「割合が分からない…」割合の公式が使えない！」という小学生の方へ、無理もありません、教科書が分かりづらいんだから…でも大丈夫！東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすい考え方・式の立て方から中学受験の特殊算まで教えます。読み終えれば「割合」と友達になっているでしょう♪
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要するに、
割合＝「○倍」です
爽茶実際、皆さん普段から使っていますよ。
割合は難しくない！
「割合」に苦手意識をもっている人は少なくありませんが、別に難しいことではないのです。だってみんな普段から使っていますから。
例えば、「～は～の2倍」「～は～の半分」という日本語を使ったことがない人はいないでしょう。これらは全て「割合」です。
「でも算数になると…難しいんだもん」という算数嫌いの人のために、思いっきり簡単にして言うと
「割合」とは、あるモノが別のモノの「何倍」かを表した数です。
例えば「2の3倍は6」という文の「3倍」これが割合です。「半分」なら「0.5倍」とか「12倍」というのが割合になります。
つまり、割合」と言っても小2で習った「かけ算」とあまり変わらないのです。難しく考えるのはやめましょう！
「くもわ」より「●●図」！
まず「図」を書く
算数の他の分野と同じように「割合」も文章を読んで式を作らないといけませんが、「文章」からいきなり「式」を作るのは難しいことがあります。そこで「簡単な図」を書いて「式」を立てるのが良いでしょう。
「割合の図」には色々ありますが、学校では「くもわ図」を習うことが多いでしょう。しかし、そもそも何が「く」で何が「も」なのか分かりづらい！これが「割合」を難しく感じさせる原因の一つです。
そこで、当ブログでは書くのも簡単で式も立てやすい「矢印図」をオススメします。
「矢印図」？？？私が自分で勝手に名付けているだけですｗ
これが「矢印図」です♪
さっき言った通り「割合はかけ算と同じ」なので、まずは「かけ算」の文章題で書く絵を思い出します。例えば「妹は鉛筆を3本持っていて姉は妹の4倍持っている。姉は何本持っているか？」という問題でこういう図を書きます。
「妹が3本の鉛筆を持っていて
姉は妹の4倍を持っている」
低学年の生徒を楽しませるために絵を書いていますが、この絵を文字に変えるとこうなります。
これが「矢印図」です。簡単ですね？
同じ書き方で「2の3倍は6」という割合の文を書くと、こうなります。
矢印の方向に「2×3=6」
矢印の方向に沿って文字を追っていくと「2×3は6(つまり、2の3倍は6)」と読めるのが特長です。
三つの数
矢印図には「2」「3」「6」三つの数が書いてあります。分かりやすいように、それぞれに名前を付けます。
「2」は矢印の根本にあるので「元(もと)の数」、「6」は矢印の先にあるので「先(さき)の数」、とします。
「3」は矢印についているので「矢の数」とします。簡単に言うと「「割合」は矢の数のことです。
この「2×3=6の矢印図(236の図)」を覚えるだけで「割合」の問題を解くのは本当に簡単になりますよ！
矢印図を書いてみる
せっかく矢印図を紹介したので「矢印図」を作る練習をしてみましょう(すぐ終わるから！ね？)
●例題1-(1)
→まずは数字以外の「矢印図」を書いてしまいます。数字が入る3箇所にスペースを作っておきます。
この3つのスペースに「5」「4」「20」を入れれば完成です。
まず「4」は「倍」がついているので「矢の数」と分かります。
×4(矢の数＝割合)だけを入れた状態
次に「5」と「20」を矢印の向きに「5を4倍すると15」と読めるようにスペースに入れると、こうなりますね？
要するに、「5×4＝20」という式が出来る時に、矢印の方向に「5(もとの数)」「4(矢の数)」「20(さきの数)」の順に並べれば良いのです。
簡単でしょう？
3つの数が「A×B=C」の関係にある時に、
矢印の向きに沿って「A」「B」「C」を並べた図
もう一問練習しましょう♪
●例題1-(2)
→例1と日本語が少し違います。例1「2の3倍は6」と同じような日本語にすると「3の5倍は15」ですね。あとは例1と同じです。
「3を5倍すると15」なので「3×5=15」です。この順番に矢印にそって並べるとこうなります。
もしかしたら反対に入れてしまった人もいるかもしれませんが
図をもう一度見て「あれ？変だな」と気づくことができれば全く問題ありません！正しく書き直して下さい。
もう慣れたのではないでしょうか？次は整数以外を使います♪
●例題1-(3)
「●倍」という日本語がありません…が「半分」は0.5倍(または12倍)という意味なので「×0.5」や「×12」と同じです。
よくやるミスはこうです。まあ、今日はじめて教わったんだからしょうがないです。ﾄﾞﾝﾏｲﾄﾞﾝﾏｲ
つい「小→大」にしてしまいます
今までは「もとの数」が小さく「さきの数」が大きい図、つまり「小→大」という図ばかりでしたが、そうとは限りません。
問題文「7は14の半分」を最初の「2の3倍は6」と同じような順番にすると「14の12倍は7」で、これを式にすると「14×12=7」です。つまり数字を「14」「12」「7」の順に並べればOKです。
