小学5年生】割合の求め方・問題の答えの出し方。公式や「くもわ」より分かりやすい【中学受験

「割合が分からない…」割合の公式が使えない！」という小学生の方へ、無理もありません、教科書が分かりづらいんだから…でも大丈夫！東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすい考え方・式の立て方から中学受験の特殊算まで教えます。読み終えれば「割合」と友達になっているでしょう♪

この記事は超長文(2万字以上)になっています。下にある「目次」で読みたいところをクリック(タッチ)すると一気にジャンプできますよ！

要するに、
割合＝「○倍」です

割合は難しくない！

「割合」に苦手意識をもっている人は少なくありませんが、別に難しいことではないのです。だってみんな普段から使っていますから。

例えば、「～は～の2倍」「～は～の半分」という日本語を使ったことがない人はいないでしょう。これらは全て「割合」です。

「でも算数になると…難しいんだもん」という算数嫌いの人のために、思いっきり簡単にして言うと

「割合」とは、あるモノが別のモノの「何倍」かを表した数です。

例えば「2の3倍は6」という文の「3倍」これが割合です。「半分」なら「0.5倍」とか「12倍」というのが割合になります。

つまり、割合」と言っても小2で習った「かけ算」とあまり変わらないのです。難しく考えるのはやめましょう！

「くもわ」より「●●図」！

まず「図」を書く

算数の他の分野と同じように「割合」も文章を読んで式を作らないといけませんが、「文章」からいきなり「式」を作るのは難しいことがあります。そこで「簡単な図」を書いて「式」を立てるのが良いでしょう。

「割合の図」には色々ありますが、学校では「くもわ図」を習うことが多いでしょう。しかし、そもそも何が「く」で何が「も」なのか分かりづらい！これが「割合」を難しく感じさせる原因の一つです。

そこで、当ブログでは書くのも簡単で式も立てやすい「矢印図」をオススメします。

「矢印図」？？？私が自分で勝手に名付けているだけですｗ

これが「矢印図」です♪

さっき言った通り「割合はかけ算と同じ」なので、まずは「かけ算」の文章題で書く絵を思い出します。例えば「妹は鉛筆を3本持っていて姉は妹の4倍持っている。姉は何本持っているか？」という問題でこういう図を書きます。

低学年の生徒を楽しませるために絵を書いていますが、この絵を文字に変えるとこうなります。

これが「矢印図」です。簡単ですね？

同じ書き方で「2の3倍は6」という割合の文を書くと、こうなります。

矢印の方向に沿って文字を追っていくと「2×3は6(つまり、2の3倍は6)」と読めるのが特長です。

三つの数

矢印図には「2」「3」「6」三つの数が書いてあります。分かりやすいように、それぞれに名前を付けます。

「2」は矢印の根本にあるので「元(もと)の数」、「6」は矢印の先にあるので「先(さき)の数」、とします。
「3」は矢印についているので「矢の数」とします。簡単に言うと「「割合」は矢の数のことです。

この「2×3=6の矢印図(236の図)」を覚えるだけで「割合」の問題を解くのは本当に簡単になりますよ！

矢印図を書いてみる

せっかく矢印図を紹介したので「矢印図」を作る練習をしてみましょう(すぐ終わるから！ね？)

●例題1-(1)

もう一問練習しましょう♪

●例題1-(2)

もう慣れたのではないでしょうか？次は整数以外を使います♪

●例題1-(3)

元の数と先の数の大小をまとめると、こうなります。

最後に分数をもう一問やってみましょう。

●例題1-(4)

割合の基礎問題

三つの数の関係

割合の問題は、三つの数のうち分からない一つの数を、分かっている二つの数の計算から出す「クイズ」のようなものです！(いやマジで)

そこで「2×3=6の矢印図」を使って、分からない数「？」を分かっている残りの2つの数で計算式を作って出す練習をしてみます。

●例題2-(1)

二番目は「ほんのちょっと」頭を使います。

●例題2-(2)

最後は「矢印図」をバージョンアップします！

●例題2-(3)

