小学生】割合の簡単な求め方は?「くもわ」公式より分かりやすい出し方

「割合が分からない…」公式が使えない!」という小学生の方、無理もありません、教科書が分かりづらいんだから…でも大丈夫!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすい考え方・問題の解き方を教えます。

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要するに、
割合=「○倍」です

爽茶そうちゃ
割合は難しくありません!
実際、皆さん普段から使っていますよ。

割合は難しくない!

思いっきり簡単にして言うと「割合」とは、あるモノが別のモノの「何倍」かを表した数です。普段から使っている「2倍」「半分」という言葉。これらは全部「割合」です。

割合の意味

あるモノが別のモノの「何倍」かを表した数

「半分」なら「0.5倍」というのが割合になります。

つまり、割合」と言っても小2で習った「かけ算」とあまり変わらないのです。難しく考えるのはやめましょう!

「くもわ」より「●●図」!

まず「図」を書く

問題文からいきなり「式」を作るのは難しいので「簡単な図」を書いて「式」を立てますが、学校で習う「くもわ図」は…分かりづらい!!(「く」って何?「も」って何?)

そこで、当ブログでは簡単で使いやすい「矢印図」をオススメします。

これが「矢印図」です♪

さっき言った通り「割合はかけ算と同じ」なので、まず「かけ算」の絵をかいてみましょう。

例えば「妹は鉛筆を3本持っていて姉は妹の4倍持っている。姉は何本持っているか?」だと、こういう絵になります。

かけ算の文章題の図(絵)

矢印図の先祖になる実体的な図

「妹が3本の鉛筆を持っていて
姉は妹の4倍を持っている」

この絵を文字に変えるとこうなります。

絵を字にすると矢印図:

「妹が3本の鉛筆を持っていて
姉は妹の4倍を持っている」

これが矢印図です。同じ書き方で「2の3倍は6」という割合の文を書くと、こうなります。

割合の「矢印図」

分かりやすい割合の図の例

矢印の方向に「2×3=6」と読める

矢印の方向に沿って文字を追っていくと「2×3は6(つまり、2の3倍は6)」と読めるのが特長です。

三つの数

矢印図には「2」「3」「6」三つの数が書いてあります。分かりやすいように、それぞれに名前を付けます。

  • 「2」は矢印の根本にあるので「元(もと)の数」
  • 「6」は矢印の先にあるので「先(さき)の数」
  • 「3」は矢印についているので「矢の数」とします。「「割合」は矢の数のことです。
矢印図(236図)の数字の名前:

「矢の数」が割合です

この「2×3=6の矢印図(236の図)」を覚えるだけで「割合」の問題を解くのは本当に簡単になりますよ!

矢印図を書いてみる

せっかく矢印図を紹介したので「矢印図」を作る練習をしてみましょう

●例題1-(1)
「5を4倍すると20」を矢印図にしてみましょう。
図解

まず、数字が入るスペースは空っぽのまま「矢印図」を書いてしまいます。

矢印図の準備:

数字が入る場所は空のままでOK

この3つのスペースに「5」「4」「20」を入れれば完成です。まず「4」は「倍」がついているので「矢の数」と分かります。

矢の数だけを入れる

x4なので矢の数と分かります。

次に「5」と「20」を矢印の向きに「5を4倍すると15」と読めるようにスペースに入れると、こうなりますね?

完成した「矢印図」

左から「5×4=20」と読める

要するに、「5×4=20」という式が出来る時に、矢印の方向に「5(もとの数)」「4(矢の数)」「20(さきの数)」の順に並べれば良いのです。簡単でしょう?

