小4・小5】分配算とは?やり取り算も一緒にまとめ~「比」の線分図を使って解く

「線分図を書いて解く問題が苦手!」という中学受験生と保護者の方、ご安心下さい。「分配算」の考え方・書き方・解き方を講師歴20年の管理人「そうちゃ」が分かりやすく図解します。この記事を読めば「分配算」への苦手意識はきっと無くなりますよ♪

線分図の書き方(復習)

爽茶そうちゃ

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_teacher(プロフィール)です。

分配算や倍数算は線分図を使うので、あらかじめ線分図に慣れておきましょう!
二つの数量の線分図

二つの数量の関係を表す線分図は「和」「差」「比」の三種類で、この組み合わせで「和差算」「分配算」が出来ます。

三種類の線分図の詳しい説明は「二量の関係は三つの線分図で表現できる♪」を見て下さい。
分配算の線分図

(二量の)分配算は「和と比の組み合わせ」と「差と比の組み合わせ」の二種類があります。

両方とも和と差を丸数字で書き込んで下さい。この作業を無意識に出来るようになれば易しい問題は楽勝になります。

では、上の二つの図を頭に入れて、実際の分配算を解いていきましょう!

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記号数字の練習(分配算の準備)

爽茶そうちゃ
分配算の実際の問題を解く前に…頭の準備運動です!
これがパッと出来ると分配算もパッと解けるようになりますよ♪

「➄=20 の時、➂は?」→ ➄=20 → ➀=20÷5=4 →➂=4×3=12

分配算ではのような記号数字を使った計算を行います。

この計算が素早くできれば、分配算の文章題をテンポよく解くことができるので計算方法を確認します。

確認テスト(タッチで解答表示)
  1. ➂=12 の時、➄はいくつ?
    →( ➀=12÷3=4 )→( ➄=4×5=20 )
  2. ➐=56 の時、➍はいくつ?
    →( ➊=56÷7=8 )→( ➍=8×4=32 )
  3. ➅=36、➌=33 の時、➉+➎は?
    →( ➀=36÷6=6 ➉=6×10=60 )
    →( ➊=33÷3=11 ➎=11×5=55 )
    →( ➉+➎=60+55=115 )

和と比の分配算
(和比算)

爽茶そうちゃ
はじめは「和」と「比」の問題です(ここでは「和比算」としておきます)
「○倍」とピッタリの場合と半端な数がある場合があります。

ピッタリ倍(端数が無い)の場合

例えば「AがBの3倍で、AとBの和が88」の場合、上で書いたような線分図を書き、そこに数値を書き込みます
図の中で、丸数字と普通の数の両方が書いてある部分「④=88」に注目すると、④が88なので、➀(B)=88÷4=22 です。。したがってA(➂)=➀(22)×3=66と分かります。

このように、丸数字と数値をイコールで結んだ関係を見つけるのが分配算のコツです。

分配算の解き方
  1. 線分図を書き「丸数字=数値」になっているところを見つける。
  2. 数値÷丸数字」で➀の大きさを出す
  3. ➀を何倍かして答えを求める
確認テスト(タッチで解答表示)

AがBの4倍で、AとBの和が85の時、AとBは?
→線分図を書くと

→( 和⑤=85 )なので➀=(85÷5=17(B))
→( A④=17×4=68 )

端数がある場合

プラスの端数

例えば「AはBの3倍より4大きく、AとBの合計が52」のように端数があってピッタリ「○倍」ではない場合は、とりあえず端数を含めた全ての数字を線分図に書きましょう。落ち着いて観察し「丸数字=数値」を見つけるか、考えます。

この場合は「④+4=52」から「④=52-4=48」と気づけばピッタリ倍のときと同じように解けます。

「④=48」と気づけば、➀(B)=48÷4=12 、➂=12×3=36、A(➂+4)=40 と分かります。➂はAではないことに注意しましょう。

図に情報を集約する

問題を読んだら図に数値を書き込んで考えるヒントにします。また、計算して出した数値は必ず図に書き込みましょう。そうすれば自分でミスに気づくことができます。
このように図は情報の集約装置の役割があります。

マイナスの端数

例えば「AはBの3倍より7小さく、AとBの合計が113」のように端数がマイナスの場合は図を書く時に注意が必要です。できれば、ピッタリ倍の線分の下にAの線分を書いて合計3本の線分を書くのが良いですが(この後出てくる差集め算など難しい線分図に備えて)…