1より小さい数をかける時は矢印図が「大→小」になります。
12倍なので「大→小」になります
元の数と先の数の大小をまとめると、こうなります。
- 矢の数(割合)が1より大きい時→「小→大」になる
- 矢の数(割合)が1より小さい時→「大→小」になる
最後に分数をもう一問やってみましょう。
●例題1-(4)
分数が3つも出てきたので分数が苦手な人は一瞬緊張するかもしれませんが、ここでは図を作るだけなので気楽にやりましょう。
「29は13の23倍」を「2×3=6」と同じ順番にすると「13×23=29」です。これを矢印の向きに沿って「13」「23」「29」と並べるので、こうなりますね。
計算は、後でゆっくりすれば大丈夫です。
爽茶割合の基礎問題
爽茶さっそく問題を解いてみましょう！
三つの数の関係
割合の問題は、三つの数のうち分からない一つの数を、分かっている二つの数の計算から出す「クイズ」のようなものです！(いやマジで)
そこで「2×3=6の矢印図」を使って、分からない数「？」を分かっている残りの2つの数で計算式を作って出す練習をしてみます。
●例題2-(1)
これは一番簡単なパターンですね。
矢印の順番に読むと2×3=「?」で「？」＝6ですね。
答: ?=2×3
つまり、「先の数」は「もとの数」×「矢の数」で出せると分かります。
二番目は「ほんのちょっと」頭を使います。
●例題2-(2)
真ん中(矢の数)が分からない場合です。ここでは答えは分かっているので
6と2でどういう計算式を作れば3が出るかを考えます。
「割合はかけ算」ですが、2と6のかけ算では3は出ませんね。
ところで「割合」という字を見ると…「割」という字が入っています。そこで2と6の割り算を考えてみると、6÷2で3で出ますね！
答: ?=6÷2
つまり、「矢の数」＝「さきの数」÷「もとの数」ということですね！
最後は「矢印図」をバージョンアップします！
●例題2-(3)
このタイプが一番面倒くさいです…が、ある工夫をすればパッと分かります♪
「反対向きの矢印」を書きましょう！
反対向きの矢印は、計算も逆になる
この矢印は反対向きなので「矢の数」もかけ算と逆の割り算になります。これが矢印図のバージョンアップ！完成形です。
この反対向きの矢に沿って数を読むと「6÷3=?」で2が出せますね。
これで「もとの数」=「さきの数」÷「矢の数」で出せると分かりました。
以上で、矢印図の三つの数の関係が分かりました。まとめると下のようになりますが、逆向きの矢印を書けば➊さきの数と➌もとの数は分かるでしょう。❷矢の数だけは覚えても良いですが、このあと問題を解けば覚えなくても大丈夫と分かるでしょう♪
矢印図
→3つの数が「A×B=C」の関係にある時に、
矢印の向きに沿って「A」「B」「C」を並べた図
(例)「2×3＝6」の矢印図
➊さきの数=もとの数×矢の数
❷矢の数=さきの数÷もとの数
❸もとの数=さきの数÷矢の数
問題の解き方
では、問題を解いてみます。気楽にやってみましょう♪
●例題3-(1)
これは簡単ですね。聞かれている数を「？」とすると「14の7倍は？になる」で「14×7＝？」なのでかけ算をして98と分かりますね。
答: 98
図にするとこうなりますが、図を書く前に分かる人が多いでしょう。
次も簡単かもしれませんね。
●例題3-(2)
問題文を「2の3倍は6」と同じ形「23の4倍は□」に直せば簡単ですね。23×4＝□なので□は92と分かります。
答: 92
図にするとこうなります。
ここから少し考えましょう。
●例題3-(3)
反射的に「90÷18＝5」とやってはいけませんよ！
なれるまでは、まず図を考えましょう。18と90を左右どちらにするかで、2通りの図が考えられますが…
どちらの図が正しいでしょうか？
問題文「18は90の何倍か」を「2の3倍は6」と同じ形にすると「90の？倍は18」「90×？＝18」になるので…正しいのはこちらです。
次に？(矢の数ですね)を出しますが、公式を思いつかなくても大丈夫！
となりに「2×3=6」を書いて比べてみます。
「2×3=6」を見れば、「矢の数3」は「先の数6」÷「元の数2」で出ると分かります。同じことをやれば良いので、？は18÷90で出せば良いと分かります。
あとは落ち着いて18÷90を筆算して0.2と分かります。
答: 0.2
このように、割合の問題でパッと答えが出ない場合は問題の矢印図と「2×3=6」の矢印図を並べて書いてみましょう。自然と計算方法が分かると思います。
公式を暗記するよりも、このやり方を勧めます。
横に「2×3=6」の矢印図を書いて、
それを見ながら計算方法を考える。
ところで、間違った図を書いてしまうのは、割合の考え方に慣れていないのもありますが、「『小÷大』という計算、つまり小数が答えになる割り算をしたくない…」というのが理由のこともあります。そうならないように、小数・分数の計算を得意にしておきましょう。
→分数のまとめ →小数のまとめ
次は…想像できますね？
●例題3-(4)
いつものように、文を「2×3＝6」の形にするところからスタートです。
聞かれている数を「？」にすると「？×25＝200」という式が作れるので、図にするとこうなります。