「矢印図」の意味

→3つの数が「A×B=C」の関係にある時に、
矢印の向きに沿って「A」「B」「C」を並べた図

矢印図の例

「2×3=6」を意味する

もう一問練習しましょう♪

●例題1-(2)
「15は3の5倍」を矢印図にしましょう
ヒント

例1と日本語が少し違いますが、例1「2の3倍は6」と同じような日本語にすると「3の5倍は15」ですね。あとは例1と同じです。

図解

「3を5倍すると15」なので「3×5=15」です。この順番に矢印にそって並べるとこうなります。

もしかしたら反対に入れてしまった人もいるかもしれませんが

図をもう一度見て「あれ?変だな」と気づくことができれば全く問題ありません!正しく書き直して下さい。

もう慣れたのではないでしょうか?次は整数以外を使います♪

●例題1-(3)
「7は14の半分」を矢印図にしましょう。
ヒント

「●倍」という日本語がありません…が「半分」は0.5倍という意味なので「×0.5」と同じです。

図解

よくやるミスはこうです。まあ、今日はじめて教わったんだからしょうがないです。ドンマイドンマイ

今までは「もとの数」が小さく「さきの数」が大きい図、つまり「小→大」という図ばかりでしたが、そうとは限りません。

「小→大」

割合(矢の数)が1より大きい
「大→小」

割合が1より小さい

問題文「7は14の半分」を最初の「2の3倍は6」と同じような順番にすると「14の0.5倍は7」で、これを式にすると「14×0.5=7」です。

つまり数字を「14」「0.5」「7」の順に並べればOKです。
1より小さい数をかける時は矢印図が「大→小」になります。

元の数と先の数の大小をまとめると、こうなります。

「元」と「先」の大小

①矢の数(割合)が1より大きい
→「小→大」になる

②矢の数(割合)が1より小さい
→「大→小」になる

爽茶そうちゃ

これで「矢印図」の書き方は分かったと思います。
「矢の数」は小数にもなるので、小数の計算が苦手な人は復習しておきましょう!! →小数のまとめ

次は矢印図を使って問題を解いてみましょう!

割合の基礎問題(小5)

爽茶そうちゃ
割合に関する文章を「矢印図」にできれば、割合の基礎問題は解くことができてしまいます♪
さっそく問題を解いてみましょう!

三つの数の関係

割合の問題は、三つの数のうち分からない一つの数を、分かっている二つの数の計算から出す「クイズ」のようなものです!(いやマジで)

そこで「2×3=6の矢印図」を使って、分からない数「?」を分かっている残りの2つの数で計算式を作って出す練習をしてみます。

●例題2-(1)
「?」を2と3から求めるには、どういう計算式を作れば良い?
図解

これは一番簡単なパターンですね。矢印の順番に読むと2×3=「?」で「?」=6ですね。

?=2×3

つまり

「先の数」=「もとの数」×「矢の数」

ということです。

二番目は「ほんのちょっと」頭を使います。

●例題2-(2)
「?」を2と6から求めるには、どういう計算式を作ればよい?
ヒント

真ん中(矢の数)が分からない場合です。ここでは答えは分かっているので、6と2でどういう計算式を作れば3が出るかを考えます。

図解

「割合はかけ算」ですが、2と6のかけ算では3は出ません…

ところで「割合」という字を見ると…」という字が入っています。そこで2と6の割り算を考えてみると、6÷2で3が出ますね!

?=6÷2

つまり

「矢の数」=「さきの数」÷「もとの数」

ということですね!

最後は「矢印図」をバージョンアップします!

●例題2-(3)
「?」を3と6から求めるには、どういう計算式を作れば良い?
ヒント

このタイプが一番面倒くさいです…が、ある工夫をすればパッと分かります♪

図解
「?」が矢印の向きと反対方向にあって、分かりづらいですね。そこで…

「反対向きの矢印」を書きましょう!

この矢印は反対向きなので「矢の数」もかけ算と逆の割り算になります。これが矢印図のバージョンアップ!完成形です。

この反対向きの矢に沿って数を読むと「6÷3=?」で2が出せますね。

?=6÷3

これで

「もとの数」=「さきの数」÷「矢の数」

で出せると分かりました。

以上で、矢印図の三つの数の関係が分かりました。まとめると下のようになります。

割合の公式(矢印図)

●矢印図
→3つの数が「A×B=C」の関係にある時に、矢印の向きに沿って「A」「B」「C」を並べた図

(例)「2×3=6」の矢印図

基本形:

「2×3=6」
「2の3倍は6」
「6は2の3倍」
発展形:

分かりやすい割合の図「矢印図」の発展形

逆向きの矢印を付ける

さきの数(6)=もとの数(2)×矢の数(3)

