小学生】すだれ算で素因数分解のやり方。素数・約数【中学受験

「素数(そすう)?素因数?分解?何それ?」という小学生、特に中学受験生の方、ご安心下さい!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすくまとめました♪中でも「すだれ算」はとっても便利なのでマスターして下さい。

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なお、記事の最後でプリントを自由にダウンロードできます。

素数(そすう)って何?

素数の意味と見分け方

前回の記事「約数の意味と求め方」で、約数をもとめる時に、数をA×Bというように分解しましたね。
例えば、18は「1×18」「2×9」「3×6」と三通りに分解できました。

では、6はどうでしょうか?(▼をクリック)


前回と同じ考え方で「1×6」「2×3」と二通りに分解できますね。

今度は3はどうでしょうか?


「1×3」と一通りにしか分解できません
( ・Θ・)

2もそうですね。「1×2」と一通りにしか分解できません
( ・Θ・)

今の3や2のような「1×その数」と一通りにしか分解できない数を「素数(そすう)」と言います。

素数とは

「1×その数」という形にしか分解できない数
(例) 2→◯ 3→◯ 1→✕ 6→✕

面倒くさい!と思う人もいるかもしれませんが「素数」はとても便利な道具なので、どんな素数があるのかを見ていきます。

10までの素数

例題1(素数の識別)

1から10までの数のうち、素数はいくつあるか?
ヒント

かけ算に分解して調べましょう

図解

分解してみて、「1×その数」にしか分解できなければ素数です。1から順に調べていきます。

まず最初の「1」は素数でしょうか?(▼をクリック)


鋭いあなたは「1×1」には直せるからいいんじゃないの?と思ったもしれませんが、
(^_^;)

これを許すと「1×1×1」「1×1×1×1」…というように無限に作れてしまうので、1は分解できない!とされています。

したがって、1は素数ではありません

次の 2,3はさっき見たとおり、それぞれが「1×2」「1×3」と一通りにしか分解できなかったので、素数です

では、その次の「4」は素数でしょうか?


4は「1×4」「2×2」 と2通りに直せるので素数ではありません

ここまでの結果を表にすると、こうなりますね。


分解した形 素数か?
1 分解できない No
2 「1×2」だけ Yes
3 「1×3」だけ Yes
4 「1×4」と「2×2」の2つ No
5
6
7
8
9
10

では、表の残りの箇所を埋めて、素数が全部で何個あるか出して下さい!


こうなりますね

分解した形 素数か?
1 分解できない No
2 「1×2」だけ Yes
3 「1×3」だけ Yes
4 「1×4」と「2×2」 No
5 「1×5」だけ Yes
6 「1×6」と「2×3」 No
7 「1×7」だけ Yes
8 「1×8」と「2×4」と「2×2×2」 No
9 「1×9」と「3×3」 No
10 「1×10」と「2×5」 No

「素数」=「1×その数にしか直せないもの」は 2,3,5,7 の4個と分かります。4個

この後、素数は 11,13,17,19…と無限に続いていきますが、特に大切なのは「2,3,5,7」この4つです。

爽茶そうちゃ
素数は分かりましたね?
この後は、素数を使ったワザ「素因数分解」です!

素因数分解のやり方1
(2分解式)

やり方を理解♪

例題2(素因数分解)

30をできるだけ細かく分解していきます。以下の問いに答えなさい

  1. 30を2数のかけ算「A×B」に分解しなさい。ただし、1を使ってはいけません
  2. 上で答えた「A×B」のA,Bどちらかを更に2数のかけ算に直して、全体を3数のかけ算に直しなさい。
例題2-(1)
30を2数のかけ算「A×B」に分解しなさい。ただし、1を使ってはいけません
ヒント

答えは1つではありません。どれか1つが言えればOKです。

図解
解答を表示

3種類の直し方があります。「2×15」「3×10」「5×6」このどれでも良いです。2×15または3×10または5×6

1を使っていけない理由はさっきと同じで「…×1×1×…」といくらでも書けてしまうからです。

例題2-(2)
上で答えた「A×B」のA,Bどちらかを更に2数のかけ算に直して、全体を3数のかけ算に直しなさい。
図解

小問1の答えが「2×15」「3×10」「5×6」の3つあったので、順に直していきましょう。

例えば、「2×15」の場合、15を3×5に分解して「2×3×5」という3数のかけ算になります。

では、「3×10」の場合どうなりますか?