「もとの数」を出すには、逆向きの矢印を書くとわかりやすかったですね！
これで？は200÷25で8と分かります。
答: 8
または、となりに「236」の矢印図を書いて、2=6÷3 と同じ計算をする、でも良いですね。
元の数＝先の数÷矢の数と分かります。
ここからは、もう少し「割合の問題」っぽくなりますが、同じ様に解けば大丈夫！
●例題3-(6)
間違えても良いので、とりあえず矢印図を書いてみましょう。
「～にあたる」というのは「～倍」と同じ意味です。ですから「90は□の23にあたる」は「90は□の23倍」と同じ意味です。
これをいつもと同じ形に直すと「□の23倍は90」「□×23=90」になるので、矢印図も書けますね。
□は元の数なので90÷23=90×31×2=45×31×1=135
答: 135
●例題3-(7)
「もとにしたとき」の意味がよく分かりませんが…とりあえず矢印図を書きます。
そして問題文の数のうち割合を聞かれているので「矢の数」が「？」で、「20人」は「もと」と言われているので矢印図でも「元の数」になるので、「6」は残った「先の数」と考えて図を書くとこうなります
「矢の数」を出すので、公式を覚えていればもちろん、覚えていなくても「236の図」を横に書けば「矢＝先÷元」と分かります。
あとは6÷20を計算して0.3が答えと分かります。
答: 0.3
このように「もとにする」と書いてある場合は、「もとにする」数を矢印図の「元の数」だと考えれば良いのです。名前も似ているし、分かりますね？
これで割合の基礎は大丈夫です！
確認テストで定着
(1)□は31の6倍である。□はいくつですか？
( 
□=31×6=186 )
(2)143は12の何倍ですか？
→( 
?=143÷13=11 )
(3)12は84の何倍ですか？
→( 
?=12÷84=1284=17 )
(4)19倍して285になる数を求めよ
→( 
285÷19=15 )
(5)21は□の35にあたる。□はいくつか？
→( 
□=21÷35=21×53=21×53=35 )
(6)29をもとにしたとき87の割合はいくつか
→( 
29が元の数になる。?=87÷29=3 )
(7)36をもとにしたとき27の割合はいくつか
→( 
?=27÷36==2736=34 )
爽茶ここまでで、割合の基礎的な考え方は身につきました。割合が苦手になることは無いでしょう♪(いやマジで)
次は「%」「割」など割合の単位を学びます！
割合の単位
爽茶ここまで割合を表すのに「○倍」という表現だけを使っていましたが、日常生活では他の言い方も使いますね。例えば、「100％大丈夫！」とか「バーゲンセールで3割引きで買った」などです。
その「％(パーセント)」や「割」を算数的にも使いこなせるようにしましょう！。
パーセント(百分率)
パーセントは、「全部」つまり「×1」を100とした表し方です。もう少し分かりやすくいうと「100等分したうちの何個か」です(だから「百」「分」率なんですね。)
1パーセントは100等分したうちの1個。つまり「×1100」や「×0.01」と同じ意味です。
50パーセントは100等分したうちの50個なので「×50100(小数に直すと×0.5)」で「半分」と同じ意味
100パーセントは100等分したうちの100個なので「×100100(約分して×1)」で「全部」と同じ意味になります。
「％」→あるものを100等分したうちのいくつか
「1％」→あるものを100等分したうちの一つ
「100％」→あるもの全体(×1と同じ)
1%=×1100=×0.01
50%=×50100=×0.5
100%=×100100=×1
パーセントに直す
上の例で「×1」＝「100%」という例を書きました。数字だけに注目すると、「1」が「100」になっているので、ただの「倍」から「%」に直すには100倍すれば良いと分かります。
例えば「×2」は「200%」になります。
よくあるのは「×0.5」のような小数倍や「×12」のような分数倍をパーセントに直すことです。
「×0.5」は0.5を100倍して「50%」、「×12」も12×100=1×1002=1×501=50なので「×0.5」も「×12」も「50%」になります。
「倍」の数を100倍すると「パーセント」になる
「×1」－(100倍)→「100%」
「×2」－(100倍)→「200%」
「×0.5」－(100倍)→「50%」
「×12」－(100倍)→「50%」
こうして見ると、わざわざ「パーセント」を作った理由が分かりませんか？
0.5や12のような小数・分数よりも50という整数の方が分かりやすいからですね。
パーセントから戻す
逆に、パーセントを普通の倍数に直す時は「÷100」をすれば良いのですが、割り算をするよりも「分母を100にした分数にする」と覚えておくと後の計算が楽です。(このあたりから算数では小数よりも分数の方が便利で大事になってきます。)
「%」の分母に100をつけると「倍の数」に戻る
「100%」→「×100100」－(約分)→「×1」
「200%」→「×200100」－(約分)→「×2」
「50%」→「×50100」－(約分)→「×12」
「50%」→「×50100」－(または)→「×0.5」
パーセントが分かれば次は簡単です。
歩合(ぶあい)