以上で、矢印図の三つの数の関係が分かりました。まとめると下のようになりますが、逆向きの矢印を書けば➊さきの数と➌もとの数は分かるでしょう。❷矢の数だけは覚えても良いですが、このあと問題を解けば覚えなくても大丈夫と分かるでしょう♪

問題の解き方

では、問題を解いてみます。気楽にやってみましょう♪

●例題3-(1)

次も簡単かもしれませんね。

●例題3-(2)

ここから少し考えましょう。

●例題3-(3)

ところで、間違った図を書いてしまうのは、割合の考え方に慣れていないのもありますが、「『小÷大』という計算、つまり小数が答えになる割り算をしたくない…」というのが理由のこともあります。そうならないように、小数・分数の計算を得意にしておきましょう。
→分数のまとめ　→小数のまとめ

次は…想像できますね？

●例題3-(4)

ここからは、もう少し「割合の問題」っぽくなりますが、同じ様に解けば大丈夫！

●例題3-(6)

●例題3-(7)

このように「もとにする」と書いてある場合は、「もとにする」数を矢印図の「元の数」だと考えれば良いのです。名前も似ているし、分かりますね？

これで割合の基礎は大丈夫です！

確認テストで定着

割合の単位

パーセント(百分率)

パーセントは、「全部」つまり「×1」を100とした表し方です。もう少し分かりやすくいうと「100等分したうちの何個か」です(だから「百」「分」率なんですね。)

1パーセントは100等分したうちの1個。つまり「×1100」や「×0.01」と同じ意味です。
50パーセントは100等分したうちの50個なので「×50100(小数に直すと×0.5)」で「半分」と同じ意味
100パーセントは100等分したうちの100個なので「×100100(約分して×1)」で「全部」と同じ意味になります。

パーセントに直す

上の例で「×1」＝「100%」という例を書きました。数字だけに注目すると、「1」が「100」になっているので、ただの「倍」から「%」に直すには100倍すれば良いと分かります。
例えば「×2」は「200%」になります。

よくあるのは「×0.5」のような小数倍や「×12」のような分数倍をパーセントに直すことです。
「×0.5」は0.5を100倍して「50%」、「×12」も12×100=1×1002=1×501=50なので「×0.5」も「×12」も「50%」になります。

こうして見ると、わざわざ「パーセント」を作った理由が分かりませんか？

0.5や12のような小数・分数よりも50という整数の方が分かりやすいからですね。

パーセントから戻す

逆に、パーセントを普通の倍数に直す時は「÷100」をすれば良いのですが、割り算をするよりも「分母を100にした分数にする」と覚えておくと後の計算が楽です。(このあたりから算数では小数よりも分数の方が便利で大事になってきます。)

パーセントが分かれば次は簡単です。

歩合(ぶあい)

「～割」とか「～割～分」というのを聞くと思いますが、あれが「歩合」です。別に難しくありませんよ！

歩合は三種類

大きい順に「割わり」「分ぶ」「厘りん」の三種類があります。

歩合を%に直して整理

単位が3つもあるので、ちょっと混乱しましたね。そこで「1分ぶ」＝「1%」を利用して、歩合の単位を単純なパーセントに直して整理するとこうなります。

ポイントは、％の一の位を「分ぶ」にして、それより上は「割」下は「厘」にすることです。100％より上は「割」が10より大きい数字になることに注意しましょう！

歩合をパーセントや小数/分数に直す

さっきと逆に、歩合をパーセントにしてみます。ついでにパーセントから小数や分数にも直してみましょう。

ここでも、1％＝1分ぶ＝1100＝0.01 に注目すると分かりやすいですね！

単位の相互変換まとめ

割合を表す数字と単位が「整数・小数」「分数」「％」「歩合」と4種類でてきました。さっきの「歩合をパーセントに直す」にもまとまっていますが、テキストにあるように「整数・小数」から順に表にまとめるとこうなります。

