小学5年生】割合の求め方・問題の答えの出し方。公式や「くもわ」より分かりやすい【中学受験

「割合が分からない…」割合の公式が使えない！」という小学生の方へ。無理もありません、だって教科書が分かりづらいんだから…
でも大丈夫。東大卒講師歴20年の管理人「そうちゃ」が分かりやすい考え方・式の立て方から中学受験の特殊算まで図解します。この記事を読んだ後は「割合」と友達になっているでしょう♪

この記事は割合の図の書き方を詳しく説明していますが、「問題を解きたい！」という人もいるでしょう。その場合は目次で「～問題」となっているところをクリック(タッチ)すると手軽に問題が解けますよ！

要するに、
割合＝「○倍」です

割合は難しくない！

「割合」に苦手意識をもっている人は少なくありませんが、別に難しいことではないのです。だってみんな普段から使っていますから。

例えば、「～は～の2倍」「～は～の半分」という日本語を使ったことがない人はいないでしょう。これらは全て「割合」です。

「でも算数になると…難しいんだもん」という算数嫌いの人のために、思いっきり簡単にして言うと

「割合」とは、あるモノが別のモノの「何倍」かを表した数です。

例えば「2の3倍は6」という文の「3倍」これが割合です。「半分」なら「0.5倍」とか「12倍」というのが割合になります。

つまり、割合」と言っても小2で習った「かけ算」とあまり変わらないのです。難しく考えるのはやめましょう！

「くもわ」より「●●図」！

まず「図」を書く

算数の他の分野と同じように「割合」も文章を読んで式を作らないといけませんが、「文章」からいきなり「式」を作るのは難しいことがあります。そこで「簡単な図」を書いて「式」を立てるのが良いでしょう。

「割合の図」には色々ありますが、学校では「くもわ図」を習うことが多いでしょう。しかし、そもそも何が「く」で何が「も」なのか分かりづらい！これが「割合」を難しく感じさせる原因の一つです。

そこで、当ブログでは書くのも簡単で式も立てやすい「矢印図」をオススメします。

「矢印図」？？？私が自分で勝手に名付けているだけですｗ

これが「矢印図」です♪

さっき言った通り「割合はかけ算と同じ」なので、まずは「かけ算」の文章題で書く絵を思い出します。例えば「妹は鉛筆を3本持っていて姉は妹の4倍持っている。姉は何本持っているか？」という問題でこういう図を書きます。

低学年の生徒を楽しませるために絵を書いていますが、この絵を文字に変えるとこうなります。

これが「矢印図」です。簡単ですね？

同じ書き方で「2の3倍は6」という割合の文を書くと、こうなります。

矢印の方向に沿って文字を追っていくと「2×3は6(つまり、2の3倍は6)」と読めるのが特長です。

三つの数

矢印図には「2」「3」「6」三つの数が書いてあります。分かりやすいように、それぞれに名前を付けます。

「2」は矢印の根本にあるので「元(もと)の数」、「6」は矢印の先にあるので「先(さき)の数」、とします。
「3」は矢印についているので「矢の数」とします。簡単に言うと「「割合」は矢の数のことです。

この「2×3=6の矢印図(236の図)」を覚えるだけで「割合」の問題を解くのは本当に簡単になりますよ！

矢印図を書いてみる

せっかく矢印図を紹介したので「矢印図」を作る練習をしてみましょう(すぐ終わるから！ね？)

●例題1-(1)

もう一問練習しましょう♪

●例題1-(2)

もう慣れたのではないでしょうか？次は整数以外を使います♪

●例題1-(3)

元の数と先の数の大小をまとめると、こうなります。

最後に分数をもう一問やってみましょう。

●例題1-(4)

小数・分数計算を確実に！

このように「矢の数」は小数や分数にもなるので、小数の計算や分数の計算を得意にしておきましょう！さもないと割合の問題が解けなくなってしまいます。
当ブログの記事などを利用して復習して下さい。
→分数のまとめ
→小数のまとめ