「～割」とか「～割～分」というのを聞くと思いますが、あれが「歩合」です。別に難しくありませんよ！
歩合は三種類
大きい順に「割」「分」「厘」の三種類があります。
歩合を%に直して整理
単位が3つもあるので、ちょっと混乱しましたね。そこで「1分」＝「1%」を利用して、歩合の単位を単純なパーセントに直して整理するとこうなります。
1割=10%、1分＝1%、1厘＝0.1％
★％の一の位を「分」にする
123％.4＝2割3分
123.4％＝2割3分4厘
120％.4＝12割
123％.4＝12割3分
123.4％＝12割3分4厘
ポイントは、％の一の位を「分」にして、それより上は「割」下は「厘」にすることです。100％より上は「割」が10より大きい数字になることに注意しましょう！
歩合をパーセントや小数/分数に直す
さっきと逆に、歩合をパーセントにしてみます。ついでにパーセントから小数や分数にも直してみましょう。
1割=10%=10100=×0.1
1分＝1%=1100=×0.01
1厘＝0.1％=101000=×0.01
4厘3分2割=.420%＝20100=×0.2
4厘2割3分＝.423％＝23100＝×0.23
2割3分4厘＝23.4％＝2341000＝×0.234
ここでも、1％＝1分＝1100＝0.01 に注目すると分かりやすいですね！
単位の相互変換まとめ
割合を表す数字と単位が「整数・小数」「分数」「％」「歩合」と4種類でてきました。さっきの「歩合をパーセントに直す」にもまとまっていますが、テキストにあるように「整数・小数」から順に表にまとめるとこうなります。
| 整数・小数 | 分数 | パーセント | 歩合 |
| ×1 | ×100100 | 100% | 10割 |
| ×0.5 | ×510(12)=50100 | 50% | 5割 |
| ×0.03 | ×3100 | 3% | 3分 |
| ×0.25 | ×25100(14) | 25% | 2割5分 |
| ×0.253 | ×2531000 | 25.3% | 2割5分3厘 |
| ×1.253 | ×12531000 | 125.3% | 12割5分3厘 |
こうしてみると、パーセントが単純で分かりやすく便利と分かりますね。
単位を直すのは割合の問題を解くときの最初の作業ですのでサクッと出来ることが必要です。確認テストをどうぞ
空欄を埋めなさい
| 整数・小数 | 分数 | パーセント | 歩合 |
| ×0.3 | ×310=30100 | 30% | 3割 |
| ×0.07 | ×7100 | 7% | 7分 |
| ×0.05 | ×5100(120) | 5% | 5分 |
| ×0.41 | ×41100 | 41% | 4割1分 |
| ×0.75 | ×75100(34) | 75% | 7割5分 |
| ×0.253 | ×2531000 | 25.3% | 2割5分3厘 |
| ×0.375 | ×3751000(38) | 37.5% | 3割7分5厘 |
| ×1.253 | ×12531000 | 125.3% | 12割5分3厘 |
「増し」と「引き」
「～％増し」とか「～割引き」と聞いたことはありますね(消費税は10%など)？難しい話ではありません。気楽に読んで下さい♪
一番大事なこと
一番大事なのは、「増し」「引き」をすると、「先の数」が「元の数」よりも大きくなるか、小さくなるかを間違えないことです。
「～増し」はもとの数より大きくなります。矢印図が「小→大」になります。
矢の数(割合)は1(100%)(10割)より大きい。
ということは、かける数(矢の数＝割合)は1(100%)(10割)より大きいはずです。これを頭に入れて図を書き、計算すれば間違えません。
「～引き」はもとの数より小さくなります。矢印図が「大→小」になります。
矢の数(割合)は1(100%)(10割)より小さい
ということは、矢の数は1(100%)(10割)より小さいハズですね。
このように、大きくなるか小さくなるかをハッキリとイメージできれば正しい答えが出せますよ！
では、「増し」「引き」それぞれの場合を見ていきます。
「増し」＝もとの数より大きくなる
「増し」の前には「10%」「3割」などの言葉がついていましたね？これが「どれくらい大きくなるか」を表しています。例えば「10%増し」なら「もとの数より10%大きくなる」という意味です。
百分率でもとの数は「100%」でしたから「10%増し」は「もとの数の100%+10 %」=「もとの数の110%」つまり「×1.1」になります。(ちなみに一番多いミスは「10%増し」を「10%」と同じに考えて「×0.1」としてしまうパターンです。「増し」はもとの数より大きくなるのを忘れないように！)
同じように「3割増し」ならもとの数(10割)より3割大きくなるので「もとの数の10割+3 割」=「もとの数の13割」つまり「×1.3」になります。(これも×0.3としないように注意して下さい)
ただ、歩合は「割」「分」「厘」と単位が3つもあるので%に直してしまう方がやさしいでしょう(1割=10%、1分=1%、1厘=0.1%)。例えば「3割2分増し」なら3割2分=32%なので「32%増し」と考えて「100+32=132%」=×1.32とします。(歩合とパーセントに直すのが不安な人は上を復習して下さい)
