小学5年生】公約数・公倍数の総合案内(求め方・教え方・学び方)【中学受験生

当ブログの記事一覧

総合案内(このページ)
(1)公倍数の意味と書き出し
(2)公約数の意味と書き出し
(3)素因数分解と公約数公倍数(すだれ算)
(4)3つの数のすだれ算
(5)公倍数・公約数の個数問題
(7)公倍数と余り(~で割っても~で割っても◯余る数)
(8)公約数と余り(~を割っても~を割っても◯余る数)
(10)公約数・公倍数の応用問題

「倍数・約数・公約数・公倍数…どれがどれかよく分からない!」という小学生のあなた。講師歴20年の管理人が分かりやすく解説します。また中学受験生の方には応用問題の解き方も図解してあります。目次を見て、好きなところから読んで下さい。

倍数と公倍数(小学5年生)

倍数

倍数は九九のバージョンアップです。1から9よりも大きい数を1倍・2倍していったものです(九九と違って9倍以上もずっと続きます)。

倍数の意味
「AがBの倍数」
→➀AはBの2倍・3倍…
→➁AはBで割り切れる

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

(1)7の倍数とはどういう数か?2通りで表わせ
→➀( 7を1倍・2倍…した数
)
→➁( 7で割り切れる数 )
(2)23の倍数を小さい方から3つ書け
→( 一番小さいのは23×1=23、二番目が23×2=46、三番目が23×3=69 )

くわしい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は参考記事「倍数の基礎」を見て下さい

倍数の見分け方

実際に割り算をしなくても、簡単なルールで倍数かどうかを見分けることができます。

倍数の識別法

(ある位を見る各位の和を見る)

2の倍数かどうか見分ける→1の位が0,2,4,6,8のどれか

3の倍数かどうか→各位の和が3の倍数
(例「195」→1+9+5=15。15が3の倍数なので◎)

4の倍数下2ケタが「00」か4の倍数
(例「9912」→下2ケタは「12」。12が4の倍数なので◎)
5の倍数1の位が0か5

6の倍数(2段階で見分ける)
1の位が0,2,4,6,8のどれかで、各位の和が3の倍数

8の倍数下3ケタが8の倍数

9の倍数各位の和が9の倍数

10の倍数1の位が0か5

分数の約分で使うテクニックなので覚えておきましょう。

くわしい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は参考記事「倍数の見分け方」を見て下さい

公倍数

公倍数の意味

●公倍数=2つ以上の数に共通する倍数

=2つ以上の数で割り切れる数

●最小公倍数数=はじめの(一番小さい)公倍数

●公倍数は最小公倍数の倍数

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

(1)3と5の最小公倍数を求めなさい
→( 5の2倍10は3の倍数では無い。5の3倍15は3の倍数でもあるので、最小公倍数は15 )

(2)3と4の公倍数はどのような数か?一言で表現しなさい
→( 3と4の最小公倍数が12なので、3と4の公倍数は12の倍数 )

(4)6でも8でも割り切れる数はどのような数か?
→( 6でも8でも割り切れる数=6と8の公倍数=6と8の最小公倍数の倍数。6と8の最小公倍数は24だから、6でも8でも割り切れる数は24の倍数 )
(3)6と9の3番目の公倍数は?
→( 6と9の最小公倍数が18なので、6と9の公倍数は18の倍数。その3番目は18×3=54 )

くわしい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は参考記事「公倍数の意味と求め方」を見て下さい

倍数・公倍数の文章問題

2020.2.13作成中

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約数と公約数(小学5年生)

約数

約数の意味

約数の意味

「AがBの約数」→❶B=A×○と分解できる。

→❷AはBを割り切れる

求め方(書き出し)

約数の求め方(書き出し法)

X=A×B=C×D=E×F…と分解できる時、
A,B,C,D,E,FはXの約数である。

確認テストをどうぞ

確認テスト

20の約数を全て書き出しなさい
→( 20=1×20=2×10=4×5なので 1,2,4,5,10,20 )

詳しい説明を読みたい問題を解きたい人は「約数の基礎」を見て下さい(無料プリントのダウンロードができます)。

公約数

公約数の意味

●公約数=2つ以上の数に共通する約数

=2つ以上の数割り切れる数

最大公約数=一番大きい公約数

●公約数は最大公約数の約数

確認テストをしてみましょう

確認テスト(タッチで解答表示)

(1)12と18の公約数を求めなさい
→( 12の約数は1,2,3,4,6,12で18の約数は1,2,3,6,9,18なので、共通する約数は1,2,3,6 )
(2)12と18の公約数はどのような数か?一言で表現しなさい
→( 12と18の最大公約数が6なので、12と18の公約数は6の約数 )

約数・公約数の文章問題

2020.2.13作成中

 

小学校で学習する倍数・公倍数と約数・公約数の基本は以上です。この先は中学受験の範囲ですが、中学以降で必要になる事柄が多いので、算数が得意・好きな人は読んでみませんか?