矢の数(3)=さきの数(6)÷もとの数(2)

もとの数(2)=さきの数(6)÷矢の数(3)

発展形(逆向きの矢印)を書けば➊さきの数と➌もとの数は簡単に分かりますね。

矢の数=さきの数(6)÷もとの数(2)だけは覚えても良いですが、実は覚えなくても平気です♪(理由は、この後分かります)

問題の解き方

では、問題を解いてみます。気楽にやってみましょう♪

●例題3-(1)
14の7倍はいくつですか?
図解

これは簡単ですね。聞かれている数を「?」とすると「14の7倍は?になる」で「14×7=?」なのでかけ算をして98と分かりますね。

98

図にするとこうなりますが、図を書く前に分かる人が多いでしょう。

次も簡単かもしれませんね。

●例題3-(2)
□は23の4倍である。□にあてはまる数を答えなさい。
図解

問題文を「2の3倍は6」と同じ形「23の4倍は□」に直せば簡単ですね。23×4=□なので□は92と分かります。

92

図にするとこうなります。

ここから少し考えましょう。

●例題3-(3)
18は90の何倍ですか?
ヒント

反射的に「90÷18=5」とやってはいけませんよ!

図解

なれるまでは、まず図を考えましょう。18と90を左右どちらにするかで、2通りの図が考えられますが…どちらの図が正しいでしょうか?

図1:

正しい図はどちらでしょう?

問題文「18は90の何倍か」を「2の3倍は6」と同じ形にすると「90の?倍は18」「90×?=18」になるので…正しいのはこちらです。

次に?(矢の数ですね)を出しますが、公式を思いつかなくても大丈夫です!となりに「2×3=6」を書いて比べてみます。

「2×3=6」を見れば、「矢の数3」は「先の数6」÷「元の数2」で出ると分かります。同じことをやれば良いので、?は18÷90で出せば良いと分かります。

あとは落ち着いて18÷90を筆算して0.2と分かります。

0.2

このように、割合の問題でパッと答えが出ない場合は問題の矢印図と「2×3=6」の矢印図を並べて書いてみましょう。自然と計算方法が分かると思います。

公式を暗記するよりも、このやり方を勧めます。

割合の計算方法が分からない時

横に「2×3=6」の矢印図を書いて、
それを見ながら計算方法を考える

ところで、生徒さんが間違った図を書いてしまうのは、割合に慣れていないからだけではありません。

「『小÷大』という計算、つまり小数が答えになる割り算をしたくない…」というのが理由のことが多いのです。

そうならないように、小数の計算を練習させて苦手意識をなくしておくのが大切です。小数のまとめ

次は…想像できますね?

●例題3-(4)
25倍して200になる数を求めよ。
ヒント

いつものように、文を「2×3=6」の形にするところからスタートです。

図解

聞かれている数を「?」にすると「?×25=200」という式が作れるので、図にするとこうなります。

「もとの数」を出すには、逆向きの矢印を書くとわかりやすかったですね!

これで?は200÷25で8と分かります。

8

または、となりに「236」の矢印図を書いて、2=6÷3 と同じ計算をする、でも良いですね。

ここからは、もう少し「割合の問題」っぽくなりますが、同じ様に解けば大丈夫!

●例題3-(6)
90は□の0.6にあたる。□はいくつですか?
ヒント

間違えても良いので、とりあえず矢印図を書いてみましょう。

図解

「~にあたる」というのは「~倍」と同じ意味です。ですから「90は□の0.6にあたる」は「90は□の0.6倍」と同じ意味です。

これをいつもと同じ形に直すと「□の0.6倍は90」「□×0.6=90」になるので、矢印図も書けますね。

□は元の数なので90÷0.6=150

150

●例題3-(7)
20をもとにしたとき、6の割合はいくつか?
前置き
とりあえず矢印図を書いてみましょう!
図解

「もとにしたとき」の意味がよく分かりませんが…とりあえず矢印図を書きます。

そして問題文の数のうち割合を聞かれているので「矢の数」が「?」で、「20人」は「もと」と言われているので矢印図でも「元の数」になるので、「6」は残った「先の数」と考えて図を書くとこうなります

「矢の数」を出すので、公式を覚えていればもちろん、覚えていなくても「236の図」を横に書けば「矢=先÷元」と分かります。

あとは6÷20を計算して0.3が答えと分かります。

0.3

このように「もとにする」と書いてある場合は、「もとにする」数を矢印図の「元の数」だと考えれば良いのです。名前も似ているし、分かりますね?