まとめるとこうなります。
「増し」→もとの数(100%、10割)より大きくなる
(例)10%増し=(100+10)%=110%=もとの数×1.1
(例)3割増し=(10+3)割=13割=もとの数×1.3
(例)3割2分増し=32%増し=(100+32)%=132%=×1.32
「引き」＝もとの数より小さくなる
「引き」は「増し」の反対です。
例えば「10%引き」なら「もとの数(100%)より10%小さくなる」という意味で、つまり「もとの数の100-10=90%」つまり「×0.9」になります。
歩合は%に直します。「3割引き」なら「30%引き」なので「もとの数の100-30=70%」つまり「×0.7」に、「3割2分引き」なら3割2分=32%なので「100ー32=68%」=×0.68とします。
まとめると、こうなります。
「引き」→もとの数(100%、10割)から引く
(例)10%引き=(100ー10)%=90%=×0.9
(例)3割引き=(10-3)割=7割=×0.7
(例)3または=30%引き=70%=×0.7
(例)3割2分引き=32%引き=(100ー32)%=68%=×0.68
増し引きの確認
確認テストをどうぞ
小数倍に直しなさい。
(1)13%増し→( 113％なので×1.13 )
(2)4割増し→( 40％増し=140％なので×1.4 )
(3)1割9分増し→( 19％増し=119％なので×1.19 )
(4)7%引き→( 93%なので×0.93 )
(5)2割引き→( 20%引き=80%なので×0.8 )
(6)3割3分引き→( 33%引き=67%なので×0.67 )
爽茶後は問題を解くだけです。
割合の三公式の問題
爽茶ですから「矢印図」が分かっている人はスラスラ出来る？でしょう
「矢印図」から「割合の三公式」へ
矢印図はこうでした♪(忘れた人・知らない人は記事の上の方にある「割合の基礎問題」(矢印図)を読んで下さい)
矢印図
→3つの数が「A×B=C」の関係にある時に、
矢印の向きに沿って「A」「B」「C」を並べた図
(例)「2×3＝6」の矢印図
➊さきの数(6)=もとの数(2)×矢の数(3)
❷矢の数(3)=さきの数(6)÷もとの数(2)
❸もとの数(2)=さきの数(6)÷矢の数(3)
そして、学校などで習う「割合の三公式」はこちら
➊割合＝くらべる量÷もとにする量
❷くらべる量＝もとにする量×割合
➌もとにする量＝くらべる量÷割合
よく見ると…似ていませんか？
➊矢の数=さきの数÷もとの数
❷さきの数=もとの数×矢の数
❸もとの数=さきの数÷矢の数
実は、似てるどころか中身は全く同じです。
「矢の数」が「割合」だと説明しましたね？また「もとの数」は「もとにする量」と言葉も似ています。残った「さきの数」が「くらべる量」になります。
ですから…矢印図を書いて計算すれば、途中式も答えも「割合の三公式」で解いたのと同じになります。
つまり、矢印図を使える人は「割合の三公式」を覚える必要は全くありません。
もちろん「くもわ図」を使う必要も全くないでしょう！
三公式の練習
それでは、前の章で学習した「パーセント」「歩合」「増し引き」も加えた割合の基本問題を解いてみましょう。
「三公式の練習」としています(解説にも三公式を書きます)が、矢印図で解いて構いません。公式を思い出せなくても構いません。正しい式を考え出せればOKです。
いつも最初に「矢印図」を書くか、イメージして下さい。
●例題5-(1)
割合の問題なので、矢印図を書きます。
問題文にある「もとにする」というのは「矢印図」でいう「矢の根元にある数(もとの数)」にするという意味でなので、矢印の根元に20が入ります。問題文で聞かれているのは割合なので「矢の上の数(矢の数)」が「？」になります。
これを見ながら?を出す式を考えます。
「矢の数」を出すので、公式を覚えていればもちろん、覚えていなくても「2×3=6の矢印図」を横に書けば「矢＝先÷元」と分かります。
あとは6÷20を計算して0.3が答えと分かります。
答: 0.3
ちなみに「割合の三公式」の場合、「割合＝くらべる量÷もとにする量」から同じ計算式で同じ答えが出ます。
このように「もとにする」と書いてある場合は、「もとにする」数を矢印図の「元の数」だと考えれば良いのです。名前も似ているし、分かりますね？
●例題5-(2)
「あたる」の意味が分からなくても、とりあえず矢印図を書いてみましょう。
最初に種明かしすると、「～にあたる」というのは「～倍」と同じ意味です。ですから「□は120の13にあたる」は「□は120の13倍」と同じ意味です。
これをいつもと同じ形に直すと「120の13倍は□」「120×13=□」になるので、矢印図も書けますね。
□は先の数で120×13=120×11×3=40×11×1=40になります。
答: 40
ちなみに「割合の三公式」の場合「くらべる量＝もとにする量×割合」から同じ計算式で同じ答えが出ます。
このように、「割合の三公式」を使わなくても「矢印図」を書けば計算方法は思いつきますね。というわけでこれ以降も矢印図を使って解いていきます。
ここからは、色んな単位を使う問題です。
●例題5-(2)
