frac{9}{2}$÷$\frac{2}{1}$=$\frac{6}{1}$×$\frac{2}{9}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{6×2×1}{1×9×2}$=$\frac{1×2×1}{1×3×1}$=$\frac{2}{3}$

答: $\frac{2}{3}$

 

これで分数と分数のわり算も終了です。もう一度まとめます。

分数÷分数の計算

分子分母をひっくり返してわり算かけ算にする

整数と帯分数は仮分数に直して計算

計算途中で約分をしてもよい

答えるときは帯分数に直す

次は分数のかけ算とわり算が混じった計算にチャレンジして下さい!

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かけ算・わり算の混合計算

爽茶そうちゃ
かけ算・割り算が理解出来た人は、かけ算・わり算が混じった計算問題を解いてみましょう。

混合計算のやり方

例題3(かけ算わり算混合計算)

$\frac{1}{3}$÷$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$
図解

逆数にするのは「÷」直後の分数だけでよいので、この問題では12だけを逆数のかけ算にします。

13÷12×15=13×21×15
(例=1×2×13×1×5=215

答:1215 

簡単ですね!

分数のかけ算わり算
の混合計算

÷の直後の分数だけを逆数にして掛け算
(例:13÷12×15=13×21×15
(例=1×2×13×1×5=215)

では、練習しましょう。

問題で定着

練習問題3(かけ算わり算混合)

以下の式を計算しなさい。
(1)$\frac{1}{2}$÷$\frac{1}{3}$×1$\frac{2}{5}$ (2)$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{7}$÷$\frac{2}{15}$
(3)$\frac{10}{13}$×4÷5 (4)$\frac{1}{3}$÷$\frac{5}{7}$÷$\frac{2}{5}$
(5)$\frac{7}{11}$×$\frac{5}{6}$÷7$\frac{1}{3}$ (6)$\frac{14}{15}$÷1$\frac{5}{6}$×1$\frac{3}{7}$
●類題3-(1)
$\frac{1}{2}$÷$\frac{1}{3}$×1$\frac{2}{5}$ を計算しなさい。
図解
解答を表示

わり算はかけ算に、帯分数は仮分数に直して、計算を始めます。

$\frac{1}{2}$÷$\frac{1}{3}$×1$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{1}$×$\frac{7}{5}$=$\frac{1×3×7}{2×1×5}$$\frac{21}{10}$2$\frac{1}{10}$

答: 2$\frac{1}{10}$

●類題3-(2)
$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{7}$÷$\frac{2}{15}$ を計算しなさい。
図解
解答を表示

$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{7}$÷$\frac{2}{15}$=$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{7}$×$\frac{15}{2}$=$\frac{1×4×15}{5×7×2}$=$\frac{1×2×3}{1×7×2}$=$\frac{6}{7}$

答: $\frac{6}{7}$

●類題3-(3)
$\frac{10}{13}$×4÷5 を計算しなさい。
ヒント

整数を○分数に直しましょう

図解
解答を表示

整数は分母に1をつけて仮分数に直しましょう。

$\frac{10}{13}$×4÷5=

$\frac{10}{13}$×$\frac{4}{1}$÷$\frac{5}{1}$=$\frac{10}{13}$×$\frac{4}{1}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{10×4×1}{13×1×5}$=$\frac{2×4×1}{13×1×1}$=$\frac{8}{13}$

答: $\frac{8}{13}$

●類題3-(4)
$\frac{1}{3}$÷$\frac{5}{7}$÷$\frac{2}{5}$ を計算しなさい。
図解
解答を表示

$\frac{1}{3}$÷$\frac{5}{7}$÷$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{7}{5}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{1×7×5}{3×5×2}$=$\frac{1×7×1}{3×1×2}$=$\frac{7}{6}$=1$\frac{1}{6}$

答: 1$\frac{1}{6}$

●類題3-(5)
$\frac{7}{11}$÷$\frac{5}{6}$×7$\frac{1}{3}$ を計算しなさい。
図解
解答を表示

$\frac{7}{11}$÷$\frac{5}{6}$×7$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{11}$÷$\frac{5}{6}$×$\frac{22}{3}$=$\frac{7}{11}$×$\frac{6}{5}$×$\frac{22}{3}$=$\frac{7×6×22}{11×5×3}$=$\frac{7×2×2}{1×5×1}$=$\frac{28}{5}$=5$\frac{3}{5}$

答: 5$\frac{3}{5}$

●類題3-(6)
$\frac{14}{15}$÷1$\frac{5}{6}$×1$\frac{3}{7}$ を計算しなさい。
図解
解答を表示

$\frac{14}{15}$÷1$\frac{5}{6}$×1$\frac{3}{7}$=$\frac{14}{15}$÷$\frac{11}{6}$×$\frac{10}{7}$=$\frac{14}{15}$×$\frac{6}{11}$×$\frac{10}{7}$=$\frac{14×6×10}{15×11×7}$=$\frac{2×2×2}{1×11×1}$=$\frac{8}{11}$

答: $\frac{8}{11}$

混合計算はできましたか?

いよいよ最後は、文章問題です。

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分数と分数の
かけ算割り算の文章問題

文章題(面積の公式や割合など)

現在作成中です(2019/11/24)

以上で今回の問題はすべて終了です。

次の学習へ

爽茶そうちゃ

これで小2から5年も勉強した分数は終了です!

これまで習った分数計算を整理したい小学6年生や保護者の方には「分数が苦手になった小6への教え方(小6)」をオススメします。

最後まで読んでいただきありがとうございました。
この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです!

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