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素因数分解で考える
(中学受験)

ここからは中学受験で聞かれる事項で、素因数分解が前提になります。

素因数分解のやり方

 

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「すだれ算と素因数分解のやり方」を見て下さい。

素因数分解と公約数・公倍数(すだれ算)

2つの数のすだれ算

 

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「素因数分解(すだれ算)と公約数公倍数」を見て下さい。

3つの数のすだれ算

 

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「三つの数のすだれ算」を見て下さい。

すだれ算を利用した問題

準備

例えば、12と18の場合はすだれ算はこうなります(左の数字は普通2と3が縦に並ぶのですが、分かりやすいように6で一発で割ってしまいます。)。

最大公約数→6)12 18
2  3
最小公倍数は6×2×3=36

ここに現れている数の関係を公式風にすると、こうなります。

X)A B
a b
(aとbは互いに素*)
最大公約数=X
最小公倍数Y=X×a×b
A=X×aB=X×b

*aとbはすだれ算の最下段なので公約数は1だけです。このような2つの数を「互いに素(たがいにそ)」と呼びます。

以上の図と知識を使って問題を解きます。

問題

(1)最大公約数が3で最小公倍数が84である2つ数を求めよ。ただし2つの数は共に2ケタの数である。
→すだれ算を書くと、こうなります。AとBを聞かれていますが、abを出すのがこの問題のポイントです。

3)A B
a b
3×a×b=84

3×a×b=84 から、a×b=28 と分かります。かけて28になる2数の組み合わせは、(1,28)と(2,14)そして(4,7)の3通りしかないので、(a,b)はこのどれかです。

このうち、(2,14)は「互いに素」でない(共に2で割れる)ので不適当です。
さらに(1・28)をすだれ算に入れてみると

3)3 84
1 28
3×1×28=84

Aは3×13になり、問題文の「2ケタ」に反してしまうのでやはり不適当です。

結局(4,7)の組み合わせのみが残り、これですだれ算を作ると、

3)12 21
4 7
3×4×7=84

12と21が答えと分かります。12,21

個数の問題

倍数の個数

基本

1からAまでの間にある倍数の個数

AからBまでの間にある倍数の個数

 

ケタ数指定

1ケタ

2ケタ

3ケタ

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「倍数の個数」を見て下さい。

公倍数の個数(ベン図の問題)

基本

公倍数は最小公倍数の倍数なので、公倍数の個数は倍数の個数と同じように求められる。

 

(例1)2020.2.13作成中

ベン図を使った問題

「aかbのどちらかで割り切れる数」を求める問題

aで割り切れる数(aの倍数)の個数A、bで割り切れる数(bの倍数)の個数B、aでもbでも割り切れる数(aとbの公倍数)の個数Cを出して、A+B-C を計算すると答えになる。

ベン図にするとこう。

((図))

確認テスト

 

約数の個数

単純に書き出す以外にも、素因数分解ができる人なら計算で求めることができます。

約数の個数の素因数分解での求め方

確認テストで試してみましょう♪

確認テスト(タッチで解答表示)

(1)12の約数の個数を求めよ
→( 12=2×2×3(2、3回)なので、12の約数は(+1)×(+1)=2×3=6 )

(2)90の約数は何個あるか?
→( 90=2×3×3×5(2回、3回、5回)なので、90の約数は(+1)×(+1)×(+1)=2×3×2=12 )

詳しい説明を読みたい、問題を解きたい人は参考記事「約数の個数と総和」を見て下さい。

公約数の個数

基本

公約数は最大公約数の約数なので、公約数の個数は約数の個数と同じように計算で求められる。

確認テスト(タッチで解答表示)

270と450の公約数の個数は?
→( 270と450の最大公約数は90。90=2×3×3×5なので、約数の個数は(+1)×(+1)×(+1)=12 )

ベン図を使った問題

「aかbのどちらかを割り切れる数」を求める問題

aを割り切れる数(aの約数)の個数A、bを割り切れる数(bの約数)の個数B、aもbも割り切れる数(aとbの公約数)の個数Cを出して、A+B-C を計算すると答えになる。

ベン図にするとこう。

((図))

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

270か450どちらかを割り切れる数の個数は?
→( 270の約数の個数は270=2×3×3×3×5より約数は2×4×4=16個(A) )
→( 450の約数の個数は450=2×3×3×5×5より約数は2×3×3=18個(B) )
→( 270と450の公約数の個数は最大公約数90の約数で12個(C) )
→( 求める個数は(A+B)-C=(16+18)-12=22個 )