「80」％をそのまま使うと大変なことになりますよｗ
ここまで読んできた人は、90が「元の数」で80％が「矢の数＝割合」なのはなんとなく分かるので、このような矢印図は書けるでしょう。
では、？を出す計算式はどうなるでしょうか？80をそのままかけ算にすると…
答えがずいぶん大きくなる(それだけで
オカシイわけではありませんが…)
？が7200になります…ここで「80%」の意味を思い出すと「100等分したうちの80個」ですから、元の数よりも小さくなるはず！小さくするには1よりも小さい数をかけないとダメですね(大→小のパターン)
ここで80%を整数・小数に変えたのを思い出しましょう…80%=×80100=×0.8(または×45)でしたね！これを「矢の数＝割合」として式を作ればOKです。
というわけで、90×0.8＝72が答えになります。
答: 72
このように、％の数字はそのままではなく小数・分数に直してから計算に使います。
次は歩合です。
●例題5-(3)
パーセントと同じく、歩合もそのままでは計算に使えません。
「□の4割は52」なので、矢印図は書けるでしょう。
「矢の数＝割合」が4割になっていますが、パーセントと同じく整数・小数・分数倍に書き換えましょう。4割＝×410=×0.4 を思い出して書き加えます
このあとは、逆向きの矢印を書き加えたり、となりに「236の図」を書いたりすれば、□＝52÷0.4 という式が作れるでしょう。それを計算して□＝130と分かります。
答: 130
このように、パーセントや歩合は「整数・小数・分数」倍に直してから計算に使います。
「%」や「割」「分」の数値
→「×小数」や「×分数」に直してから使う。
●例題5-(4)
「増し」は大きくなる、これが一番大事！
「増し」は大きくなります。「3%増し」はもとの数より3%大きくなって、もとの数の103%、×1.03になります。矢印図にするとこうなるので…
？(先の数)は700×1.03＝721になります。
答: 721
小数と大きな数のかけ算のやり方に注意して下さい。小数点や０は取り除いて「7×103」を筆算したあとで戻します。詳しくは「小数の足し算引き算かけ算」内の「小数と大きな数のかけ算」を見て下さい。
実は「先の数(増し・引きの結果)」を出す場合、大人はこういう面倒くさい計算をわざわざしません。こうやります。
まず700円の1%つまり1/100を7円と出しておきます。そして3%は7×3=21円なので、3%増しは700円に21円を足して721円と求めます。
小学生のみなさんも、割合になれてきたら同じ様に計算できるでしょう。
次は「引き」です。
●例題5-(5)
「もとの数」より小さくなります。
「23%引き」なら「もとの数(100%)より23%小さく」なるので100-23=77%、つまり×0.77になります。
「元の数」を出すので反対向きの矢印を書いて、308÷0.77を行います。ちょっと面倒くさいですが…丁寧に計算して400と分かります。
答: 400円
「元の数」を出す場合は、さっきのようなウラワザはありません。大人にとっても非常に面倒くさいです(汗)
●例題5-(6)
歩合を%に直すと簡単になりましたね♪
2割5分は25%と同じなので、2割5分引き=25%引きで、元の数の100-25=75%、×0.75と分かります。
0.75=3/4と思い出せれば、計算は簡単になります。
答: 114
●例題5-(7)
歩合を％から小数にして図を書きましょう。
3割6分=36%なので、3割6分増し=136%、×1.36と分かります。図を書くと「元の数」を出すと分かるので、反対向きの矢印を書いて(またはイメージして)
102÷1.36を計算して、75と求めます。これも面倒くさい計算でした。
答: 75
確認問題をどうぞ
2019.12.作成中
爽茶もっと問題を解きたい人に、市販の分野別問題周では「毎日のドリル」シリーズがオススメです。次は割合を使った文章問題です。
単純な文章題
爽茶これまでは「●は◎の⦿倍」のような文だけが出てきましたが、ここからは問題が「文章」になります。
しかし、やることは変わりません！「矢印図」を書いて「？」を出すだけです。
通常の割合の文章題
●例題6-(1)
「●×◯＝◎」の形にして矢印図を書き、それからゆっくり考えましょう。
「学校全体はAさんのクラスの22倍」を「2×3=6」の形に直すと、「Aさんのクラス(34人)×22倍=学校全体(?人)」つまり「34×22=？」になります。図にすると、こんな感じです。
これで、?=34×22=748人と分かります。(このような「先の数」を出す問題は図を書かなくても分かる人も多いでしょう。)
答: 748人
●例題6-(2)
「～にあたる」の意味を思い出しましょう。思い出せなくても、とりあえず答えを出してみましょう。
「～にあたる」は「～倍である」と同じなので、「男子の人数がクラス全体の47にあたる」は「男子の人数がクラス全体の47倍」と同じで、いつもの形に直すと「クラスの人数(35人)×47=男子の人数(?人)」です。
これで？=35×47=35×41×7=5×41×1=20人と分かります(この問題も図を書かなくても分かった人が多いでしょう。)
答: 20人
この調子でどんどんいきましょう♪
●例題6-(3)
