小学生】倍数の識別・判定法(上) 二・三・四・五の倍数の見分け方【分数の約分にも使える】

この記事のまとめ

倍数の見分け方・識別法
(ある位を見る各位の和を見る)

2の倍かどうか見分ける
1の位が0,2,4,6,8のどれか
3の倍数かどうか→各位の和が3の倍数
(例「195」→1+9+5=15
・・・15が3の倍数なので◎)
4の倍数下2ケタが「00」か4の倍数
(例「9912」→下2ケタは「12」
・・・12が4の倍数なので◎)
5の倍数1の位が0か5
6の倍数(2段階で見分ける)
1の位が0,2,4,6,8のどれかで
・・各位の和が3の倍数

8の倍数下3ケタが8の倍数
9の倍数各位の和が9の倍数
10の倍数1の位が0か5

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「3の倍数かどうか、割り算せずに見分けたい!」「約分する時にすぐに分かるようにしたい」という小学生・中学生と保護者の方へ。この記事は「倍数の識別・見分け方」を分かりやすく図解します。分数の約分で使ったり非常に重要なだけなく、「クイズ」っぽいです!お子さん、生徒さんとクイズ大会でも開くつもりで、和気あいあいと教えてあげるといいでしょう

倍数の「見分け方」とは

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_teacher(プロフィール)です。

前回の記事前々回の記事では、「6の倍数で100に最も近いものは何?」という具合に、倍数の「もとになる数」から倍数を求めてきました

今回は、反対に「もとになる数」を聞いていきます。例えば、こういう問題です。

例題1-1

90は6の倍数ですか?

これが「倍数かどうか」を見分ける問題です。

図解

1回目の「倍数の意味」で説明した通り、「Aの倍数」=「Aで割り切れる数」ですから、6で割り切れれば6の倍数ということです。

倍数の意味

「BがAの倍数」
→①BはAを2倍・3倍…したもの
→②BはAで割り切れる

実際に90÷6を筆算してみると…

割り切れますか?
15
6)90
6 
30
30
 0

割り切れるので、90は6の倍数です!

答: 倍数です


では…これはどうでしょうか

例題1-2

1111110は6の倍数ですか?
図解

1111110って…
( ゚д゚) ポカーン

もちろん、1111110÷6を筆算して割り切れるか確かめればいいんですが…面倒くさい!(よね?)

ここで!使えるワザが「倍数の識別法」というわけです。

ちなみにこの問題は、各位の和が(ゴニョゴニョ)で1の位が(ゴニョゴニョ)なので6の倍数だと3秒で分かってしまいます
一方…筆算では

筆算してみます…

185185
6)1111110
6    
 51   
48   
 31  
30  
 11  
 6   
51 

48 
 30
30
 0

うわ~長い…3秒では無理!
(・ω・;)
というか、webで筆算を表現するのは大変なんです…
(つд`o)

このように、倍数の識別法を知っているのといないのとでは圧倒的な差があるんです!
受験するお子さんはもちろん覚えないとダメですが…分数の約分でも使いますので受験しないお子さんも、是非覚えるのをおすすめします!

では、そんなラクチンな識別法を順に見ていきましょう!

2の倍数
の見分け方

見分け方=一の位

2の倍数の識別は、知っている人も多いでしょう。

一の位(「下1ケタ」とも言います)が偶数(2,4,6,8)または「0」なら、残りがどんな数字でも2で割り切れます!

2の倍数の見分け方

1の位が0,2,4,6,8のどれかになっている

例えば「128」は、1の位が「8」なので2の倍数です

一方、「159」は1の位が「9」なので2の倍数ではありません

この識別法を使えば「1234567890」という長い数も、1の位が「0」なので2の倍数であると一瞬で分かる訳ですね!

