小学5年生】約数/公約数の意味と求め方は?(書き出し式)

「約数・公約数って何?」「約数・公約数を全部書けって言われたんだけど…」とお困りの小学5年生の方、ご安心下さい!

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく説明します。

記事を読んで問題を解けば、約数・公約数の基本知識は全部分かっていることでしょう。

「約数」の意味

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

「やくすう」って何でしょうね?

1-1:約数の意味

□に適当な言葉を入れて文を完成させなさい
「ある数AをBで□できる時、BをAの約数と言う」
ヒント

まず倍数の意味を思い出しましょう。

解説

倍数の意味を思い出してください。例えば、6の倍数はどんな数でしたか?

「6の倍数」=「6で割り切れる数」=でしたね

倍数の意味

「BがAの倍数」
→①BはAを2倍・3倍したもの
→②BはAで割り切れる 

詳しくは過去記事「倍数の意味と範囲」を参照して下さい。

約数はその逆になります。

「6の約数」=「6割り切れる数」ということです。

したがって、「ある数AをBで割り切れる時、BをAの約数という。」が答えになりますね

割り切れる

問題を解く基本ですので覚えて下さい!

約数の意味

約数=他の数割り切れる

これを使って、次の例題です

2:約数と倍数の意味

約数と倍数の関係について、文章を完成させなさい
「A=B×Cの時、□は◯と●の倍数で◯と●は□の約数」
ヒント

誘導に乗って考えましょう

解説

分かりやすいように「A=B×C」のA,B,Cを適当な数字にしましょう。

今日は「6=2×3」にします。

「6=2×3」の場合、6は2の倍数で、3の倍数でもあります。

また、2と3は両方とも6を割り切れる数=「6の約数」です。

ここで「6=2×3 」を「A=B×C」  に戻すと答がわかりますね

AはBとCの倍数。また、BもCもAの約数です。

A=B×Cの時
AはBとCの倍数で
BとCはAの約数

ゴチャゴチャしてきましたね…
(^_^;)

ここでは「かけ算にすれば約数が分かるんだ」と考えておけばOKです!

約数の求め方としてまとめると、こうなります

Aの約数の求め方

●A=B×C の時、BとCはAの約数である。

(例)6=2×3なので、2と3は6の倍数

後の回に出てくる問題で使うので、これを線分図にしてみます。線分図基本講座で出てきた「かけ算の線分図」の形を使います

((リンク))

「A=B×C」は「BをC個つなげるとAになる」という意味ですので、線分図はこうなります。

A=B×Cの線分図

Bが(C)個並んでいる

また、「A=B×C」は「A=C×B」とも言えるので、こういう線分図も描けます。

A=C×B の線分図

CがB個並んでいる

書けるように練習しておきましょう!

約数の意味と求め方がわかったと思うので、問題を解いてみましょう

約数を求める問題
(書き出し式)

求め方を理解

まず、導入形式でやり方を覚えましょう!

3:約数の書き出し

18の約数に関する以下の問いに答えなさい
18を「○×●」というかけ算の形に直します。
○を1から順に2,3…と増やしていき、できるだけ多くの「組み合わせ」を書きなさい。
ヒント

「組み合わせ」であることに注意!

解説

ある数を「○×●」というかけ算の形に直すことを「分解」と呼びます。

なじみがあるのは、九九に出てくる組み合わせでしょうか

例えば、(A)2×9=18 とか(B)3×6=18ですね。

この問題では「○を1から順に2,3…と増やしていき」という指定があるので、それに沿って書いていきましょう

初めは○=1なので、18=1×● に直します。●はいくつでしょうか?

●=18 なので、「1と18」という組み合わせが出来ました。

次は○=2です。18=2×●に直すと●はいくつですか?

●=9なので、「2と9」という組み合わせが出来ました。

あとは、◯=3,4,5,6…と増やしていくと、どんな組み合わせができるか書いていきます。

○=3の時、18=3×6→「3×6」という組み合わせ
○=4の時、18=4×… 直せません
○=5の時、18=5×… これも直せず
○=6の時、18=6×3→「6×3」ができそうですが!
さっき「3×6」という組み合わせが出来ていました。「3×6」と「6×3」は同じ組み合わせです。

このように同じ組み合わせが出てきたら、そこで終了!です

今の作業を表にまとめるとこうなります。

18=◯×□への分解

1 2 3 4 5 6 7~
分解
した形
1×18 2×9 3×6 できない できない 6×3
(3×6
と同じ)
(終了)

1×18,2×9,3×6という3つの組み合わせが答えです。

1×18,2×9,3×6

このように分解できると約数が分かりますね

18の約数をすべて書き出し、小さい方から並べなさい
ヒント

「A=B×C」ならBとCがAの約数なので小問1の答えを見れば18の約数は分かりますね。

解説

小問1から、18は「18=1×18」「18=2×9」「18=3×6」という3つの形にできると分かるので、18の約数は…

1と18、2と9、3と6 と分かります。これらを小さい順に並べて答えになります。

1,2,3,6,9,18

次は、これを利用する問題です。

18の約数をすべて合計するといくつになりますか?
ヒント

悩まずに足しましょう。

解説

小問2の答えをすべて足すと
1+2+3+6+9+18=39 になりますね

39

書き出しによる約数の求め方が分かりましたか?今度は導入なしで答えを出してみましょう!
( ・`ω・´)

類題で定着

 

3:約数の書き出しと合計(1)