急いでいる場合は2本にしても構いません。

④-7=113から④=113+7=120 と気づけば、➀(B)=120÷4=30、➂=30×3=90、A(➂-7)=90-7=83 と分かります。

応用テスト(タッチで解答表示)

➀プラスの端数

➁マイナスの端数

以上で「和」と「比」の分配算は終了です。次は「差」と「比」の分配算です。

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差と比の分配算
(差比算)

爽茶そうちゃ
つぎは「差」と「比」の問題です(ここでは「差比算」としておきます)
考え方・コツは「和比算」と同じです。

ピッタリ倍(端数が無い)の場合

例えば「AがBの3倍で、AとBの差が12」の場合は「差」と「比」の線分図を書き、そこに数値を書き込みます

差の➁=12 と気づけば、➀(B)=12÷2=6、➂(A)=6×3=18 と分かります。

確認テスト(タッチで解答表示)

(作成中です)

端数がある場合

プラスの端数

例えば「AがBの3倍より4大きく、AとBの差が22」の場合、分かる数値を全て線分図に書いて観察します。

差22は➁+4なので、➁=18と気づけば、➀(B)=18÷2=9、➂=9×3=27、A(➂+4)=27+4=31と分かります。ここでも➂がAで無いことに注意しましょう。

マイナスの端数

例えば「AがBの3倍より3小さく、AとBの差が22」の場合、できれば、Aとは別に➂の線分を書いて合計3本の線分を書くのが良いですね。

上の図には「差➁-3」と書いていますが、これを書かなくても、図を観察したり考えたことを書き加えたりして➁=26と気づけばOKです。➀(B)=26÷2=13、➂=13×3=39、A(➂-3)=39-3=36と分かります。

応用テスト(タッチで解答表示)

➀プラスの端数
→(作成中です)
➁マイナスの端数
→(作成中です)

これで分配算の基本は終了です。次は三つの数字の分配算です。

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三量の分配算

爽茶そうちゃ
三つの数量の分配算は「和と比」「差と比」だけでなく「和と差と比」の問題も!あります。
少し面倒くさいですが考え方は一緒です。

和と比と比

例えば「AはCの3倍、BはCの2倍、ABCの合計は48」という問題です。

線分図を書く時は、まず「一番小さいのは誰か?」を考えて、それを➀と置きます。

3人以上の分配算の図

一番小さい量を➀とおいて、残りの量を表す。

この問題では一番小さいCを➀とおいて、こうなります。

合計⑥=48 と気付きます。後は今まで通り、➀(C)=48÷6=8、➁(B)=8×2=16、➂(A)=8×3=24 と分かります

確認テスト(タッチで解答表示)

AはBの3倍、CはAの2倍、ABCの合計1200の時、ABCは?
→( 一番小さいBを➀とすると、合計はB➀+A➂+C➅で➉ )
→( ➉=1200 なので➀=120 )
→( B=120,A=120×3=360,C=120×6=720 )

応用テスト(タッチで解答表示)

端数ありの場合
→( 2019.11.18作成中です )

差と比と比

例えば「AはCの4倍、BはCの3倍、BとCの差は12」という問題です。

線分図を書けば…

BとCの差12=➁ と気付きます。後は今まで通り、➀(C)=12÷2=6、➂(B)=6×3=18、④(A)=6×4=24 と分かります

確認テスト(タッチで解答表示)

CはAの3倍、BはAの5倍、BとCの差は380の時、ABCは?
→( 一番小さいAを➀とおくとCは➂,Bは➄で、BとCの差は➁ )
→( ➁=380だから➀=380÷2=190 )
→( A=190,C=190×3=570,B=190×5=950 )

応用テスト(タッチで解答表示)

端数あり
→( 2019.11.18作成中 )

和と差と比

例えば「AはCの3倍、BはCより6大きく、ABCの合計は76」という問題の場合、「和」「差」「比」が全部登場します!