これで割合の基礎は大丈夫です!

確認テストで定着

確認テスト(タッチで解答表示)

(1)□は31の6倍である。□はいくつですか?
(   □=31×6=186 )
(2)143は12の何倍ですか?
→( ?=143÷13=11 )
(3)12は84の何倍ですか?
→( ?=12÷84=1284=17 )
(4)19倍して285になる数を求めよ
→( 285÷19=15 )

(5)21は□の0.7にあたる。□はいくつか?

→(  □=21÷0.7=30 )

(6)29をもとにしたとき87の割合はいくつか
→( 29が元の数になる。?=87÷29=3倍 )
(7)36をもとにしたとき27の割合はいくつか
→( ?=27÷36=0.75倍 )

割合の単位(小5)

爽茶そうちゃ

ここまで割合を表すのに「○倍」という表現だけを使っていましたが、日常生活では「%(パーセント)」を使います。
「100%大丈夫!」とか「バーゲンセールで30%引きで買った」などです。

パーセント(百分率)

パーセントのイメージ:

100匹に分裂したうちの1匹が1%

パーセントは「全体を100等分したうちの何個か」です(だから「百」「分」率)

例えば1%は全体を100等分したうちの1個です。

パーセントに直す

「倍」から「%」に直すには100倍すれば良い。
例えば「×2」は「200%」になります。「×0.5」は0.5を100倍して「50%」になります。

パーセント(百分率)に直す

「倍」の数を100倍すると「パーセント」になる
「×1」-(100倍)→「100%」
「×2」-(100倍)→「200%」
「×0.5」-(100倍)→「50%」

パーセントから戻す

逆に、パーセントを普通の倍数に直す時は「÷100」をすれば良い

パーセント(百分率)から戻す

「%」を÷100すると「倍の数」に戻る
「100%」-(÷100)→「×1」
「200%」(÷100)→「×2」
「50%」-(÷100)→「×0.5」

「増し」と「引き」

「~%増し」とか「~%引き」と聞いたことはありますね(消費税は10%など)

一番大事なこと

一番大事なのは、「増し」「引き」をすると、「先の数」が「元の数」よりも大きくなるか、小さくなるかを間違えないことです。

「~増し」はもとの数より大きくなります。矢印図が「小→大」になります。

かける数(矢の数=割合)は1(100%)より大きくなります。これを頭に入れて図を書き、計算すれば間違えません。

「~引き」はもとの数より小さくなります。矢印図が「大→小」になります。

ということは、矢の数は1(100%)より小さいハズですね。

このように、大きくなるか小さくなるかをハッキリとイメージできれば正しい答えが出せますよ!

「増し」=もとの数より大きくなる

例えば「10%増し」なら「もとの数より10%大きくなる」という意味です。

百分率でもとの数は「100%」でしたから「10%増し」は「もとの数の100%+10 %」=「もとの数の110%」つまり「×1.1」になります。(ちなみに一番多いミスは「10%増し」を「10%」と同じに考えて「×0.1」としてしまうパターンです。「増し」はもとの数より大きくなるのを忘れないように!)

「増し」の意味

「増し」→もとの数(100%)より大きくなる
(例)10%増し=(100+10)%=110%=もとの数×1.1
(例)3%増し=(100+3)%=103%=もとの数×1.03

「引き」=もとの数より小さくなる

「引き」は「増し」の反対です。

例えば「10%引き」なら「もとの数(100%)より10%小さくなる」という意味で、つまり「もとの数の100-10=90%」つまり「×0.9」になります。

「引き」の意味

「引き」→もとの数(100%)より小さくなる
(例)10%引き=(100ー10)%=90%=×0.9
(例)3%引き=(100ー3)%=97%=×0.97

割合の単位について詳しく知りたい人は関連記事「割合の単位」を見て下さい。

割合の三公式の問題

爽茶そうちゃ
ここでは学校で習う「割合の三公式」の説明をしますが…実は、式の作り方は記事の上の方にある「割合の基礎問題(矢印図)」で全部説明してしまいました。
ですから「矢印図」が分かっている人はスラスラ出来る?でしょう