12のすべての約数の合計を出しなさい
解説

まず12の約数を求めます。

12を小さい数字で始まるかけ算に分解して、組み合わせを書き出していきます。
1×12→「112
2×6→「26
3×4→「34
4×3→「4と3」は「3×4」と同じ組み合わせなのでここで終了です

以上より、12の約数は1,12,2,6,3,4の6つと分かります。

次に、約数の合計を求めます。

先程出した約数を合計して、1+12+2+6+3+4=28となります。

28

できましたか?もう一問練習しましょう。

3:約数の書き出しと合計(2)

30のすべての約数の和は?
解説

30を分解していきます。
1×30
2×15
3×10
4×…できません
5×6
6×5 これは「5×6」と同じなので、ここで終了。

以上より、30の約数は 1,2,3,5,6,10,15,30 の8つと分かります。

これらを合計すると、1+2+3+5+6+10+15+30=72です

72

最後はちょっと面倒くさい問題です。

3:約数の書き出しと合計(3)

210の全約数の合計はいくつになるか?
アドバイス

途中でメゲずにやりきって下さい…

解説

まず210を分解して約数を求めましょう!

1×210
2×105
3×70
4×…できません
5×42
6×35
7×30
8×…できません
9×…できません
10×21
11×…できません
12×…できません
13×…できません
14×15
15×14 これは「14×15」と同じなので、ここで終了です

以上より、210の約数は1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210 の16個です。

いま出した約数を合計すると、
1+2+3+5+6+7+14+15+21+30+35+42+70+105+210=546 です。

お疲れさまでした!

546

約数の基本問題は以上です。

約数のまとめ

記事のまとめ

●約数の意味(例:Aが6の約数)
❶Aは6を割り切れる
❷「6=A×◯」に分解できる。

●約数の求め方(書き出し式)

(例:6の約数を求める)
6=1×62×3と分解して1,2,3,6 

約数の問題プリントダウンロート

(準備中)

約数基礎(問題)
約数基礎(問題)

約数の次は「公約数」を学びます

公約数の意味

公約数の「公」は2つ以上のモノに共通するという意味です。

だから「公」約数は「2つ以上の数に共通する約数」という意味になりますね♪

例題で確認しましょう!

求め方を理解

4:公約数の意味

8の約数と12の約数を全て書き出し、共通するものを書き出しなさい
ヒント

約数を書き出すときは、かけ算に直していきましたね

解説

まず、8の約数を書き出すと

8をかけ算に直すと、8=1×8、8=2×4 にできるので、8の約数は1,2,4,8 ですね

次に、12の約数を書き出すと

12=1×12、12=2×6、12=3×4 なので、12の約数は 1,2,3,4,6,12 ですね

では、共通するもの(つまり公約数)は何ですか?

共通するものは…1,2,4の3つですね。

共通する約数を探す
18の約数:1,2, 4, 8
12の約数:1,2,3,4,6, 12
1,2,4が共通している
1,2,4

ところで、「公倍数は最小公倍数の倍数」でした。公約数にも同じような性質があります。

今の答え(公約数)の1,2,4は一番大きな公約数(最大公約数)である「4」の約数になっています。
公約数の書き出しによる求め方の結果をベン図で示したもの
つまり、公約数は最大公約数の約数になります。

公約数

→2つ以上の数に共通する約数
最大公約数の約数

(例)8と12の公約数
→8と12の最大公約数は4なので
→8と12の公約数は4の約数

前回の公倍数では「最小」公倍数がポイントでした。今回の公約数と最小・最大…ゴチャゴチャするので一度まとめます。
(^_^;)

公約数 公倍数
意味
(別表現)
2つ以上の数に共通する約数
(AとB割り切れる数)
2つ以上の数に共通する倍数
(AとB割り切れる数)
キーとなる数 最大公約数
(一番大きい公約数)
最小公倍数
(一番小さい公倍数)
単純化すると 最大公約数の約数 最小公倍数の倍数

「倍数に最大は無いので『最小』は倍数の方」と覚えるのが簡単でしょうか?
( ・Θ・)

類題で定着♪

4:公約数を求める(1)

18と27の約数を全て書き出して、公約数を書きなさい
解説

18の約数は 1,2,3,6,9,18 で27の約数は 1,3,9,27 なので、公約数(共通するもの)は…1,3,9ですね。

18と27の公約数を探す
18の約数:1,2,3,6,9,18
27の約数:1,2,3,6,9,18,27
共通するのは1,3,9
1,3,9

そして、この3つは最大公約数9の約数になっていますね。

最後の問題です。

4:公約数を求める(2)

16と24と40の約数を全て書き出して、公約数を求めなさい
解説

16の約数は1,2,4,8,16
24の約数は1,2,3,4,6,8,12,24
40の約数は1,2,4,5,8,10,20,40

なので、公約数は1,2,4,8 ですね。

公約数を探す

16の約数:1,2,4,4,8,8,8,16,16,16

24の約数:1,2,3,4,6,6,8,12,12,24,24,24

40の約数:1,2,4,4,5,8,8,10,20,20,20,40,40

共通する約数は1,2,4,8と分かる♪
1,2,4,8

そして先程見たとおり、この4つの数は最大公約数8の約数になっています。

以上で、公約数の基本も終了です!

公約数の問題
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(準備中)

公約数プリント
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約数・公約数の意味と書き出しによる求め方が分かりましたか?
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