和差算プリント57枚!基本公式の覚え方から応用・発展問題の解き方まとめ【中学受験前の総復習に

線分図を使った和差算の途中過程

「和差算って何?」という小学4年生や「解き方をマスターしたい」「応用発展問題を解きたい」という中学受験生と保護者の方へ。この記事は和差算の基本から応用・難問までの総まとめです。無料プリント57枚全285問が無料で利用できます。

線分図の書き方(復習)

爽茶そうちゃ

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_teacher(プロフィール)です。

和差算は線分図で習うことが多いので、あらかじめ線分図に慣れておくと良いですよ!
二つの数量の線分図

二つの数量の関係を表す線分図は「和」「差」「比」の三種類で、この組み合わせで「和差算」「分配算」が出来ます。

三種類の線分図の詳しい説明は「二量の関係は三つの線分図で表現できる♪」を見て下さい。
類似分野の分配算」「年齢算」も参考になると思います。
和と差の線分図

「和」「差」算の場合「和」と「差」を組み合わせるのでこういう形になります。

二つの数量の線分図の書き方については「二量の関係は三種類の線分図でOK」を参考にして下さい。

和差算の基本

爽茶そうちゃ
和差算は、2つの数の「和」と「差」からそれぞれの大きさを求める問題です。
(参考:ウィキペディアによる解説)
まず、基本の解き方をマスターしましょう!

和差算の基本解法

基本解法をまとめるとこうなります。

和差算の基本解法
  1.  大小2本の線分図を書く
    和差算の解き方。和と差の線分図を書く
  2. 「小」に切りそろえる(和-差)
    和差算の問題の解き方。線分図を切りそろえる
  3. (和-差)÷2で「」を求める
  4. 「小」+差で「」を求める

練習したい人はこちらをどうぞ。

和差算の基本解法

2つの数A、Bの和が44でBがAより6小さい時、Bの大きさを求めよ。
ヒント

❶線分図を書く→❷「小」に切りそろえる(和-差)→❸(和-差)÷2で「小」を求める→❹「小」+差で「大」を求める
の手順で

解答
表示

❶問題文を読むとBの方が小さいと分かるので、Aを「大」Bを「小」として線分図を書きます。そして和44と差6を書き込みます。

❷ここで「はみ出た」部分をチョキン!と切り取ります

❸すると、切り取った分6減って合計は38になり、これは「小」2つ分です。したがって、「小(B)」=38÷2=19 です。

❹一方「大(A)」は「小」より6大きいので、19+6=25 と分かります。

答:B=19

もう少し詳しい説明が見たい人は関連記事「ちがいに目をつけて」を見て下さい。

理解できたら、次は公式を使って暗算で出せるようにしましょう。小が「(和-差)÷2」で求められるのは上で見ましたが、差を切り取らずに継ぎ足せば(和+差)=大2つ分になるので、大=(和+差)÷2で求められます。

和差算(2量)の公式

「小」=(和-差)÷2 「大」=(和+差)÷2

この公式を使えば、「大」「小」どちらも一発で求められますね!

プリントダウンロード

和差算の基本問題をタップリ練習したい人に、大量18枚全90問のプリントを用意しました!サンプルを確認の上でダウンロードして下さい(PDFファイル)

和差算基本(線分図付き)

次は、数が三つある場合の解き方です。

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三つの数の和差算

爽茶そうちゃ
三つの数の和差算は「一番小さい数」と同じ長さに切りそろえるのがコツです!

三つの数の和差算の解き方

三つの数の和差算の解法
  1.  一番小さい数「がどれか読み取る
  2. 「小」を真ん中にして線分図を書き
    三つの合計()と「大と小の差」
    「中と小の差」2つの差を書き込む。
    三つの数の和差算の解き方。実際の書き込み例
  3. 三つの数の合計から2つの差を切り取り、
    」3つに切りそろえる
    三つの数の和差算の解き方。小に切りそろえる
  4. 合計から2つの差を引いた残り÷3で
    を求める
    三つの数の和差算の解き方。小を求める
  5. 「小」に差を足して「」「」を求める
    三つの数の和差算の解き方。中と大も求める