「矢印図」から「割合の三公式」へ

矢印図はこうでした♪(忘れた人・知らない人は記事の上の方にある「割合の基礎問題」(矢印図)を読んで下さい)

割合の公式(矢印図)

矢印図
→3つの数が「A×B=C」の関係にある時に、
矢印の向きに沿って「A」「B」「C」を並べた図

(例)「2×3=6」の矢印図

さきの数(6)=もとの数(2)×矢の数(3)
矢の数(3)=さきの数(6)÷もとの数(2)
もとの数(2)=さきの数(6)÷矢の数(3)

そして、学校などで習う「割合の三公式」はこちら

よく見ると…似ていませんか?

矢印図の公式

矢の数=さきの数÷もとの数
さきの数=もとの数×矢の数
もとの数=さきの数÷矢の数

実は、似てるどころか中身は全く同じです。
「矢の数」が「割合」だと説明しましたね?また「もとの数」は「もとにする量」と言葉も似ています。残った「さきの数」が「くらべる量」になります。

ですから…矢印図を書いて計算すれば、途中式も答えも「割合の三公式」で解いたのと同じになります。
つまり、矢印図を使える人は「割合の三公式」を覚える必要は全くありません。

もちろん「くもわ図」を使う必要も全くないでしょう!

三公式の練習

それでは、前の章で学習した「パーセント」「増し引き」も加えた割合の基本問題を解いてみましょう。

「三公式の練習」としています(解説にも三公式を書きます)が、矢印図で解いて構いません。公式を思い出せなくても構いません。正しい式を考え出せればOKです。

いつも最初に「矢印図」を書くか、イメージして下さい。

●例題5-(1)
20をもとにしたとき、6の割合はいくつですか?また、パーセントに直すといくつですか?
ヒント
「もとにしたとき」の意味が分からなくても、とりあえず「矢印図」を書いてみましょう!
図解

割合の問題なので、矢印図を書きます。

問題文にある「もとにする」というのは「矢印図」でいう「矢の根元にある数(もとの数)」にするという意味でなので、矢印の根元に20が入ります。問題文で聞かれているのは割合なので「矢の上の数(矢の数)」が「?」になります。

「矢の数」を出すので、公式を覚えていればもちろん、覚えていなくても「2×3=6の矢印図」を横に書けば「矢=先÷元」と分かります。

あとは6÷20を計算して0.3が答えと分かります。

0.3

そして0.3をパーセントに直すには100倍すればよいので、0.3×100=30%になります。

30%

ちなみに「割合の三公式」の場合、「割合=くらべる量÷もとにする量」から同じ計算式で同じ答えが出ます。

このように「もとにする」と書いてある場合は、「もとにする」数を矢印図の「元の数」だと考えれば良いのです。名前も似ているし、分かりますね?

●例題5-(2)
□は120の0.4にあたる。□はいくつですか?
ヒント

「あたる」の意味が分からなくても、とりあえず矢印図を書いてみましょう。

図解

最初に種明かしすると、「~にあたる」というのは「~倍」と同じ意味です。ですから「□は120の0.4にあたる」は「□は120の0.4倍」と同じ意味です。

これをいつもと同じ形に直すと「120の0.4倍は□」「120×0.4=□」になるので、矢印図も書けますね。

48

ちなみに「割合の三公式」の場合「くらべる量=もとにする量×割合」から同じ計算式で同じ答えが出ます。

このように、「割合の三公式」を使わなくても「矢印図」を書けば計算方法は思いつきますね。というわけでこれ以降も矢印図を使って解いていきます。

ここからは、色んな単位を使う問題です。

●例題5-(2)
90の80%はいくつですか?
ヒント

「80」%をそのまま使うと大変なことになりますよw

図解

ここまで読んできた人は、90が「元の数」で80%が「矢の数=割合」なのはなんとなく分かるので、このような矢印図は書けるでしょう。

では、?を出す計算式はどうなるでしょうか?80をそのままかけ算にすると…

?が7200になります…ここで「80%」の意味を思い出すと「100等分したうちの80個」ですから、元の数よりも小さくなるはず!小さくするには1よりも小さい数をかけないとダメですね(大→小のパターン)