1の位だけで分かる理由何故そうなるの?と疑問に思う人もいるでしょう。
中学生への説明はこうです。
「abc」=100a+10b+c=2(50a+5b)+c よってcが2の倍数2nなら
「abc」=2(50a+5b+n)と変形できるので2の倍数である。
小学校では文字式を習わないので分からなくてもOKです!
今日は、そういうものなんだと納得して下さい。
(*^ー゚)b
納得できない人に向けて(長いです)

え?納得できない?
(^_^;)
(ここで
webを軽く探してみると、説明しているサイトが見つからず、俄然やる気が出てきましたw)
では小学生向けに説明してみましょう…
3ケタの数、例えば「555」を考えてみます。
これを
100円玉5枚
10円玉5枚
1円玉5枚
のコインで持っているとします。

そして「2の倍数」=「2で割り切れる」=「ちょうど2つに分けられる」ですから
先程の555円分のコイン15枚を2つに分けられるか種類別に考えます。

まず100円玉5枚の500円です。
100円玉1つは50円玉2つに分けられる(両替)ので
100円が5枚あったら2つに分ける(両替)作業を5回すればOKで
100円玉が何枚あっても、同じように2つずつに分けられますね。
つまり、100の位はどんな数字がきても2つに分けられるのです。

次に10円玉5枚の50円です。
これも同じように、10円玉1つは5円玉2つに分けられ(両替)るので
10円玉が何枚あっても、同じように2つずつに分けられます。
つまり、10の位もどんな数字がきても2つに分けられるのです。

最後に1円玉5枚の5円。これは無理ですね。
100円や10円の場合と違って、1円玉はこれ以上細かくできないので、2枚を1枚ずつに分けるように、1円玉の個数で2つに分けるしかありません。

そして、2つに分けられる個数は「2枚」「4枚」「6枚」「8枚」で「0枚」のときも分ける必要が無いので大丈夫です。
(この0,2,4,6,8が2の倍数になる条件ですね!)

結局、100の位(100円玉の個数)と10の位(10円玉の個数)は何でもよくて、1の位(1円玉の個数)が2,4,6,8,0ならOKということです。

こうして、2の倍数かどうかは、1の位だけで判断できるんですね。
(*^ー゚)b

では、この識別法を使った例題を解いてみましょう

類題2-1

2の倍数か判定しなさい
(1)1524 (2)550001 (3)5987450

公式を使う練習です。

図解
解答を表示

(1)1の位が「4」なので2の倍数です

(2)1の位が「1」なので2の倍数ではありません

(3)1の位が「0」なので2の倍数です

答: (1)ある (2)ない (3)ある


今度は少し考える必要がありますが、クイズだと思って解いて下さい♪

類題2-2

「1」「2」「3」「4」「5」を一回づつ使って数字を作ります。
「3●25◯」が2の倍数になる時
●と○を求めなさい。
図解
解答を表示

まず、使われていない数字は「1」と「4」なので、●と○は1と4と分かります。

そして、2の倍数になるということは1の位にある○は偶数なので「4」に決定します。

したがって、●は残った「1」になります。●は1,○は4、が答えになります。

作った数は「31254」だったのですね

答: ●1 ○4


これで、2の倍数を見分けられるようになりました!

次は3の倍数です

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3の倍数
の見分け方

見分け方=各位の和

3の倍数はさっきの2の倍数とは全く違うルールです。

すべてのケタの数字を合計した数(「各位の和」)が3の倍数になっていれば、もとの数字も3の倍数になります。

例えば「123」の場合「各位の和」は 1+2+3=6 になります。
そして「各位の和」6が3の倍数なので、もとの数「123」も3の倍数だと分かるのです!

一方、「214」の場合「各位の和」が 2+1+4=7 で3の倍数でないので「214」も3の倍数ではありません

3の倍数の識別

各位の和が3の倍数になっている

何故そうなるのかは、先ほどと同じように中学生になれば分かりますので、今日は納得して下さい
m(_ _)m

では、問題を解いてみましょう!

類題3-1

3の倍数である/ないを判定しなさい
(1)「830」 (2)「12345」 (3)「1001001」

公式の練習ですね

図解
解説と解答を表示

(1)各位の和は 8+3+0=11 で3の倍数ではありません。よって、830自体も3の倍数ではありません。

(2)各位の和は 1+2+3+4+5=15 で3の倍数なので、元の「12345」も3の倍数です

(3)各位の和が 1+0+0+1+0+0+1=3 で3の倍数なので、元の「1001001」も3の倍数です

答: (1)ない (2)ある (3)ある


次が本番です。

類題3-1

「1」「2」「3」「4」「5」から異なる3つの数字を選んで数字を作ります。
「2●4」が3の倍数になる時、●は何ですか?また、その場合「24●」は3の倍数になりますか?
図解
解説と解答を表示