市販の問題集では「小学5年の小数・分数(毎日のドリル)」がオススメです。「毎日のドリル」シリーズの詳しいご案内はこちら♪

これで「矢印図」の書き方は分かったと思います。次は矢印図を使って問題を解いてみましょう！

割合の基礎問題

三つの数の関係

割合の問題は、三つの数のうち分からない一つの数を、分かっている二つの数の計算から出す「クイズ」のようなものです！(いやマジで)

そこで「2×3=6の矢印図」を使って、分からない数「？」を分かっている残りの2つの数で計算式を作って出す練習をしてみます。

●例題2-(1)

二番目は「ほんのちょっと」頭を使います。

●例題2-(2)

最後は「矢印図」をバージョンアップします！

●例題2-(3)

以上で、矢印図の三つの数の関係が分かりました。まとめると下のようになりますが、逆向きの矢印を書けば➊さきの数と➌もとの数は分かるでしょう。❷矢の数だけは覚えても良いですが、このあと問題を解けば覚えなくても大丈夫と分かるでしょう♪

問題の解き方

では、問題を解いてみます。気楽にやってみましょう♪

●例題3-(1)

次も簡単かもしれませんね。

●例題3-(2)

ここから少し考えましょう。

●例題3-(3)

ところで、間違った図を書いてしまうのは、割合の考え方に慣れていないのもありますが、「『小÷大』という計算、つまり小数が答えになる割り算をしたくない…」というのが理由のこともあります。そうならないように、小数・分数の計算を得意にしておきましょう。
→分数のまとめ　→小数のまとめ

次は…想像できますね？

●例題3-(4)

ここからは、もう少し「割合の問題」っぽくなりますが、同じ様に解けば大丈夫！

●例題3-(6)

●例題3-(7)

このように「もとにする」と書いてある場合は、「もとにする」数を矢印図の「元の数」だと考えれば良いのです。名前も似ているし、分かりますね？

これで割合の基礎は大丈夫です！

確認テストで定着

ここまでで、割合の基礎的な考え方は身につきました。割合が苦手になることは無いでしょう(いやマジで)

割合の単位

パーセント(百分率)

パーセントは、「全部」つまり「×1」を100とした表し方です。もう少し分かりやすくいうと「100等分したうちの何個か」です(だから「百」「分」率なんですね。)

1パーセントは100等分したうちの1個。つまり「×1100」や「×0.01」と同じ意味です。
50パーセントは100等分したうちの50個なので「×50100(小数に直すと×0.5)」で「半分」と同じ意味
100パーセントは100等分したうちの100個なので「×100100(約分して×1)」で「全部」と同じ意味になります。

パーセントに直す

上の例で「×1」＝「100%」という例を書きました。数字だけに注目すると、「1」が「100」になっているので、ただの「倍」から「%」に直すには100倍すれば良いと分かります。
例えば「×2」は「200%」になります。

よくあるのは「×0.5」のような小数倍や「×12」のような分数倍をパーセントに直すことです。
「×0.5」は0.5を100倍して「50%」、「×12」も12×100=1×1002=1×501=50なので「×0.5」も「×12」も「50%」になります。

こうして見ると、わざわざ「パーセント」を作った理由が分かりませんか？

0.5や12のような小数・分数よりも50という整数の方が分かりやすいからですね。

パーセントから戻す

逆に、パーセントを普通の倍数に直す時は「÷100」をすれば良いのですが、割り算をするよりも「分母を100にした分数にする」と覚えておくと後の計算が楽です。(このあたりから算数では小数よりも分数の方が便利で大事になってきます。)

パーセントが分かれば次は簡単です。

歩合(ぶあい)