計算する時、%の数字は…でした。
百分率(%)や歩合(割・分・厘)は、計算する時は小数倍か分数倍に直しましたね。
80%は小数倍にすると×0.8、分数倍にすると×80100=×45になるので、このどちらかを使います(分数の方が約分できるので簡単な計算になることが多いです)
これを使って問題の文章をいつもの形にすると「エレベータ定員の80%が乗っている人数」「定員(15人)×45=乗っている人数(?人)」になるので図はこうなります。
？＝15×45(または×0.8)=15×41×5=3×41×1=12人と分かります。
答: 12人
ここまでは「先の数(くらべる量)」を求める問題でした。次は…
●例題6-(4)
◯数だと答えが出ないので●数を使います。
クラス全員の人数が「もと」つまり「元の数」と分かるので、問題文の数字をいつもの順に並べると「36×？=12」です。これを図にして矢の数「？」の出し方を思い出します。
もし「36÷12」か「12÷36」か迷った場合には横に基本図である「2×3=6」を書いて…
となりの「2×3=6」を見る
「矢の数=先÷元」を思い出せればOKです。
さて、先÷元の計算をすると…12÷36は0.33…となってしまい割り切れません。困りました。
そういう時は分数を使います。分数は分子÷分母の割り算と同じ意味なので、12÷36=1236=13が答えになります。
答: 13
この場合に限らず、整数÷整数は分数に直すのをオススメします。
●例題6-(5)
まず…を出してから歩合に直しましょう。
歩合は計算では直接求められないので、割合(矢の数)を出して歩合に直します。
割合?=30÷50=3050=35=3÷5=0.6 で、これを歩合に直して、6割が答えです。
答: 6割
●例題6-(6)
この場合も%(百分率)を出すのは最後です。
図がこうなるのは分かるでしょう。
120÷300=120300=25=2÷5=0.4で、これを%に直した40%が答えです。
答: 40%
ここまでは「矢の数(割合)」を出す問題でした。次は…分かりますね。
●例題6-(7)
矢印図をバージョンアップさせると良いかもしれません。
図を書くと元の数を出す問題と分かります(➀)。式をすぐ思いつかないなら反対向きの矢印を書きます(➁)。
これで、？=40÷103＝40×310=40×31×10=12と分かります。
答: 12歳
●例題6-(8)
歩合(8割5分)を計算に使う形に直しましょう。
8割5分=85%=×0.85を使って図を書き、必要なら反対向きの矢印を付け足します。
これで、?=34000÷0.85=40000と求められますね
答: 40000円
●例題6-(9)
同じように解きます。
33%=×0.33に直して図を書けば計算方法も分かりますね。
？=231÷0.33=700ですね。
答: 700人
増し引きの文章題
次は「増し」「引き」の文章題です。これができれば基本的な文章問題は大丈夫です！
「増し」「引き」の基本が不安な人は上の方にある「割合の増しと引き」を見直してからチャレンジして下さい。
●例題7-(1)
「2割増し」を計算で使える数字に直しましょう。
「2割増し」＝10+2=「12割」=×1.2 に直して計算すると、15×1.2=18 と分かります。
答: 18個
？=15×1.2=18
●例題7-(2)
「18%引き」を計算で使える数字に直しましょう。
「18%引き」=100-18=「82%」=「×0.82」になおして計算すると、6000×82=4920円と分かります。
答: 4920円
?=6000×0.82=4920
●例題7-(3)
百分率(%)や歩合(割・分・厘)そのものは計算では出せません。
去年(620)を元の数にして今年(651)の割合を求めると、651÷620=1.05倍。これを％に直すと105%になる。105=100+5なので5%増しと分かる。
答: 5%増し
?=651÷620=1.05→105%=5%増し
●例題7-(4)
今までの知識を総動員して解いて下さい。
まず「3割引き」を分数倍(小数倍)に直すと「×710(×0.7)」なので「定価(？)×710＝売値(490)」と分かるので図を書きます(➀)。元の数を求めるので、逆向きの矢印を書き加える(➁)と分かりやすいですね。
定価(?)＝490÷710=＝490×107=490×101×7=70×101×1=700円と求められる。
答: 700円
確認テスト(2020.3.5作成中)
Eさんは全部で28問あるクイズに答えて、そのうち21問が正解でした。Eさんの正答率は何%ですか？→75%
爽茶もっと問題を解きたい人は「毎日のドリル」シリーズのような市販の分野別問題集も良いでしょう。次は割合の色々なグラフです。
割合のグラフ(作成中)
2つ以上の数の関係が一目で分かるように色々なグラフがあります。棒グラフと折れ線グラフは4年生で学びましたね。
図
例えば「36人のクラスで生徒が住んでいる地域を調べたところ、A町が○人,B町が●人,C町が◎人,その他が数人だった場合」にこれを無理やり一つの矢印図にするとこうなります。
図1
これだと、何町が一番多いのかが一目でわかりません。そこで人数をもとに棒グラフを書き(図2)これを横に並べてみると(図3)どの町が多いか少ないかが一目で分かります。これが帯グラフです。