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余りの問題

倍数と余り

倍数を使うと「~で割ると~余る」数を簡単にあらわすことができます。

倍数と余り

Aで割るとB余る数=「Aの倍数+B」または「Aの倍数-(A-B)

(例:7で割ると3余る数→7の倍数+3 または 7の倍数-4

プラス型「~の倍数+○」とマイナス型「~の倍数-○」の2つの表現方法があります。

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「倍数と余り(~で割ると余る数)」を見て下さい。

公倍数と余り

倍数と余りで出てきた「プラス型」「マイナス型」に加えて、はじめの一個を書き出して求める「書き出し型」があります。

基本(プラス型)

例:5で割っても7で割っても2余る数

→5と7の公倍数+2=「35の倍数+2」 になる。

マイナス型

例:5で割ると2余り、7で割ると4余る数

→5で割ると(5-2=)3足りず、7で割っても(7-4=)3足りない数
→5と7の公倍数-3=「35の倍数-3 」になる。

書き出し型

プラス型でもマイナス型でもない場合、最初の一個を書き出しで求め、それに公倍数を足すと二番目・三番目が出てきます(つまり、等差数列になる)

例:5で割ると2余り、7で割ると3余る数

→プラス型でもマイナス型でもない…はじめの一個を書き出しで求めて17、そこから35づつ増えて行く
(これは「はじめの数」=17「公差」=35の等差数列です)

約数と余り

約数を使うと「~を割ると~余る数」を簡単に表現できます。

約数と余り

Aを割るとB余る数
=(A-B)の約数でBよりも大きいもの

(例:「120を割ると8余る数」 
→(120-8)=112の約数で8より大きいもの

ただ、余りよりも大きいという制限に気をつけましょう。

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「倍数と余り(~で割ると余る数)」を見て下さい。

公約数と余り

「約数と余り」と同様に考えます。

「Aを割ってもBを割ってもC余る数」
=AとBの公約数のうちCより大きいもの
=AとBの最大公約数の約数のうちCより大きいもの

確認テスト(2020.2.13 作成中)

公倍数・公約数の利用問題
(作成中)

公倍数の文章問題

 

公約数の文章問題

 

公倍数・公約数のまとめは以上です。

ここから先はあなたの学習目的に応じた学習カリキュラムを提案します。

目的別のセットメニュー

爽茶そうちゃ
「公約数公倍数を学校よりも先に勉強しておきたい」「中学受験のためにはいつから勉強し始めれば良いの?」という小学生・保護者の方へ。あなたの目的に応じてどの順に記事を読むのが良いか提案します。

中学受験に備えて予習をしたい低学年

公倍数・公約数は手順通り解けば点数になりやすい分野なので「『ひらめき』が余り無い」というお子さんはぜひ予習させてあげましょう。大事な基礎点を確保できます。

中学受験の塾のカリキュラムが本格的に始まる小4までに一通りの予習を終えておきましょう。

小学校では倍数・約数と公倍数・公約数を同時に小5で学習しますが、かけ算・わり算が分かれば倍数・約数を予習できます。倍数・約数が分かったら「書き出し式」で公倍数・公約数が出せるように練習します。「すだれ算」まで行かなくても大丈夫です。

学習の際は必ず「書いて」手に覚えさせましょう。その経験の有無が小5以降の差として現れてきます。

中学受験の予習(小2,3)

(小2まで)2ケタのかけ算わり算
(小3まで)3ケタのかけ算わり算
(小3夏)倍数の基本
(小3夏)倍数の見分け方(上)
(小3夏)倍数の見分け方(下)
(小3夏)約数の基本
(小3冬)公倍数の基本
(小3冬)公約数の基本

集団塾のカリキュラムへ

中学受験用に総復習をしたい小6

重要頻出分野を短期間に復習するメニューです

総復習メニュー(受験生)

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)

「例題」は導入のため誘導形式になっているので、サクッと復習したい場合は「類題」からやると良いと思います。
また、最終チェック用に公式だけをまとめた記事があります(プリント作成中)

最終チェックに!

倍数・約数の基本公式まとめ

教科書の内容を確実にしたい

小学校のカリキュラムでは、小5の一学期に「約数倍数」と「公約数公倍数」が一気に出てきますので、少し予習をしておくと安心です。

教科書の予習・発展

(小4の冬休み)整数のかけ算わり算の復習
(小4の冬休み)倍数の基本
(小4の冬休み)約数の基本
(小4の春休み)公倍数の基本
(小4の春休み)公約数の基本
(小5の一学期)学校の授業
(小5の夏休み)復習

公立中に入学後の勉強に備えたい小6

小学校では公約数公倍数は「書いたり」「調べたり」して求めますが、中学に入ると、素因数分解とすだれ算で求めます。

中学受験用のページにこれらの内容がありますので、目を通しておくと中学の予習になります。

次のステップへ

最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです♪

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