「～割」とか「～割～分」というのを聞くと思いますが、あれが「歩合」です。別に難しくありませんよ！

歩合は三種類

大きい順に「割わり」「分ぶ」「厘りん」の三種類があります。

歩合を%に直して整理

単位が3つもあるので、ちょっと混乱しましたね。そこで「1分ぶ」＝「1%」を利用して、歩合の単位を単純なパーセントに直して整理するとこうなります。

ポイントは、％の一の位を「分ぶ」にして、それより上は「割」下は「厘」にすることです。100％より上は「割」が10より大きい数字になることに注意しましょう！

歩合をパーセントや小数/分数に直す

さっきと逆に、歩合をパーセントにしてみます。ついでにパーセントから小数や分数にも直してみましょう。

ここでも、1％＝1分ぶ＝1100＝0.01 に注目すると分かりやすいですね！

単位の相互変換まとめ

割合を表す数字と単位が「整数・小数」「分数」「％」「歩合」と4種類でてきました。さっきの「歩合をパーセントに直す」にもまとまっていますが、テキストにあるように「整数・小数」から順に表にまとめるとこうなります。

整数・小数	分数	パーセント	歩合
×1	×100100	100%	10割
×0.5	×510(12)=50100	50%	5割
×0.03	×3100	3%	3分
×0.25	×25100(14)	25%	2割5分
×0.253	×2531000	25.3%	2割5分3厘
×1.253	×12531000	125.3%	12割5分3厘

こうしてみると、パーセントが単純で分かりやすく便利と分かりますね。

単位を直すのは割合の問題を解くときの最初の作業ですのでサクッと出来ることが必要です。確認テストをどうぞ

「増し」と「引き」

「～％増し」とか「～割引き」と聞いたことはありますね(消費税は10%など)？難しい話ではありません。気楽に読んで下さい♪

一番大事なこと

一番大事なのは、「増し」「引き」をすると、「先の数」が「元の数」よりも大きくなるか、小さくなるかを間違えないことです。

「～増し」はもとの数より大きくなります。矢印図が「小→大」になります。

ということは、かける数(矢の数＝割合)は1(100%)(10割)より大きいはずです。これを頭に入れて図を書き、計算すれば間違えません。

「～引き」はもとの数より小さくなります。矢印図が「大→小」になります。

ということは、矢の数は1(100%)(10割)より小さいハズですね。

このように、大きくなるか小さくなるかをハッキリとイメージできれば正しい答えが出せますよ！

では、「増し」「引き」それぞれの場合を見ていきます。

「増し」＝もとの数より大きくなる

「増し」の前には「10%」「3割」などの言葉がついていましたね？これが「どれくらい大きくなるか」を表しています。例えば「10%増し」なら「もとの数より10%大きくなる」という意味です。

百分率でもとの数は「100%」でしたから「10%増し」は「もとの数の100%+10 %」=「もとの数の110%」つまり「×1.1」になります。(ちなみに一番多いミスは「10%増し」を「10%」と同じに考えて「×0.1」としてしまうパターンです。「増し」はもとの数より大きくなるのを忘れないように！)

同じように「3割増し」ならもとの数(10割)より3割大きくなるので「もとの数の10割+3 割」=「もとの数の13割」つまり「×1.3」になります。(これも×0.3としないように注意して下さい)

ただ、歩合は「割」「分」「厘」と単位が3つもあるので%に直してしまう方がやさしいでしょう(1割=10%、1分=1%、1厘=0.1%)。例えば「3割2分増し」なら3割2分=32%なので「32%増し」と考えて「100+32=132%」=×1.32とします。(歩合とパーセントに直すのが不安な人は上を復習して下さい)

まとめるとこうなります。

「引き」＝もとの数より小さくなる

「引き」は「増し」の反対です。

例えば「10%引き」なら「もとの数(100%)より10%小さくなる」という意味で、つまり「もとの数の100-10=90%」つまり「×0.9」になります。

歩合は%に直します。「3割引き」なら「30%引き」なので「もとの数の100-30=70%」つまり「×0.7」に、「3割2分引き」なら3割2分=32%なので「100ー32=68%」=×0.68とします。

まとめると、こうなります。

増し引きの確認

確認テストをどうぞ

できましたか？「増し」「引き」が分かれば割合の基本は完全に終了です。後は問題を解くだけです。

割合の三公式の問題

「矢印図」から「割合の三公式」へ

矢印図はこうでした♪(忘れた人・知らない人は記事の上の方にある「割合の基礎問題」(矢印図)を読んで下さい)