「2●4」が3の倍数になるということは、各位の和である 「2+●+4」 が3の倍数になるということですね。

そこで、使っていない「1」「3」「5」を●に入れて3の倍数になるか確かめます。

「1」→2+1+4=7(X)
「3」→2+3+4=9(O)
「5」→2+5+4=10(X)

これで、●に入るのは3と分かります

また、「24●」つまり「243」も2+4+3=9 で各位の和は変わらないので3の倍数である、と分かります。

答: =3 、ある


 

3の倍数と「場合の数」このように、使っている数字が同じならば順番を変えても必ず3の倍数になります。
「場合の数」でよく使う性質なので覚えておきましょう。

これで、3の倍数を見分けられるようになりました♪

4の倍数
の見分け方

見分け方=下2ケタ

2の倍数の見分け方と似ています。

10の位と1の位(「下2ケタ」といいます。)を2ケタの数字と見て
それが「00」または4の倍数ならもとの数も4の倍数です。

数字の後ろの方だけで判断できるところが2の倍数と似ていますよね?

例えば、
「3724」の場合
下2ケタは「24」です。
そして24は4の倍数なので
もとの数「3724」も4の倍数になります

一方
「2437」の場合
下2ケタは「37」で4の倍数ではないので
「2437」そのものも4の倍数ではありません

(注意)
4の倍数は、同時に2の倍数でもあります。

ですから
「2437」の「7」ように
下1ケタが偶数や0でない場合はそもそも2の倍数でないので
下2ケタが4の倍数かどうかをチェックするまでもなく、4の倍数ではない、と判断できます。

4の倍数の見分け方

下2ケタが「00」または4の倍数である
(当然、一の位は偶数)

では、
問題を解いてみましょう

類題4-1

4の倍数である/ないを判定しなさい
(1)1832 (2)98765492 (3)544861754600
図解
解答を表示

(1)1832の下2ケタは「32」で4の倍数です。
したがって「1832」自体も4の倍数です。

(2)98765432の下2ケタは「92」で4の倍数なので
「98765492」も4の倍数です。

(3)544861754600の下2ケタは「00」なので
「544861754600」自体も4の倍数です。

答: (1)ある (2)ある (3)ある


簡単ですね?
では、
少し頭を使う問題です

類題4-2

「1」「2」「3」「4」「5」を一回づつ使って数字を作ります。
「◆◇●2○」が4の倍数になるような最も大きな数字は何か?
図解

4の倍数=下2ケタが4の倍数になる→「2○」が4の倍数になるということですね。

残った数「1」「3」「4」「5」を○の代わりに入れて「2○」が4の倍数になるになるか確かめると

どうなりますか?

4だけが、下2ケタが「24」になって4の倍数になります。したがって○=4 と分かります。

次に、残った「1」「3」「5」をどのように並べるか考えます。できるだけ大きい数字にしたいです。

どのように並べますか?
大きい順に「5」「3」「1」と並べればよいですね。

これで「53124」が答えと分かりました。

答: 53124


これで
4の倍数も見分けられるようになりました。

5の倍数
の見分け方

見分け方=一の位

これは皆さんご存知でしょう。九九の五の段を連想すれば分かりますね。1の位が「0」か「5」ならその数は5の倍数です

5の倍数の見分け方

1の位が「0」か「5」である

問題を解いてみましょう

類題5

「2」「7」「5」「0」を並べ替えて4ケタの数を作ります。
一番小さい5の倍数は何ですか?
図解
解答を表示

5の倍数なので、一の位に使えるのは「0」か「5」

「0」を一の位に使うと、残りの数字は「2」「7」「5」
できるだけ小さい数を作るには、残った数字を小さい順に並べればよいので
「2750」になる

「5」を一の位に使うと、残りの数字は「0」「2」「7」
残った数字を小さい順に並べるが、「0275」は3ケタの数字なのでNG!

代わりに「2」を先頭に出して「2075」になる。

「2750」と「2075」を比べると「2075」が小さいので、こちらが答えになる。

答: 2075


これで5の倍数もOKですね。

次は…長くなったので回を改めましょう
(^_^;)

倍数の
見分け方は
まだ続きます…

というわけで、
冒頭の種明かしは次回に持ち越しになりました。

次回は、その6の倍数からです。プリントもありますのでぜひお読み下さい。

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