【小学5年生】無料プリントあり♪公倍数の意味と求め方【中学受験】

この記事のまとめ

●公倍数=2つ以上の数に共通する倍数
●最小公倍数
=最初の公倍数。公倍数は最小公倍数の倍数になる
● 公倍数の求め方(書き出し法)
_(例:2と3の公倍数の求め方)
大きな方(3)の倍数を書き出していき、小さな方(2)の
_倍数にもなっている最初の数(最小公倍数=6)を見つける
最小公倍数(6)の倍数を書いていく

「公倍数って何?」という小学5年生と保護者の方へ。この記事は講師歴20年の管理人が公倍数の意味と「書き出し法」を使った公倍数の簡単な求め方を図解します。この記事を読んだ後は公倍数の基本はバッチリ、応用問題を解く準備もできているでしょう。

過去記事「倍数の意味と範囲」に目を通すと、楽に分かると思います。

なお、この記事の終わりにはプリントダウンロードセクションがあります。ぜひご利用下さい。

「公倍数」とは?

こんにちは!図解講師の爽茶です(2018/10/3)

公倍数の意味

まず「公倍数」とは何かというと、公倍数は2つ以上の数に共通する倍数ということになります。(「公」は「共通する」という意味)

ここで「倍数」の意味を思い出すと、こうでした。

倍数の意味(2つ)

「XがAの倍数」であるとき
→①XはAを2倍・3倍したもの
→②XはAで割り切れる

これを元に公倍数の意味を考えると、こうなります。

公倍数の意味(2つ)

「XがAとBの公倍数」であるとき
→①XはAを何倍か、Bを何倍かした数
→②XはAでもBでも割り切れる

例えば、18という数は、6を3倍、9を2倍した数になっています。つまり18は6と9の公倍数です。そして、18は6でも9でも割り切れますね!

クイズ感覚の問題で確認してみましょう。

例題1(公倍数の識別)

次の問いに○かXで答えなさい。

  1. 45は9と5の公倍数である。
  2. 42は7と8の公倍数である。
  3. 48は6と8の公倍数である。
ヒント

「割れるか」どうか考えればOKです

(1)の解答を表示

45は9でも5でも割れるので、9と5の公倍数です。

答:

(2)の解答を表示

42は7で割り切れますが8では割り切れないので、7と8の公倍数ではありません。

答:X

(3)の解答を表示

48は6でも8でも割れるので、6と8の公倍数です。

答:

難しくないですね?公倍数の意味は分かったと思いますので、次は公倍数を「求める」練習をしてみます。

公倍数の求め方(書き出し法)

例題2(公倍数を求める)

以下の問いに答えなさい。

  1. 2の倍数と3の倍数を小さい方からそれぞれ3個書き、共通するものを見つけなさい
  2. まず3の倍数を小さい方から6個左から右に並べて書きなさい。次に、その上に2の倍数を小さい方から一つづつ書き、3の倍数と共通するものを見つけなさい
  3. 2と3の公倍数の10番目は何か?
例題2-(1)
2の倍数と3の倍数を小さい方からそれぞれ3個書き、共通するものを見つけなさい
図解

2の倍数は2を1倍、2倍…と倍していった数ですから、小さい方から書くと、 2 , 4 , 6 …となります。

3の倍数も同じように考えて  3 , 6 , 9 … と続きます。

さて、同じ数(共通するもの)が出てきましたが、なんでしょうか?

解説と解答を表示

「6」ですね!
数直線上で2と3の公倍数を書き出し法で求めるやり方

答: 6

そして、この6は一番最初で一番小さい公倍数なので最小公倍数と言います。

例題2-(2)
3の倍数を小さい方から6個左から右に並べて書きなさい。次に、その上に2の倍数を小さい方から一つづつ書き、3の倍数と共通するものを見つけなさい
ヒント

面倒臭がらずに書いて下さい
(^_^;)

図解

2つの数の公倍数を書き出しで求める場合、大きい方を先に書くのがラクチンです。今回は2と3なので、3の倍数を書きます。

まず3の倍数を 3,6,9,12,15,18 と書き、その上に2の倍数を書いていき、3の倍数と同じものが出たら公倍数です。

解説と解答を表示

2,4,6! はい出ました。最初の公倍数6です

さらに続けて 8,10,12! 2つ目の公倍数は12です。

さらに続けて 14,16,18! 3つ目の公倍数は18です。

答: 6,12,18

さて、今の答えを見て何か気づきましたか?