そして、学校などで習う「割合の三公式」はこちら

よく見ると…似ていませんか？

実は、似てるどころか中身は全く同じです。
「矢の数」が「割合」だと説明しましたね？また「もとの数」は「もとにする量」と言葉も似ています。残った「さきの数」が「くらべる量」になります。

ですから…矢印図を書いて計算すれば、途中式も答えも「割合の三公式」で解いたのと同じになります。
つまり、矢印図を使える人は「割合の三公式」を覚える必要は全くありません。

もちろん「くもわ図」を使う必要も全くないでしょう！

三公式の練習

それでは、前の章で学習した「パーセント」「歩合」「増し引き」も加えた割合の基本問題を解いてみましょう。

「三公式の練習」としています(解説にも三公式を書きます)が、矢印図で解いて構いません。公式を思い出せなくても構いません。正しい式を考え出せればOKです。

いつも最初に「矢印図」を書くか、イメージして下さい。

●例題5-(1)

このように「もとにする」と書いてある場合は、「もとにする」数を矢印図の「元の数」だと考えれば良いのです。名前も似ているし、分かりますね？

●例題5-(2)

このように、「割合の三公式」を使わなくても「矢印図」を書けば計算方法は思いつきますね。というわけでこれ以降も矢印図を使って解いていきます。

ここからは、色んな単位を使う問題です。

●例題5-(2)

このように、％の数字はそのままではなく小数・分数に直してから計算に使います。

次は歩合です。

●例題5-(3)

このように、パーセントや歩合は「整数・小数・分数」倍に直してから計算に使います。

●例題5-(4)

次は「引き」です。

●例題5-(5)

●例題5-(6)

●例題5-(7)

確認問題をどうぞ

これで割合の単純な計算は終了です。次は文章題を解きましょう。

もっと問題を解きたい人は

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単純な文章題

これまでは「●は◎の⦿倍」のような文だけが出てきましたが、ここからは問題が「文章」になります。

しかし、やることは変わりません！「矢印図」を書いて「？」を出すだけです。

通常の割合の文章題

●例題6-(1)

 

●例題6-(2)

この調子でどんどんいきましょう♪

●例題6-(3)

ここまでは「先の数(くらべる量)」を求める問題でした。次は…

●例題6-(4)

この場合に限らず、整数÷整数は分数に直すのをオススメします。

●例題6-(5)

●例題6-(6)

ここまでは「矢の数(割合)」を出す問題でした。次は…分かりますね。

●例題6-(7)

●例題6-(8)

●例題6-(9)

 

増し引きの文章題

次は「増し」「引き」の文章題です。これができれば基本的な文章問題は大丈夫です！

「増し」「引き」の基本が不安な人はコチラを見直してからチャレンジして下さい。

●例題7-(1)

●例題7-(2)

●例題7-(3)

●例題7-(4)

確認テスト

Eさんは全部で28問あるクイズに答えて、そのうち21問が正解でした。Eさんの正答率は何%ですか？→75%

 

もっと問題を解きたい人は

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複雑な問題を解く準備
～いろいろな図

最初に紹介したとおり、実際の様子(➀)を数字と文字だけにしたのが矢印図(➁)です。

さきほどの単純な文章題は、ただの計算問題に近いものでしたので「矢印図」だけで解けました。しかし問題が複雑になってくると「矢印図」で解くのが大変になってきます。

そこで「矢印図」以外の図を練習します。特に「線分図」は便利でよく使われています。

容器・メーター図

まず、ペットボトルのような容器全体(満タン)の量を「元の数」、実際に入っている量を「先の数」にして書きます(図1)。ここから更に「元の数」「先の数」を一つにまとめたのが「容器図」(図2)です。

さらに、容器をもっと単純化して「メーター」にします(➀)。ゲームのライフの表示などにありますね。これも一つの図にまとめて「メーター図」にします(➁)。

メーター図では「全」が元の数で、割合はパーセントにすることが多いです。

いよいよ線分図

さっきのメーターは「使った残りの量」だけを表示していましたが、今度は線分で「使った量」と「残りの量」の両方を表します(線のメーター図)。例として「60ページの本のうち12pを読んだ」のを図にすると「読んだのは12p、残りは48p」です(図1)　ここで図をパタン…と倒します(図2)！