問題で確かめたい人はどうぞ

3つの数の和差算

合計が95である3つの数ABCがある。AはBより12小さく、CはAより10小さい。ABCそれぞれの大きさを求めよ。
解答
表示

問題文より、小さい順にC<A<Bと分かったら、一番小さいCを真ん中にした線分図を書くと、Cを基準にAは10大きくBは22大きいと分かります。

あとはCの大きさに切りそろえて÷3でCを出します。

A=21+10=31,B=21+22=43と分かります。

答: A=31,B=43,C=21

もう少し詳しい説明が見たい人は「ちがいに目をつけて」内の「三つの数の和差算」を見て下さい。

プリントダウンロード

三つの数の和差算までを練習したい人のために、超大量30枚150問ものプリントを用意しました。サンプルをご確認の上、リンクをクリックして下さい(PDFファイルになっています。)

和差算B標準
基本練習から文章題と
三つの数の和差算まで5問ずつ

30 29 28 27 26 25 24 23 22 21
20 19 18 17 16 15 14 13 12 11
10 09 08 07 06 05 04 03 02 01

次からは教科書レベルを超えた応用・発展問題です。主に中学受験用です。

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応用問題(1)
他分野との融合問題

爽茶そうちゃ
受験算数の各分野で「和差算」を利用する場面があります。
摸試・受験前の復習用にまとめてみました。

年齢計算の和差算

親子の年齢「差」はずっと変わらない事を利用します。

年齢の和差算

Aさんはお母さんが25歳のときに生まれました。現在、Aさんとお母さんの年齢の合計が43歳だとすると、Aさんは何歳ですか?
図解
解答を表示

Aさんとお母さんの年齢の「差」は25歳で変わらないので、

現在の2人の年齢の和が43、差が25と分かります。

Aさん(小さい方)の年齢は(43-25)÷2=9歳と分かります。

答: 9

 

つるかめ算(個数取り違え)

二種類の品物を買い物する時に、予定と実際で買う個数を逆にしてしまった問題です。

当ブログでは面積図ではなく、線分図を使って差集め算的なアプローチで解くのをすすめています。

ちなみに差集め算の公式は以下の通りでした。

差集め算の公式

●差の合計=一個の差×N(個数)
●N(個数)=差の合計÷一個の差
●一個の差=差の合計÷N(個数)

取り違え問題では二番目の公式を使います。

個数の取り違え

100円のアンパンと120円のクリームパンを合わせて20個買う予定でお店に行きましたが、買う個数を逆にしてしまったので160円高くなってしまいました。もともとの予定ではアンパンを何個買う予定だったでしょうか?
ヒント

差集め算っぽい線分図を書いてみましょう

図解
解答を表示

品物Aと品物Bの個数を取り違える問題の場合、

(予定金額と実際金額の差)÷(品物Aと品物Bの一個の値段の差)=AとBの個数の差 になります。
((図))

これと問題文に書いてある個数の和と合わせると和差算になります!

この問題の場合、予定金額と実際金額の差は160円、アンパンとクリームパンの一個の値段の差は120-100=20円なので、

160÷20=8個 がアンパンとクリームパンの個数の差になります。

問題文より個数の和が20個なので、

「大(もともとの個数が多い方)」「小(少ない方)」2つの数の和が20,差が8の和差算を解いて、「小」=(20-8)÷2=6 「大」=(20+8)÷2=14 と分かります

((図))

次に、アンパンとクリームパンのどちらが「小」か「大」かを考えると…

取り違えた結果高くなったので、もともとは値段が高いクリームパンの方が少なかった「小」と分かります。

よってもともとのアンパンは「大」で14個です。

答: 14

 

旅人算と和差算

旅人算の基本公式から

旅人算の基本公式

●出会う時間=2人の距離÷2人の速さの和
●追いつく時間=2人の距離÷2人の速さの差

出会う時間と追いつく時間が分かっている場合には

速さの和と差

●距離÷出会う時間=速さの和
●距離÷追いつく時間=速さの差

と分かります。

速さの和と差から、和差算で2人それぞれの速さが出せます。

旅人算の和差算

池を一周する1800mの道があります。道沿いのスタート地点からAとBが反対方向に走り出すと4分後に出会い、同じ方向に走り出すと36分後にAがBに追いつきました。AとBの速さはそれぞれ毎分mですか?
ヒント