とりあえず線分図を書きましょう。

「数値=丸数字」になっている箇所がないのでどうするか考えます。2つの考え方があります。

1つ目の考え方は「和差算」風です。Bから差の6を切り取って➀にすれば、合計も76から70に減って、この70=➄と分かります。

2つ目の考え方は、Bのところに「➀+6」と書き込んで合計を「⑤+6」とすれば「⑤+6=76」になるので⑤=76-6=70と出すものです。どちらかというと「数字が好き」な生徒向けです。

このブログとしては1つ目の考え方をすすめます。私の経験上、算数が苦手な生徒にとっては「丸数字にそろえる」という統一方針を覚える方が安心できるからです。

いずれにしろ、⑤=70と分かった後は今まで通り、➀(C)=70÷5=14、B(➀+6)=14+6=20、➂(A)=14×3=42 と分かります。

確認テスト(タッチで解答表示)

AはBの4倍でCより13大きく、ABCの合計は113の時、ABCは?
→( Bを➀とおくと、A=④,C=④-13 )
→( Cに13を足して④にすると、合計は➀+④+④=⑨で、これが113にも13を足した126と等しい )
→( ⑨=126から➀=126÷9=14 )
→( B=14,A=14×4=56,C=56-13=43 )

応用テスト(タッチで解答表示)

端数2つあり
→( 2019.11.18作成中です )

変化する問題

爽茶そうちゃ
今度はある状態から別の状態へと、数量が「変化」する問題です。

数量が変化する(もらう・使う)問題

等しい量が変化する~○は変わらない

例えば「Aは900円、Bは700円持っていた。2人が同じ金額を使ったところ、AはBの2倍になった。2人はいくら使いましたか?」という問題です。

とりあえず図を書きますが、使う「前」と「後」を1つにまとめるのは難しいので、無理をせずに「変化前」「変化後」の2つの図を書きます。

最初は分かることだけを素直に、単純に書きます。

AとBは同じだけ使っている(減っている)ので、二人の差は(前)の200円から変わりません!これを図に書き込みましょう。

「➀(後B)=200」と分かれば、あとは今までの分配算と同じ計算で➁(後A)=200×2=400です。

計算が終わったら問題をもう一回よんで、質問に答えます。「2人が使った金額」なので前A-後Aで900-400=500円です。

この問題と反対にお金が増える(例えば2人とも同じ金額をもらった)場合も同じように考えればOKです。

変化する分配算(その1)

同じだけ減ったり増えたりする場合、二人の差は一定。

確認テストをどうぞ♪

確認テスト(タッチで解答表示)

Aは750円、Bは150円持っている。2人が同じ金額をもらったら、AはBの2倍になった。いくらもらったか?
→( もらう前の二人の差は750-150=600円 )
→( もらった後の二人の差➁-➀=➀も600円 )
→( ➀(後B)=600円なので➁(後A)=600×2=1200円 )
→( もらった金額は600(後B)-150(前B) または 1200-750で450円 )

応用テスト(タッチで解答表示)

端数あり

時間の経過(年齢算)~やはり○は変わらない

時間が経過することで二人の年齢の「比」が変化する問題を「年齢算」と言います。

二人の年齢の「差」は何年経っても変わらないので、上で解いた「変化の量が等しい」問題と同様に解けばOKです。

年齢算の解き方

二人の年齢差はずっと変わらないので「差が変わらない」「差と比の分配算」として解く

詳しい説明を見たい問題を解きたい人は「年齢算」を見て下さい。

結果(変化後)か元(変化前)が等しい

例えば「Aは1020円、Bは480円を持って店で買い物をしたら2人の残り金額が同じになった。AがBの4倍のお金を使った時、Aが使った金額はいくらか?」という問題です。

さっきと違い、2人が使った金額が違うので「差が等しい」は使えません…とりあえず「前」と「後」の図をかき始めます。

Aが使った金額がBの4倍が少し難しいですが、こう書けばよいでしょう。

これで「前」の二人の差540=➂ と分かりますね

あとは今までと同じように、➀(Bが使った金)=540÷3=180円、④(Aが使った金)=180×4=720円と分かります。(ちなみに残った金額は300円です)

変化する分配算(その2)

「後(残り)」が同じ場合、「前」に線を引いて区切ると「差と比」の問題になる

確認テスト(タッチで解答表示)

AはCの 倍、BはCより 大きく、ABCの合計は の時、ABCは?