ここで80%を整数・小数に変えたのを思い出しましょう…80%=×80100=×0.8(または×45)でしたね!これを「矢の数=割合」として式を作ればOKです。

というわけで、90×0.8=72が答えになります。

答: 72

このように、%の数字はそのままではなく小数・分数に直してから計算に使います。

次は歩合です。

●例題5-(3)
52は□の4割である。□を求めよ
ヒント

パーセントと同じく、歩合もそのままでは計算に使えません。

図解

「□の4割は52」なので、矢印図は書けるでしょう。

「矢の数=割合」が4割になっていますが、パーセントと同じく整数・小数・分数倍に書き換えましょう4割=×410=×0.4 を思い出して書き加えます

このあとは、逆向きの矢印を書き加えたり、となりに「236の図」を書いたりすれば、□=52÷0.4 という式が作れるでしょう。それを計算して□=130と分かります。

答: 130

このように、パーセントは「整数・小数・分数」倍に直してから計算に使います

パーセントの計算

「%」の数値を100で割る
→「×小数」や「×分数」に直してから使う。

次は「増し」「引き」の計算です。これも小数や分数倍に直してから式をたてましょう。「増し」「引き」が不安な人は「増し・引き」の説明を見直して下さい。
●例題5-(4)
700の3%増しはいくつか?
ヒント

「増し」は大きくなる、これが一番大事!

図解

「増し」は大きくなります。「3%増し」はもとの数より3%大きくなって、もとの数の103%、×1.03になります。矢印図にするとこうなるので…

?(先の数)は700×1.03=721になります。

答: 721

小数と大きな数のかけ算のやり方に注意して下さい。小数点や0は取り除いて「7×103」を筆算したあとで戻します。詳しくは「小数の足し算引き算かけ算」内の「小数と大きな数のかけ算」を見て下さい。

ウラワザ

実は「先の数(増し・引きの結果)」を出す場合、大人はこういう面倒くさい計算をわざわざしません。こうやります。
まず700円の1%つまり1/100を7円と出しておきます。そして3%は7×3=21円なので、3%増しは700円に21円を足して721円と求めます。

小学生のみなさんも、割合になれてきたら同じ様に計算できるでしょう。

次は「引き」です。

●例題5-(5)
□を23%引きにすると308円になる。□を求めよ。
ヒント

「もとの数」より小さくなります。

図解

「23%引き」なら「もとの数(100%)より23%小さく」なるので100-23=77%、つまり×0.77になります。

「元の数」を出すので反対向きの矢印を書いて、308÷0.77を行います。ちょっと面倒くさいですが…丁寧に計算して400と分かります。

答: 400

悲報…

「元の数」を出す場合は、さっきのようなウラワザはありません。大人にとっても非常に面倒くさいです(汗)

次は歩合の増し引きです。
●例題5-(6)
152の2割5分引きはいくつか?
ヒント

歩合を%に直すと簡単になりましたね♪

図解

2割5分は25%と同じなので、2割5分引き=25%引きで、元の数の100-25=75%、×0.75と分かります。

0.75=3/4と思い出せれば、計算は簡単になります。

答: 114

●例題5-(7)
□を3割6分増しにすると102になる。□を求めよ。
ヒント

歩合を%から小数にして図を書きましょう。

図解

3割6分=36%なので、3割6分増し=136%、×1.36と分かります。図を書くと「元の数」を出すと分かるので、反対向きの矢印を書いて(またはイメージして)

102÷1.36を計算して、75と求めます。これも面倒くさい計算でした。

答: 75

確認問題をどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

2019.12.作成中

爽茶そうちゃ
これで割合の単純な計算は終了です。
もっと問題を解きたい人に、市販の分野別問題周では「毎日のドリル」シリーズがオススメです。次は割合を使った文章問題です。

 

次のステップへ

爽茶そうちゃ
これで、割合は大丈夫ですね!
最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです。
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