こうしてみると、パーセントが単純で分かりやすく便利と分かりますね。

単位を直すのは割合の問題を解くときの最初の作業ですのでサクッと出来ることが必要です。確認テストをどうぞ

「増し」と「引き」

「～％増し」とか「～割引き」と聞いたことはありますね(消費税は10%など)？難しい話ではありません。気楽に読んで下さい♪

一番大事なこと

一番大事なのは、「増し」「引き」をすると、「先の数」が「元の数」よりも大きくなるか、小さくなるかを間違えないことです。

「～増し」はもとの数より大きくなります。矢印図が「小→大」になります。

ということは、かける数(矢の数＝割合)は1(100%)(10割)より大きいはずです。これを頭に入れて図を書き、計算すれば間違えません。

「～引き」はもとの数より小さくなります。矢印図が「大→小」になります。

ということは、矢の数は1(100%)(10割)より小さいハズですね。

このように、大きくなるか小さくなるかをハッキリとイメージできれば正しい答えが出せますよ！

では、「増し」「引き」それぞれの場合を見ていきます。

「増し」＝もとの数より大きくなる

「増し」の前には「10%」「3割」などの言葉がついていましたね？これが「どれくらい大きくなるか」を表しています。例えば「10%増し」なら「もとの数より10%大きくなる」という意味です。

百分率でもとの数は「100%」でしたから「10%増し」は「もとの数の100%+10 %」=「もとの数の110%」つまり「×1.1」になります。(ちなみに一番多いミスは「10%増し」を「10%」と同じに考えて「×0.1」としてしまうパターンです。「増し」はもとの数より大きくなるのを忘れないように！)

同じように「3割増し」ならもとの数(10割)より3割大きくなるので「もとの数の10割+3 割」=「もとの数の13割」つまり「×1.3」になります。(これも×0.3としないように注意して下さい)

ただ、歩合は「割」「分」「厘」と単位が3つもあるので%に直してしまう方がやさしいでしょう(1割=10%、1分=1%、1厘=0.1%)。例えば「3割2分増し」なら3割2分=32%なので「32%増し」と考えて「100+32=132%」=×1.32とします。(歩合とパーセントに直すのが不安な人は上を復習して下さい)

まとめるとこうなります。

「引き」＝もとの数より小さくなる

「引き」は「増し」の反対です。

例えば「10%引き」なら「もとの数(100%)より10%小さくなる」という意味で、つまり「もとの数の100-10=90%」つまり「×0.9」になります。

歩合は%に直します。「3割引き」なら「30%引き」なので「もとの数の100-30=70%」つまり「×0.7」に、「3割2分引き」なら3割2分=32%なので「100ー32=68%」=×0.68とします。

まとめると、こうなります。

増し引きの確認

確認テストをどうぞ

割合の三公式の問題

「矢印図」から「割合の三公式」へ

矢印図はこうでした♪(忘れた人・知らない人は記事の上の方にある「割合の基礎問題」(矢印図)を読んで下さい)

そして、学校などで習う「割合の三公式」はこちら

よく見ると…似ていませんか？

実は、似てるどころか中身は全く同じです。
「矢の数」が「割合」だと説明しましたね？また「もとの数」は「もとにする量」と言葉も似ています。残った「さきの数」が「くらべる量」になります。

ですから…矢印図を書いて計算すれば、途中式も答えも「割合の三公式」で解いたのと同じになります。
つまり、矢印図を使える人は「割合の三公式」を覚える必要は全くありません。

もちろん「くもわ図」を使う必要も全くないでしょう！

三公式の練習

それでは、前の章で学習した「パーセント」「歩合」「増し引き」も加えた割合の基本問題を解いてみましょう。

「三公式の練習」としています(解説にも三公式を書きます)が、矢印図で解いて構いません。公式を思い出せなくても構いません。正しい式を考え出せればOKです。

いつも最初に「矢印図」を書くか、イメージして下さい。

●例題5-(1)

このように「もとにする」と書いてある場合は、「もとにする」数を矢印図の「元の数」だと考えれば良いのです。名前も似ているし、分かりますね？

●例題5-(2)

このように、「割合の三公式」を使わなくても「矢印図」を書けば計算方法は思いつきますね。というわけでこれ以降も矢印図を使って解いていきます。

ここからは、色んな単位を使う問題です。

●例題5-(2)

このように、％の数字はそのままではなく小数・分数に直してから計算に使います。

次は歩合です。

●例題5-(3)