「線分図」ができました。

複雑な文章問題
～相当算・還元算

矢印図から線分図へ

ここから解く問題は矢印図の「先の数」から「元の数」を求める問題で、中学受験では「相当算」と呼びます。

記事の上の方に「月に行きたいという生徒は231人で、これは全校生徒の33%にあたる。全校生徒数は何人ですか？」という問題がありましたが、実はあれが「相当算」です。さっきは矢印図で解きましたが…

この問題を線分図で解いてみます。

まず全校生徒を①(マルイチ)として線分を書き、その33%(だいたい三分の一の長さ)を区切ります。33%=0.33なので区切った部分に「0.33」と書き、その下に「行きたい」などの文字と「231人」を書き足します(図1)。この線分図は矢印図(図2)と同じことを意味しています。

そして「0.33=231」のような「丸数字＝数値」という関係が見つかったら、「数値÷丸数字」という計算をすると①が求められます。この場合は231÷0.33=700=①で、これが答です(図3)。矢印図(図4)でも同じ計算をしていますね。

これが線分図を使った相当算の解き方です。

図を書くと時に全体を「1」ではなく「①」と書いて、単位がある普通の数値と区別するのが大切です。

この「数値÷丸数字で①を求める」というのは受験算数の基本作業で「分配算」でも使いましたね。

テストで試してみましょう

残りから求める問題

問題文には直接書いていない「残りの割合」を使う問題です。

残りの割合

例えば「貯金の3割を使ったら5600円が残った。最初、貯金はいくらあったか？」という問題です。

さっきのルールで線分図を書きますが、これだけでは「丸数字=数値」という関係がみつかりません(図1)。
そこで問題文には書いていない「残りの割合」を自分で求めて書き込みます。全体が①で使ったのが3割=0.3ですから残りは①ー0.3=0.7で、これが5600円です(図2)。

0.7=5600という関係が見つかったので、5600÷0.7=①=8000円が最初の貯金額と分かります。

半端な数(プラス)

使う量に半端な数がある場合を考えます。

例えば「貯金の2割より2000円多く使ったら10000円が残った。最初、貯金はいくらあったか？」という問題です。

線分図を書きます。貯金全部を①、2割が0.2ですが、まだ「丸数字=数値」という関係が分かりません。

そこで①-0.2=0.8を書き込むと、0.8=2000+10000=12000円という関係が見つかりました(図2)

これで12000÷0.8で①=15000円と分かります。

半端な数(マイナス)

半端な数がマイナスの場合もあります。

例えば「箱に入ったたくさんのお菓子の4割より2個少ない個数を友達にあげたら26個残った。最初お菓子は何個あったか？」という問題です。

これも線分図を書きます。お菓子全部を①、4割が0.4、2個、26個という問題文の言葉・数値に加え①-0.4=0.6を書き加えて観察すると0.6=26-2=24という「丸数字=数値」の関係が分かります。

これで①=24÷0.6=40個と答が出せます。

確認テスト(2020.2.22作成中)

 

端数を合わせると全体になる

端数の書き方を使った別タイプの問題を解いてみます。

「足りない」タイプ

例えば「袋の中にレモン味とブドウ味のアメがたくさん入っている。レモン味のアメは全体の3割より2個多く、ブドウ味のアメは6割より3個多い。アメは全部で何個あるか？」という問題です。

線分図を書いてみます。二種類のアメしか無いのでレモン(0.3+2)とブドウ(0.6+3)ですき間なく①になります。

線分図をながめると、丸数字のすき間①-(0.3+0.6)=0.1が5と等しいのが分かります。「丸数字=数値」を見つけたので、数値÷丸数字で①=5÷0.1=50と分かります。