速さの和と差を求めましょう

図解
解答を表示

4分で出会っているので2人の速さの和=1800÷4=450m/分

36分で追いついているので2人の速さの差=1800÷36=50m/分

AとBは和450、差50の和差算(追いついているAが「大」)を解いて…

A=(450+50)÷2=250  B=(450-50)÷2=200  と分かります

答: A:250m/分,B:200m/分

流水算

流水算の船の速さは次の通りです。

流水算の船の速さ

●川を下る時の速さ=静水せいすい時の速さ+川の速さ
●川を上る時の速さ=静水時の速さ-川の速さ

これを線分図にすると下図のようになります。

これは三量の和差算と同様の関係ですね。

この図より、上る速さと下る速さが分かっていれば、静水時の速さと川の流れの速さが求められます。

流水算の川の速さなど

●静水時の速さ=(上りの速さ+下りの速さ)÷2
●川の速さ=(上りの速さ-下りの速さ)÷2

これを使って問題を解いてみましょう。

流水算の和差算

川にそって15km離れて下流にA地点、上流にB地点がある。船に乗ってAからBまで往復したところ、行きは1時間40分、帰りは1時間かかった。この船の静水時の速さと川の流れの速さを求めなさい。
ヒント

まず上りと下りの速さをだしましょう。

図解
解答を表示

行きの速さ(上りの速さ)は15÷14060=9km/時、帰りの速さ(下りの速さ)は15÷1=15km/時なので

静水時の船の速さは(15+9)÷2=12km/時、川の流れの速さは(15-9)÷2=3km/時と分かります

答: 静水時の速さ:12km/時,川の速さ:3km/時

以上で利用問題は終了です。

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応用問題(2)
二重の和差算の解き方

爽茶そうちゃ

「二重の和差算」というのは、こんな問題です。「三つの数との和差算」との違いが分かりますか?

二重和差算の例

3つの数ABCの合計は220である。BはCより29大きく、AはBとCの和より14大きい。ABCはそれぞれいくつか?

「二つの数BCの和」と「残りの数A」との差が書いてあるのが特徴ですね!

 

解き方

「まず解いている所を見たい!」人は下のスライダーを使って下さい。画像の右端をクリックすると進みます。

二重の和差算
(右端クリックで進みます)

このやり方で、例題を実際に解いてみましょう。

二重和差算の例題

3つの数ABCの合計は220である。AはBとCの和より14大きく、BはCより29大きい。ABCはそれぞれいくつか?
ヒント

❶AとB+Cの和差算を解く→❷BとCの和差算を解く という手順で解きましょう。

図解

❶AとB+Cの和差算を解く

表示

「ABCの合計が220」で「AはBとCの和より14大きい」ので、BとCを別々に書かずにB+Cという一本の線分にして、AとB+Cという二本の線分で和差算と同じ図が書けますね。

これでAとB+Cの和差算を解いてA=117,B+C=103と分かります。

❷BとCの和差算を解く

表示

ここでB+C=103というのは「BとCの和が103」と言うことですね。

問題文より「BはCより29大きい」ので、BとCの和は103、差は29(BがCより大きい)になります。

このBCの和差算を解いて、B=(103+29)÷2=66、B=(103-29)÷2=37と分かります。

答:A=117,B=66,C=37

プリントダウンロード

二重の和差算を練習したい人のために、大量9枚のプリントを用意しました(後半は別の応用問題「疑似和差算」です)。サンプルをご確認の上、リンクをクリックして下さい(PDFファイルになっています。)

和差算C発展
二重の和差算・疑似和差算を5問ずつ

01 02 03 04 05 06 07 08 09

次は最後の問題「疑似和差算」です。

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和差算の発展問題
合計が書いていない場合

爽茶そうちゃ
最後は、三つの数があるのに「三つの合計」が書いてない!問題です。
(ここでは「疑似和差算」と読んでおきます)
疑似和差算には三種類ありますが、最後のタイプが重要です。

差が一つだけの問題

3つの数があって差が一つしか書いていないこんな問題です。

差が一つだけの例題

AとBの和が23、BとCの和が29、AとBの差が3である時、ABCはそれぞれいくつですか?

和差算と違って全部の合計が書いてありませんね。

よく読むか図を書くと分かりますが、AとBは和も差もかいてあります。

「ABの和差算にもう一つの数Cとの和がついた問題」と考えることができます。(「和差和わさわ算」と呼んでおきます)

この問題はABの和差算を解いてAとBを出した後、BCの和からBを引いてCを出せばOKです。

解答を表示

和が一つだけの問題

3つの数があって和が一つしか書いていないこんな問題です。

和が一つだけの例題

AとBの和が22、AとBの差が2、BとCの差が9である時、ABCはそれぞれいくつですか?

今度はAとBの「和」と「差」に加えてもう一つの数Cとの「差」が書いてあります。

和差算にもう一つ「差」がついた問題と考えられますね(「和差差わささ算」と呼んでおきます)

この問題はABの和差算を解いてAとBを出した後、BCの差をBに足してCを出せばOKです。

解答を表示

和しか書いてない問題の解き方

3つの数があって和しか書いていない(差が全く書いてない!)こんな問題です。

和しかない問題の例

3つの数ABCがあります。AとBの和が17、BとCの和が22、AとCの和が25の時、ABCはそれぞれいくつですか?