このように、パーセントや歩合は「整数・小数・分数」倍に直してから計算に使います。

●例題5-(4)

次は「引き」です。

●例題5-(5)

●例題5-(6)

●例題5-(7)

確認問題をどうぞ

単純な文章題

通常の割合の文章題

●例題6-(1)

 

●例題6-(2)

この調子でどんどんいきましょう♪

●例題6-(3)

ここまでは「先の数(くらべる量)」を求める問題でした。次は…

●例題6-(4)

この場合に限らず、整数÷整数は分数に直すのをオススメします。

●例題6-(5)

●例題6-(6)

ここまでは「矢の数(割合)」を出す問題でした。次は…分かりますね。

●例題6-(7)

●例題6-(8)

●例題6-(9)

増し引きの文章題

次は「増し」「引き」の文章題です。これができれば基本的な文章問題は大丈夫です！

「増し」「引き」の基本が不安な人は上の方にある「割合の増しと引き」を見直してからチャレンジして下さい。

●例題7-(1)

●例題7-(2)

●例題7-(3)

●例題7-(4)

確認テスト(2020.3.5作成中)

Eさんは全部で28問あるクイズに答えて、そのうち21問が正解でした。Eさんの正答率は何%ですか？→75%

割合のグラフ(作成中)

2つ以上の数の関係が一目で分かるように色々なグラフがあります。棒グラフと折れ線グラフは4年生で学びましたね。

図

図2　図3

このグラフを「10cmの長さで書いてくれ」と頼まれたら、それぞれの帯の幅を何センチにしたらよいでしょうか？ここから割合の問題になります。

A町B町C町がクラス全体にしめる割合を「先の数(町の人数)÷元の数(クラスの人数)」で求めます。その他は求める必要はありません。

すると、それぞれの帯の長さは「グラフ全体(10cm)×割合」で求められます。

あとは、それをもとに色帯を書けば完成です。

 

確認テスト(作成中)

詳しい説明を見たい人、問題を解きたい人は関連記事「割合のグラフ」を見て下さい。

図

円はぐるっと一周で360°なので、全体(もとの数)が360°です。これに割合をかけると各町のおうぎ形の中心角が分かります。

図

それをもとに円グラフを書いていきます。

 

複雑な問題を解く準備
～いろいろな図

最初に紹介したとおり、実際の様子(➀)を数字と文字だけにしたのが矢印図(➁)です。

さきほどの単純な文章題は、ただの計算問題に近いものでしたので「矢印図」だけで解けました。しかし問題が複雑になってくると「矢印図」で解くのが大変になってきます。

そこで「矢印図」以外の図を練習します。特に「線分図」は便利でよく使われています。

容器・メーター図・線分図

容器図

まず、ペットボトルのような容器全体(満タン)の量を「元の数」、実際に入っている量を「先の数」にして書きます(図1)。ここから更に「元の数」「先の数」を一つにまとめたのが「容器図」(図2)です。

メーター図

さらに、容器をもっと単純化して「メーター」にします(➀)。ゲームのライフの表示などにありますね。これも一つの図にまとめて「メーター図」にします(➁)。

メーター図では「全」が元の数で、割合はパーセントにすることが多いです。

線分図

さっきのメーターは「使った残りの量」だけを表示していましたが、今度は線分で「使った量」と「残りの量」の両方を表します(線のメーター図)。例として「60ページの本のうち12pを読んだ」のを図にすると「読んだのは12p、残りは48p」です(図1)　ここで図をパタン…と倒します(図2)！

「線分図」ができました。

ビーカー図(食塩水)

容器図の発展型で、食塩水(濃度)の問題を解くのに使います。

例えば「「15%の食塩水300gに含まれている塩の重さを求める矢印図は図1のようになります。これを一つにまとめたのが「ビーカー図」です(図2)。

矢印図での3つの数字がビーカー図では右下にまとまっています。

詳しくは「濃度(食塩水)の問題の解き方まとめ」を見て下さい(2020.3.5執筆中)。

売買の線分図

 

単位あたりの量(作成中)

二重の矢印図

何かに似ている気がしませんか？そうです。通分の作業と似ていますね。

次のステップへ