確認テストをどうぞ

「余る」タイプ

「梅アメと桜アメがたくさん入った袋がある。梅アメは6割より7個少なく、桜アメは5割より9個少ない。アメは合計何個あるか？」

全体を①、梅アメの線分図を0.6－7個の長さで区切ります。すると桜アメの個数もここまでとなります。

そして桜アメが0.5－9個になるように0.5を書くと、梅で書いた0.6と重なってしまいます。これがポイントです。

そもそも0.6+0.5=1.1なので0.1の重なりができるのですね。この0.1が7+9=16と等しいと気付ければ、①=16÷0.1=160と分かりますね！

 

二段階の問題(還元算)

「残りの」○割

例えば「昨日貯金の4割を使ってゲームソフトを買い、今日は残りの3割でフィギュアを買ったところ6300円残った。最初貯金はいくらあったか？」という問題です。

全体(最初の貯金)を①、昨日使ったのが0.4、そして今日使ったのは「残りの」3割なので0.3ではありません(それだと最初の貯金の3割になってしまいます！)(図1)。
そこで、昨日の残り0.6を新しい記号で1とおき、今日使った金額を0.3と書きます(図2)。

すると最後に残るのは1ー0.3=0.7で、これが6300円です。(図3)。

丸数字ではありませんが「記号数字=数値」が分かったので、6300÷0.7で1=9000円と求められます。これは0.6でもあるので、0.6=9000円です。やっと「丸数字=数値」が分かりました(図4)。

あとは9000÷0.6=15000円＝①で、最初の貯金は15000円と分かります！

このように元の数が2つ出てくる(記号数字が二種類以上出てくる)問題を「還元算」と言います。

還元算の解き方をまとめると次のようになります。

確認テスト(2020.2.18作成中)

還元算を相当算で解く
(記号を一種類ですませる)

記号が2種類あるのが面倒くさい！という人は次のように一種類の記号だけで解くことも出来ます。

フィギュアの値段は、昨日の残り0.6の3割(×0.3)なので0.6×0.3=0.18とも表せます(図1)。

すると今日残っている金額も0.6－0.18=0.42と表せて、これが6300円なので「0.42=6300」と分かります。ここから①=6300÷0.42=15000と答が出せます(図2)。

端数と還元算

半端な数の残りのさらに○割という面倒な問題も丁寧に図を書けば還元算で解けます。

例えば「ある本を一昨日は全体の4割より3ページ多く読み、昨日は残りの半分より3ページ少なく読んだところ30ページ残った。全部で何ページあるか？」という問題です。

一日目に読んだ量は0.4+3で、一日目の残りを1とすると、二日目に読んだ量は0.5－3、最後に残ったのが27ページです(図1)。

線分図を見て0.5=30-3=27ページと分かれば1が27÷0.5=54ページと分かります。これを線分図に書き込み「丸数字=数値」の関係を探します。

「0.6=54+3=57ページ」と気づけば、①も57÷0.6=95ページと分かりますね。

 

端数と還元算を相当算で解く

上の問題を一種類の記号で解くには少しテクニックを使います。

一日目の残りを「0.6－3」と表して、二日目に読んだ量を{(0.6－3)×0.5}-3=0.3－1.5-3=0.3－4.5 と計算します(0.6と3の両方に0.5をかけるのと-4.5になるのに注意)

 

線分図を眺めて、丸数字のすき間が①-(0.4+0.3)=0.3で、これが3+(30-4.5)=28.5ページだと気づけば、28.5÷0.3=95と求めることができます。

 

ただ、これは線分図も計算もやや複雑で計算ミスの可能性も増えるので、還元算でニ種類の記号を使ったほうが良いかもしれませんね。

 

 

もっと問題を解きたい・詳しい説明を見たい人は関連記事「相当算と還元算」を見て下さい。

次は「単位あたりの量」です。

単位あたりの量(作成中)

二重の矢印図

何かに似ている気がしませんか？そうです。通分の作業と似ていますね。

割合のグラフ(作成中)

 

詳しい説明を見たい人、問題を解きたい人は関連記事「割合のグラフ」を見て下さい。

この記事のまとめ

最後に、この記事のまとめを確認テストにしてみました。キチンとできれば卒業です！

((2019.12.29作成中))