答を表示

そうです!。2と3の公倍数は6の倍数になっています。このあと 6,12,18,24,30…と続いていきます。

そして、6は2と3の最小公倍数でしたから公倍数は最小公倍数の倍数になります。

公倍数と最小公倍数

公倍数は最小公倍数の倍数

この性質を使うと、公倍数の問題を簡単に解けます。

例題2-(3)
2と3の公倍数の10番目は何か?
ヒント

ただの「倍数」にして解いて下さい

図解
解説と解答を表示

「2と3の公倍数」は「最小公倍数6の倍数」なので、
この問題は、「6の倍数の10番目は何か?」と同じです。

6×⑩=60になりますね。

答: 60

このように公倍数の問題は、ただの倍数の問題に直すと簡単に解くことができます

以上が公倍数の基本になります。まとめると…

公倍数の性質

●公倍数=2つ以上の数に共通する倍数
●公倍数(2つ以上の数で割り切れる数)
●最小公倍数=はじめの(一番小さい)公倍数
●公倍数は最小公倍数の倍数

では、練習してみましょう。

●類題2-1

3と5の公倍数の20番目は何か?
図解
解答を表示

3と5の最小公倍数は15なので、3と5の公倍数は15の倍数と同じです。

そして15の倍数の20番目は、15×20=300 と分かります

答: 300

ここまでの問題では、2と3の最小公倍数→6、3と5の最小公倍数→15 という風に、最小公倍数は2つの数のかけ算になっていたのに気づいた人もいると思います。

ただ、必ずそうなるとは限りません。素数同士だとそうなります。素数を知りたい人は「素数と素因数分解」を見て下さい。。

次回の記事で簡単な出し方(すだれ算)を解説しますので、今のところは、丁寧に書き出しましょう。

●類題2-2

4と6の公倍数の30番目は何か?
図解
解答を表示

6の倍数を、書き出していき、4の倍数でもある数が出てきたら、それが最小公倍数です。

6 , 12 はい来ました!早かったですねw

これで、この問題は12の倍数の30番目を出す問題と同じなので、12×30=360と分かります。

答: 360

今度は逆から聞く問題です。

●類題2-3

210は10と14の公倍数としては何番目か?
ヒント

まずは、10と14の最小公倍数を求めましょう。

図解
解答を表示

14の倍数を書き出して10の倍数でもある数(1の位がゼロ)が出てくれば最小公倍数です。

14 , 28 , 42 , 56 , 70 はい来ました!

これで「10と14の公倍数」は「70の倍数」と同じ意味ですから、この問題は「210は70の倍数としては何番目か」と同じですね。

70を何倍すれば210になるか?ということなので、10÷70=3 から3番目と分かります。

答: 3番目

次は応用で、範囲がある問題です。中学受験をする人は解けないとダメですよ。

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公倍数と範囲の問題

ここからは応用問題になります。

解き方

決められた範囲(内)での公倍数の最大を求める問題です。さっきのようにただの倍数の問題に直すのがコツです。

倍数の問題の解き方は「倍数の意味・範囲」内の倍数と範囲の問題を見て下さい。

例題3(範囲内での倍数)

2と3の公倍数に関する以下の問いに答えなさい。

  1. 100より小さい6の倍数の中で一番大きいものは?
  2. 6の倍数の中で100に一番近いのは何か
ヒント

2と3の最小公倍数が6なので「2と3の公倍数」は「6の倍数」になります。

ですからこの問題は「2と3の公倍数」を「6の倍数」に変えて、こうなります。

例題3′(範囲内での倍数)

6の倍数について、以下の問いに答えなさい。

  1. 100より小さい6の倍数の中で一番大きいものは?
  2. 6の倍数の中で100に一番近いのは何か

では、倍数の復習のつもりで解いていきましょう

例題3′-(1)
100より小さい6の倍数の中で一番大きいものは?
図解
解説と解答を表示

6の倍数を小さい方から、6,12,18,24,30…と書き出していっても良いですが、面倒くさい!ですね。

そこで、6×いくつ にすれば100になるのか、出してみましょう

6×?=100の逆算で、?=100÷6=16.666… で割り切れません
(>_<)

仕方ないので、とりあえず16だとして…6×16=96になりますね。

この次の6の倍数は、6×17=102になって、100を越えてしまうので、
この96が答えになります。

答: 96

次の小問は条件が変わるのに注意しましょう。

例題3′-(2)
6の倍数の中で100に一番近いのは何か
ヒント

「近い」の意味をよく考えましょう

図解
解説と解答を表示

今度の問題は「近い」ですから、100を超えてもOKですね。

小問(1)で、100の前後に96(6×16)と102(6×17)という2つの数がありました。

この問題では「100より小さい」という条件が無いので102も除外されませんね。

では、96と102では、どちらが100に近いでしょうか?2つの数の差を求めて比べます。(大きい数から小さい数を引く)
96の方は、100-96=4の差。一方、102の方は 102-100=2の差

したがって、102の方が100に近いと分かります

答: 102

では類題を同じ様に解いてみてください。

練習問題で定着!

類題3

3でも4でも割り切れる数に関する以下の問いに答えよ
(1)100に一番近い数は何か?
(2)200に一番近い数は何か?

ヒント

「3でも4でも割り切れる数」は「3と4の公倍数」と同じです。そして「3と4の公倍数」は「『3と4の最小公倍数』の倍数」です(早口言葉みたいでこんがらがりますね…)

そこで、まず「3と4の最小公倍数」を求めましょう。

答を表示

4の倍数を書いていき、3の倍数でもある数が出てきたら、それが最小公倍数です。
4,8,12 出てきました。3と4の最小公倍数が12と分かりました。

これで、この問題は

どうなりますか?
12の倍数に関する以下の問いに答えよ
(1)100に一番近い数は何か?
(2)200に一番近い数は何か?

と同じになります。

類題3′

12の倍数に関する以下の問いに答えよ
(1)100に一番近い数は何か?
(2)200に一番近い数は何か?

ヒント

「一番近い」なので100や200を超えても良いことに注意しましょう。

●類題3′-(1)
12の倍数で100に一番近い数は何か?
図解
解答を表示

100÷12=8.…なので、12×8=96と次の数96+12=108のどちらが100に近いか調べると、

100-96=4,108-100=8なので、96の方が100に近いと分かります。

答: 96

●類題3′-(2)
12の倍数で200に一番近い数は何か?
図解
解答を表示

200÷12=16 なので、12×16=192、192+12=204

200-192=8 ,204-200=4 なので、204の方が200に近いと分かります。

答: 204

以上で公倍数の基本事項は終了です!

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公倍数(解説)

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爽茶そうちゃ
公倍数が分かりましたか?次回は、公約数の意味と求め方です。
最後までお読みいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立ったなら嬉しいです!

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