答を表示

10を2×5に分解して「3×2×5」という3数のかけ算になります。

また、「5×6」の場合は?

答を表示

6を2×3に分解して「5×2×3」という3数のかけ算になります。

いずれの場合も、小さい順に並べ直すと「2×3×5」という3数のかけ算に分解できます。2×3×5

もう気付いたと思いますが、素数だけのかけ算に直していたのですね(1は素数ではありませんでしたね)

このように、素数だけのかけ算に分解することを素因数分解と言います。

素因数分解は、数の問題では必ずと言っていいほど使うことになる超重要事項です。

素因数分解とは

素数だけのかけ算に直すこと
(例)30→2×3×5

類題で「ニ分解式」を身につけましょう♪

練習問題で定着♪

類題1

63を「二分解式」で素因数分解しなさい
図解

まず、63を2数のかけ算に分解すると(1は使ってはいけません)

解答を表示

「3×21」「7×9」のどちらかになりますね。

次にこれを更に3数に分解すると

解答を表示

「3×21」の場合
さらに
21を3×7に分解します

「7×9」の場合
さらに「9」を3×3に分解します

できた3数を小さい順に並べると 3×3×7 になります。3×3×7

これで素因数分解完成です。

爽茶そうちゃ
これで、二分解式の素因数分解は分かりましたね。次は、さらに便利なワザの登場です!

素因数分解のやり方2
(すだれ算)

爽茶そうちゃ

さて、さっきの2分解から3分解に直す方法でも素因数分解はできますが、よりスマートに、そして公約数や公倍数にも応用が効くワザを紹介します。

それが「すだれ算」です

「すだれ」って何?

知らない小学生もいると思うので…

↑これが「すだれ」です。使わないときは上に丸めておいて、使う時に下に伸ばすものです。言ってみれば昔のブラインドカーテンですね!

何と!奈良時代(710~793)からあったそうなので、1300年前から使われている!!すごいですね

下に伸ばす」というのがポイントです

やり方を理解♪

話を戻しまして…
(^_^;)
先程、「2分解式」で 2×3×5に素因数分解した30を、今度は「すだれ算」で素因数分解してみます。

例題3(素因数分解2)

30を「すだれ算」で素因数分解します。以下の問いに答えなさい。

  1. 30をできるだけ小さい素数で割って「すだれ」で書きなさい
  2. 上の答えをできるだけ小さい素数で割って「すだれ」で書きなさい。
  3. すだれ算の結果を書きなさい
例題3-(1)
30をできるだけ小さい素数で割って「すだれ」で書きなさい
図解

「すだれ算」は、割り算の一種です。ただ、普通の割り算と違って「素数」でしか割れません

ここでは30を割り切れる「素数」を考えます。できるだけ小さいものが良いです。何でしょうか?

正解を表示

素数は小さい方から2,3,5,7…でした。30を割り切れて一番小さいのは2です。

そして30÷2=15なので、これを「すだれ」にすると…

こうなります
2)30
15

変な形ですね
(^_^;)

普通の割り算の筆算を思い出して見比べてみます

すだれ算とわり算を表示
<割り算>
15
2)30
<すだれ算>
2)30
15

こう見ると、書いてある数字は全く同じです。すだれ算は答えを下に書いていく割り算だと思って下さい。

下に伸びていくので「すだれ算」なんですね!