和が3つなので「和和和算(わわわざん)」と呼んでおきます。

このタイプはよく出題されるので出来るようにしておきましょう。ただ、解き方が少し複雑です。

例題を解きながら解法を理解して下さい。

和和和算の例題

3つの数ABCがあります。AとBの和が17、BとCの和が22、AとCの和が25の時、ABCはそれぞれいくつですか?
手順

❶和の式を並べる→❷三つの和の式から3数の合計を求める→❸2つの和の式から2数の差を求める(これを2・3回)→❹3数の和と差が分かったら(線分図を書いて)3数を求める

図解

❶和の式を並べる

解説と解答を表示

今まで問題を読んだら(読みながら)線分図を書きましたが、「和和和算」はまず三つの「和の式」を縦に並べて書きます。

❷和の式の合計÷2で3数の合計を出す

表示

三つの「和の式」を全部合計すると、「=」をはさんで左側は「A+B + B+C + A+C」になり、右側は「17+22+25」になります。

それぞれを整理すると左側は「(A+B+C)+(A+B+C)」に、右側は「64」になります。

(A+B+C)が2つで64なので、A+B+Cつまり3数の合計は64÷2=32 と分かりました。

❸和の式を比較して差を出す

表示

次は数の差を出していきます。

まず3つの和の式の上の2つ「A+B=17、B+C=22」に注目します。

2つの式でBは共通なので「=17」と「=22」の差5はAとCの差です。そしてCがAより5大きいと分かります。

同じように「B+C=22、A+C=25」からはAがBより3大きいと分かり

「A+B=17、A+C=25」からはCがBより8大きいと分かります。

ここまでで、ABCの和は32、ABの差は3(Aが大)、BCの差は8(Cが大)、ACの差は5(Cが大)と分かりました。

❹線分図を書いて答えを求める

表示

先程求めた3数の和と差をもとに線分図を書くとこうなります。

差は2つ分かれば線分図は書けますが、説明のために3つ出しました(汗)

後は好きなやり方でABCを求めて終了です。

このブログでは一番短いものに合わせて切りそろえるので、B=(32-3-8)÷3=7、A=B+3=10、C=B+8=15 となります。

答: A:10,B:7,C:15

これで和差算の類似問題は終了です。

プリントダウンロード

疑似和差算を練習したい人のために、大量9枚のプリントを用意しました(前半は二重の和差算です)。コチラへどうぞ。

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変化する問題

これまでは、数量の関係は固定されていましたが、一度出来た数量関係が変化する場合があります。

そのような変化の問題は「分配算」の方にたくさんありますが、和差算でも問題は作れます。

例えばこういう問題です。

「変化の和差算」の例

AとBは合わせて460円持っていたが、Aが80円使ってBは120円もらったので二人の金額は等しくなった。ABは最初いくらづつ持っていたか

変化する前と後を分けて、線分図を書きます。左端をきちんとそろえたら、あとはできるだけ単純に書きましょう

次に「後」の線から上に向かって線を引き、使った金額ともらった金額を書き込みます。

すると「前」の和と差が分かって、和差算になりました。

いつもの和差算でA=330,B=130と分かります。

このように「金額がそろった」場合は、無理して図をまとめず2つ書いてから、そろった図からもう一方に線を引くと考えやすくなります。

変化する問題(そろう場合)
  1. 「前」と「後」2つの図を書く
  2. そろった方の先の先から、一方に線を引く
  3. 「スキマ」に数値を書き込み考える。

ためしに一問どうぞ。

確認テスト(タッチで解答表示)

AとBは同じ金額をもっていたが、Aが100円使って、Bが300円もらったところ、2人の合計は980円になった。はじめいくら持っていたか?
→( 図を書くと和が980,差が400の和差算になる。 )
→( 後のAは(980-400)÷2=290。Bは(980+400)÷2=690 )
→( 前のABの金額は290+100=(690-300=)390円 )

以上で和差算は終了です。お疲れ様でした。

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和差算が分かりましたか?

爽茶そうちゃ

和差算が理解できましたね?
その調子で線分図系の次の記事「分配算」に進むと更に実力がアップしますよ!!!

最後まで読んでいただきありがとうございました。
この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです♪

「分配算」に進む

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