応用テスト(タッチで解答表示)

端数あり

数量が出入りしない場合~●が等しい

やりとり算(和と差)

例えば「仲良しのABC三人が36個のアメをテキトーに分けた後、6個しか持っていないBに対してAが4個、Cも何個かのアメを分けてあげたらABCのアメの数がぴったり同じになった。はじめABCは何個ずつ持っていましたか?」のような問題です。

まず、三人の「やりとり」の様子を図にしますが、線分図だとゴチャゴチャして非常に書きにくいです。そこで「やりとり図」を書いてみます。

三人のやり取りなので、三人の名前に続けて横向きに三本の矢印を書いて、矢印の根本と先にに「分けた直後」と「等しくなった時」の数字を書くスペースを作ります。さらにAからBへ、CからBへとアメが移動しているのでその様子も矢印で書き、すべての矢印に数字を書くスペースを作ります。

この中に数字を書いていきます。まず三人でやり取りをしてもアメの合計は36個のまま変わらないので、36÷3で最後は3人とも12個になります。このようにやり取り算は後ろから数字を埋めていきます。

またBの初めの個数は6個なので初めのスペースと矢印に6と書き込みます。さらに、AがCに4個あげているのでAからCの矢印に4と書き込みます。またAとCの横向きの矢印は最後の12に一本だけつながっているので12と分かります。

これで問題文の数字は全て書き終わりました。これを見て考えれば答えは出ますね。

初めのAからは12と4の矢印が分かれて出ているので、初めAは12+4=16持っていたと分かります。そして最初も3人の合計は36なので、初めのBは36-6-16=14個と分かります。

このように三人の間(内部)だけでお金のやり取りをする場合には、合計金額(和)が変わらないのを利用して、終わり(右)から初め(左)に「さかのぼって」図を書きます。

やりとり算

❶内部(二人・三人の間)だけでやり取りする場合は、「和が一定」なことを利用する
❷「さかのぼって」図を書くことが多い

確認テスト(タッチで解答表示)

作成中

ワリカン算

例えば「AB2人で遊びに行って、飲み物売り場でAが二人のジュース代400円を払い、チケット売り場ではBが二人のチケット代2000円を払った」場合、代金の総額2400を÷2(割り勘といいます)した1200円が一人分の代金なので、Aは800円払い足りずBは800円払い過ぎです。そこでAがBに800円払います。これを「清算」といいます。

このような「精算」も二人の間でお金のやり取りをするので「やり取り算」と似ていますが、解き方(図)が異なるので当サイトでは「ワリカン算」と呼ぶことにします。

よく出題される三人のワリカン算を解いてみます。
「ABCが映画を見に行って、チケット代金三人分はAが、パンフレット代金三人分はBが、ジュースとポップコーンのセット代金三人分はCが支払った。翌日CがAに800円、Bに200円払って精算は終了した。チケット代金が食事のセット代金の3倍だった時、当日にかかった全費用はいくらか?」

まず線分図を「それらしく」書きます。精算の様子から、当日払った金額はCが一番少なく、次がBで一番多く払ったのはAと分かります。またA(チケット代)がC(食事代)の3倍とも書いてあるので、それらを表現します。

次に、一人分の金額を表す線分を下に書きます。この長さは、精算時に「払った人(C)」よりは長く、精算時に「もらった人(A.B)」より短くなります。

この線を上に伸ばして超えている分が「当日払いすぎて精算時にもらった代金」なのでAは800、Bは200です。一方線が足りていない分がCが精算時に払った代金800+200=1000円です。これらを書き込みます。(書き込んだ数字に合わせて線分図を書き直すことも多いです。)

図が出来上がったら、観察して「丸数字=数値」を見つけます。ここでは「➁=1800円」と分かります。

あとはいつもの流れで➀(C)=1800÷2=900、➂(A)=900×3=2700 と分かります。残りのBの金額も900(C)+1000+200または2700(A)-(800-200)で2100円と分かるので、全代金の合計はA2700+B2100+C900=5700 円になります。

確認テスト(タッチで解答表示)

作成中

以上で、分配算に関係する問題の基本が全て終了です!

最後の「やり取り算」と「ワリカン算」は正直に言うと図を書くのがけっこう難しいです。2年間で書けるようになればOKです(汗)

次は整数倍以外の問題です。小数・分数・比を学習した人は進んで下さい。

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小数・分数倍の比(小5)

今までは「3倍」「5倍」と整数倍の問題でした。ここからは「1.5倍」とか「32」というような小数倍・分数倍の問題です。(ちなみに「1.5倍」と「32」は同じ意味です。これが分からない人は「比の基本」を見て下さい。)

ピッタリ倍(端数が無い)の場合

(作成中です)

端数がある場合

(作成中です)

以上で分配算は終了です。

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分配算が分かりましたか?

爽茶そうちゃ
線分図を使う問題の基本はこれでOKです。
あとは応用分野の「差集め算」をクリアすれば線分図系の分野は終了です。
最後まで読んでいただきありがとうございました。
この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです♪
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分配算
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