すだれ算とは

わり算の答えを、上では無く下に書いていく形

さて、すだれ算はここで終わりではありません。

例題3-(2)
上の答え「15」をできるだけ小さい素数で割って「すだれ」で書きなさい。
図解

今度は、先程の答え15をできるだけ小さい素数で割ります。

どうなりますか?
2,3.5.7…のうち、2は無理で、3で割れますね。

15÷3=5 をすだれ算にすると…

すだれ算を表示
2)30
3)15
5

こうなります。

例題3-(3)
すだれ算の結果を書きなさい
図解
解答を表示

小問2の答えの5は素数なので、これ以上割り算ができず、すだれ算は終了になります。

2)30
3)15
5

完成したすだれ算の左と下には、素数が 235 と書いてあります。

これは 30=2×3×5 と素因数分解できたという意味です。

2)30
3)15
5

30=2×3×5

実は、「すだれ算」とさっきの「2分解式」は、やっていたことは同じです。

爽茶そうちゃ
すだれ算のやり方が、なんとなく分かってもらえたと思います。では、類題で練習しましょう!

問題で定着!

類題3-1

105をすだれ算で素因数分解しなさい
図解

まず105をできるだけ小さい素数で割ります。

割れるかどうかの判断は、以前「倍数の見分け方」で説明しましたね。特に大事なのは次の3つです

・1の位が「0,2,4,6,8」なら2で割り切れる
・各位の和が3の倍数なら3で割り切れる
・1の位が「0,5」なら5で割り切れる

では、105を2,3,5のうち一番小さいもので割って、すだれ算の形にして下さい。

答を表示

まず、1の位が5なので2では割り切れません。

次に、1+0+5=6なので、3では割り切れます

105÷3=35を、すだれ算で書くと

3)105
35

こうなります。

次に35をできるだけ小さい素数で割って、すだれ算にしてください。

答を表示

35÷5=7ですね。先程のすだれ算に、これを書き足すと

3)105
5)  35
7

こうなりますね。

解答を表示

7は素数なので、これで終了です。

105=3×5×7 と素因数分解できました。105=3×5×7

別解

ところで、105を見た時に多くの人が「5の倍数だな」と感じると思います。

では最初の割り算を 105÷5=21 としたら、どうなるでしょうか

答を表示

5)105
3)  21
7

すだれ算はこうなりますね

数字が、5→3→7という順番にならんでいますが、答えを書く時に「3×5×7」の順に直せば、OKです♪

類題3-2

84をすだれ算で素因数分解しなさい
図解
解答を表示

2,3で割っていくと

2)84
2)42
3)21
7

こうなるので…84=2×2×3×7と素因数分解できます。84=2×2×3×7

類題3-3

300をすだれ算で素因数分解しなさい
図解
解答を表示

2)300
2)150
3)  75
5)  25
5

こうなるので…2×2×3×5×5と素因数分解できます。300=2×2×3×5×5

類題3-4

1386をすだれ算で素因数分解しなさい
ヒント

数が大きくなっても同じようにやりましょう

図解
解答を表示

2)1386
3)  693
3)  231
7)    77
11

こうなるので…2×3×3×7×11と素因数分解できます。1386=2×3×3×7×11

爽茶そうちゃ
これで今回の問題は全て終了です。お疲れ様でした!

まとめとプリントダウンロート

この記事のまとめ

●素数=「1×その数」にしか分解できない数
●素因数分解=素数のかけ算に分解すること
(例:30を素因数分解すると、30=2×3×5 )


●すだれ算=答えを下に書いていくわり算 
●すだれ算による素因数分解

(例:30をすだれ算で素因数分解する)

2)30
3)15
5

30=2×3×5

記事で使ったプリントをダウンロードできます。

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約数2(解説)

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爽茶そうちゃ
素数・素因数・素因数分解が分かりましたね?
「倍数約数/公倍数公約数のまとめ」から
「素因数分解と約数」に進んで下さい。
最後までお読みいただきありがとうございました!この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです♪
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