小学5年生】約数・公約数の意味と求め方は?(書き出し式)プリントあり

この記事のまとめ

約数の意味(例:Aが6の約数)

Aは6割り切れる

6=A×◯」に分解できる。


約数の求め方(書き出し式)
(例:6の約数を求める)
6=1×62×3と分解して1,2,3,6

「約数・公約数って何?」「約数・公約数を全部書けって言われたんだけど…」とお困りの小学5年生の方、ご安心下さい!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく説明します。

記事の最後でプリントを自由にダウンロードできますので、ぜひご利用下さい。

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「約数」の意味とは?

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

「やくすう」って何でしょうね?

例題1

□に適当な言葉を入れて文を完成させなさい
「ある数AをBで□できる時、BをAの約数と言う」
ヒント

まず倍数の意味を思い出しましょう。

図解

倍数の意味を思い出してください。例えば、6の倍数はどんな数でしたか?

答を表示

「6割り切れる数」=「6の倍数」でしたね。詳しくは過去記事「倍数の意味と範囲」を参照して下さい。

倍数の意味

「BがAの倍数」
→①BはAを2倍・3倍したもの
→②BはAで割り切れる

約数はその逆になります。

解答を表示

「6割り切れる数」=「6の約数」ということです。

したがって、「ある数ABで割り切れる時、BをAの約数という。」が答えになりますね

答: 割り切れる

問題を解く基本ですので覚えて下さい!

約数の意味

約数=他の数割り切れる

これを使って、次の例題です

例題2

約数と倍数の関係について、文章を完成させなさい
A=B×Cの時、
「□は◯の倍数」「□は●の倍数」
「◯は□の約数」「●も□の約数」
ヒント

誘導に乗って考えましょう

図解
説明を飛ばす

分かりやすいように「A=B×C」のA,B,Cを適当な数字にしましょう。今日は「6=2×3」にします。

「6=2×3」の場合、6は2の倍数で、3の倍数でもあります。
また、2と3は両方とも6を割り切れる数=「6の約数」です。

ここで「6=2×3 」を「AB×C」  に戻すと答がわかりますね

解答を表示

AはBとCの倍数。また、BもCもAの約数です。

 AはBの倍数」「AはCの倍数」

答:「BはAの約数」「CもAの約数」

ゴチャゴチャしてきましたね…
(^_^;)

ここでは「かけ算にすれば約数が分かるんだ」と考えておけばOKです!

約数の求め方としてまとめると、こうなります

Aの約数の求め方

A=B×C の時
BとCはAの約数である。
(例)
6=2×3なので、2と3は6の倍数

後の回に出てくる問題で使うので、これを線分図にしてみます。線分図基本講座で出てきた「かけ算の線分図」の形を使います

((リンク))

「A=B×C」は「BをC個つなげるとAになる」という意味ですので、線分図はこうなります。

また、「A=B×C」は「A=C×B」とも言えるので、こういう線分図も描けます。

書けるように練習しておきましょう!

約数の意味と求め方がわかったと思うので、問題を解いてみましょう

約数を求める問題
(書き出し式)

まず、導入形式でやり方を覚えましょう!

例題3(約数の書き出し)

18の約数に関する以下の問いに答えなさい

  1. 18を「○×●」というかけ算の形に直します。
    ○を1から順に2,3…と増やしていき、できるだけ多くの「組み合わせ」を書きなさい。
  2. 18の約数をすべて書き出し、小さい方から並べなさい
  3. 18の約数をすべて合計するといくつになりますか?

3-(1)

18を「○×●」というかけ算の形に直します。
○を1から順に2,3…と増やしていき、できるだけ多くの「組み合わせ」を書きなさい。
ヒント

「組み合わせ」であることに注意しましょう。

図解

ある数を「○×●」というかけ算の形に直すことを「分解」と呼びます。なじみがあるのは、九九に出てくる組み合わせでしょうか
例えば、(A)2×9=18 とか(B)3×6=18ですね。

この問題では「○を1から順に2,3…と増やしていき」という指定があるので、それに沿って書いていきましょう

初めは○=1なので、18=1×● に直します。●はいくつでしょうか?

答を表示

●=18 なので、「1と18」という組み合わせが出来ました。

次は○=2で,18=2×●に直すと●はいくつですか?

答を表示

●=9なので、「2と9」という組み合わせが出来ました。

あとは、◯=3,4,5,6…と増やしていくと、どんな組み合わせができるか書いていきます。

答を表示

○=3の時、18=3×6→「3×6」という組み合わせ
○=4の時、18=4×… 直せません
○=5の時、18=5×… これも直せず
○=6の時、18=6×3→「6×3」ができそうですが!
さっき「3×6」という組み合わせが出来ていました。「3×6」と「6×3」は同じ組み合わせです。

このように同じ組み合わせが出てきたら、そこで終了!です

今の作業を表にまとめるとこうなります。

18=◯×□への分解

1 2 3 4 5 6 7~
分解
した形
1×18 2×9 3×6 できない できない 6×3
(3×6
と同じ)
(終了)

1×18,2×9,3×6という3つの組み合わせが答えです。

答: 1×18,2×9,3×6

このように分解できると約数が分かります。

3-(2)