図2 図3
このグラフを「10cmの長さで書いてくれ」と頼まれたら、それぞれの帯の幅を何センチにしたらよいでしょうか？ここから割合の問題になります。
A町B町C町がクラス全体にしめる割合を「先の数(町の人数)÷元の数(クラスの人数)」で求めます。その他は求める必要はありません。
すると、それぞれの帯の長さは「グラフ全体(10cm)×割合」で求められます。
あとは、それをもとに色帯を書けば完成です。
確認テスト(作成中)
詳しい説明を見たい人、問題を解きたい人は関連記事「割合のグラフ」を見て下さい。
図
円はぐるっと一周で360°なので、全体(もとの数)が360°です。これに割合をかけると各町のおうぎ形の中心角が分かります。
図
それをもとに円グラフを書いていきます。
爽茶複雑な問題を解く準備
～いろいろな図
最初に紹介したとおり、実際の様子(➀)を数字と文字だけにしたのが矢印図(➁)です。
さきほどの単純な文章題は、ただの計算問題に近いものでしたので「矢印図」だけで解けました。しかし問題が複雑になってくると「矢印図」で解くのが大変になってきます。
そこで「矢印図」以外の図を練習します。特に「線分図」は便利でよく使われています。
容器図
「大→小」の関係を分かりやすく表す図です。
まず、ペットボトルのような容器全体(満タン)の量を「元の数」、実際に入っている量を「先の数」にして書きます(図1)。ここから更に「元の数」「先の数」を一つにまとめたのが「容器図」(図2)です。
全体の量=元の数、入っている量=先の数
500mLが元の数、250mLが先の数
50%が矢の数(割合)
メーター図
さらに、容器をもっと単純化して「メーター」にします(➀)。ゲームのライフの表示などにありますね。これも一つの図にまとめて「メーター図」にします(➁)。
メーター図では「全」が元の数で、割合はパーセントにすることが多いです。
線分図
さっきのメーターは「使った残りの量」だけを表示していましたが、今度は線分で「使った量」と「残りの量」の両方を表します(線のメーター図)。例として「60ページの本のうち12pを読んだ」のを図にすると「読んだのは12p、残りは48p」です(図1) ここで図をパタン…と倒します(図2)！
元の数が60、先の数が12と48
矢の数(割合)を先÷元で計算している。
「線分図」ができました。
残りをきちんと書くのがコツ
ビーカー図(食塩水)
容器図の発展型で、食塩水(濃度)の問題を解くのに使います。
例えば「「15%の食塩水300gに含まれている塩の重さを求める矢印図は図1のようになります。これを一つにまとめたのが「ビーカー図」です(図2)。
図1:矢印図
300×0.15=45gが塩
図1を一つにまとめたもの
矢印図での3つの数字がビーカー図では右下にまとまっています。
詳しくは「濃度(食塩水)の問題の解き方まとめ」を見て下さい(2020.3.5執筆中)。
売買の線分図
物を売って利益を出す「売買算」で使います。
例えば「ある品物の原価に4割の利益を見込んで定価をつけ、1割引きでうったところ780円の利益があった。原価を求めよ」という問題を図で解くと次のようになります。
詳しくは「売買算」を見て下さい。
単位あたりの量(作成中)
二重の矢印図
何かに似ている気がしませんか？そうです。通分の作業と似ていますね。
お礼
爽茶最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです。
受験のお悩みアドバイス
中学受験に関する悩みに講師歴20年の「そうちゃ」がアドバイス致します。
小4・小5から受験をはじめても大丈夫？
中学受験は小3から始めるのが標準的ですが、小4・小5で受験を志すお子さんもいるでしょう。
ただ、集団塾のカリキュラムは新小4(3年)の2月から始まっているので、状況によっては入塾前にある程度の準備が必要なこともあるでしょう。
「集団塾に途中から入る準備」で詳しく書いたので見て下さい。
集団塾内のクラスを上げたい！
塾内で上のクラスに行きたい。または今のクラスを維持したいというのは当然の悩みです。
小4後半・小5になるとそれまでの学習の「穴」ができてくるので、クラス分けテストの範囲だけでなく「穴」埋めの復習と再定着をしないと点数アップが出来ません。
参考記事「塾内の組分けテストの成績を上げてクラスをアップするには？」を是非見て下さい！
6年なのに志望校に偏差値が足りない…
6年で始まる範囲の無い摸試で志望校に偏差値が足りない…というのは、ほとんどの受験生に共通の悩みです。
ただ、5年までは「算数の実力をつける・成績上げる」ことが大事でしたが、6年では頭を切り替えて「志望校の入試問題で合格点を取る」ことを目標にすべきです。
参考記事「6年生時の志望校対策」を是非見て下さい！
受験はしないけど…
受験は考えていないけれど、学校の勉強だけでは将来の高校受験・大学受験が不安…というご家庭もあるかと思います。
中学に入ると部活も始まり学習時間を確保できない生徒さんが多く、入学時の学校内の位置を変えるのが難しくなるので、小学生のうちに「地頭」を良くしておくのは非常に大切です。
参考記事「高校受験のための小学生の勉強法」を是非見て下さい。