18の約数をすべて書き出し、小さい方から並べなさい
ヒント

「A=B×C」ならBとCがAの約数なので小問1の答えを見れば18の約数は分かりますね。

図解

小問1から、18は「18=1×18」「18=2×9」「18=3×6」という3つの形にできると分かるので、18の約数は…

解答を表示

1と18、2と9、3と6 と分かります。これらを小さい順に並べて答えになります。

答: 1,2,3,6,9,18>

次は、これを利用する問題です。

3-(3)

18の約数をすべて合計するといくつになりますか?
ヒント

悩まずに足しましょう。

図解
解説と解答を表示

小問2の答えをすべて足すと
1+2+3+6+9+18=39 になりますね

答: 39

これで例題1は終了です。

書き出しによる約数の求め方が分かりましたか?今度は導入なしで答えを出してみましょう!
( ・`ω・´)

類題3-1

12の約数をすべて求め、その合計を出しなさい
図解

まず12の約数を求めます。

答を表示

12を小さい数字で始まるかけ算に分解して、組み合わせを書き出していきます。
1×12→「112
2×6→「26
3×4→「34
4×3→「4と3」は「3×4」と同じ組み合わせなのでここで終了です

以上より、12の約数は1,12,2,6,3,4の6つと分かります。

_____

次に、約数の合計を求めます。

解説と解答を表示

約数の合計は、1+12+2+6+3+4=28となります。

答: 28

できましたか?もう一問練習しましょう。

類題3-2

30の約数をすべて求め、その合計を出しなさい
図解
30の約数は?

30を分解していきます。
1×30
2×15
3×10
4×…できません
5×6
6×5 これは「5×6」と同じなので
ここで終了

以上より、
30の約数は 1,2,3,5,6,10,15,30 の8つと分かります。

約数の合計は?

約数の合計は
1+2+3+5+6+10+15+30=72です

答: 72

最後はちょっと面倒くさい問題です。

類題3-3

210の約数をすべて求め、その合計を出しなさい
ヒント

途中でメゲずにやりきって下さい(ってヒントになってない)

図解
30の約数は?

1×210
2×105
3×70
4×…できません
5×42
6×35
7×30
8×…できません
9×…できません
10×21
11×…できません
12×…できません
13×…できません
14×15
15×14 これは「14×15」と同じなので、
ここで終了です

以上より、210の約数は
1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210 の16個です。

___

約数の合計は?

いま出した約数の合計は
1+2+3+5+6+7+14+15+21+30+35+42+70+105+210=546 です。

答: 546

これで全ての問題が終了です!!

約数の基本問題は以上です。

約数の基本問題
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約数基礎(問題)

公約数の意味

まとめ

◆◆◆ 公約数 ◆◆◆
2つ以上の数に
共通する約数で最大公約数の約数
(例:8と12の公約数は最大公約数4の約数になる)

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公約数は「2つ以上の数に共通する約数」です。

例題で確認しましょう!

例題1

8の約数と12の約数を全て書き出し、共通するものを書き出しなさい

約数を書き出すときは、かけ算に直していきました。詳しくは「約数の意味と書き出し方」を復習して下さい。

図解

まず、8の約数を書き出すと

8の約数を表示

8をかけ算に直すと、8=1×8、8=2×4 にできるので、8の約数は1,2,4,8 ですね

次に、12の約数を書き出すと

12の約数を表示

12=1×12、12=2×6、12=3×4 なので、12の約数は 1,2,3,4,6,12 ですね

では、共通するもの(つまり公約数)は何ですか?

公約数を表示

共通するものは…1,2,4の3つですね。

答: 1,2,4


ところで、「公倍数は最小公倍数の倍数」でした。公約数にも同じような性質があります。

今の答え(公約数)の1,2,4は一番大きな公約数「4」の約数になっています。
公約数の書き出しによる求め方の結果をベン図で示したもの
一番大きな公約数を「最大公約数」と呼ぶので、公約数は最大公約数の約数
になります。

前回の公倍数では「最小」公倍数がポイントでした。今回の公約数と最小・最大…ゴチャゴチャするので一度まとめます。
(^_^;)

公約数 公倍数
意味 2つ以上の数に共通する約数 2つ以上の数に共通する倍数
(別表現) AとB割り切れる数 AとB割り切れる数
キーとなる数 最大公約数=一番大きい公約数 最小公倍数=一番小さい公倍数
単純化すると 最大公約数の約数 最小公倍数の倍数

「倍数に最大は無いので最小」は倍数の方」と覚えるのが簡単でしょうか?
( ・Θ・)

類題で練習して下さい。

●類題1-1

18と27の約数を全て書き出して、公約数を書きなさい
図解
解説と解答を表示

18の約数は 1,2,3,6,9,18、27の約数は 1,3,9,27 なので、公約数(共通するもの)は…1,3,9ですね。

答: 1,3,9

そして、この3つは最大公約数9の約数になっていますね。


●類題1-2

16と24と40の約数を全て書き出して、公約数を書きなさい
図解
解説と解答を表示

16の約数は1,2,4,8,16、24の約数は1,2,3,4,6,8,12,24、40の約数は1,2,4,5,8,10,20,40 なので、公約数は1,2,4,8 ですね。

答: 1,2,4,8

そして、これらは最大公約数8の約数になっています。


以上で、公約数の基本も終了です!

公約数の問題
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公約数(解説)

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