約数の総和の求め方

約数の合計を求めたい」という方へ、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく説明します。

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素因数分解から
約数の総和の求め方
(例:12の約数の総和)

素因数分解を使うと約数全部の合計(総和と言います)も分かってしまいます!!すごいですね
o(・∀・)o

中学受験には余り出題されませんが、せっかくなのでw紹介しましょう

説明を読む

合計の式を変形する

12の約数の合計をだしてみます。
先程の表をもう一回見ましょう。

2の要素(→)
3の要素(↓)
1 2 2×2
1 1×11 1×22 1×2×24
3 3×13 3×26 3×2×212

この表を使って、
12の約数の合計を
1+2+4+3+6+12=
(1×1)+(1×2)+(1×2×2)+(3×1)+(3×2)+(3×2×2)
と直すことができます。
この式は、さらに
(1+2+2×2)×(1+3)
と直せます。

前のカッコの中は表のヨコと後ろのカッコの中は表のタテと
同じになっています!

最後の変形は小学生には理解が難しいと思うので、今回は「へ~そうなんだ」と思って下さい。
(^_^;)

公式化

このように、素因数分解から約数の総和が求められるので
公式を示すと、

素因数分解と約数の総和

こうなりますが…分かりづらいですね
(これは、しょうがない)
実際の問題で練習しましょう
(^_^;)

類題2

次の数の約数の総和を求めよ
(1)100 (2)126 (3)1050

小問1

100の約数の総和を求めよ
図解

100を素因数分解すると2×2×5×5 になります

「2」と「5」が使われているので、「2」と「5」のパターンをカッコに入れてかけ合わせます

「2」のパターンは「1」「2」「2×2」(1が入るのを忘れずに!!)

「5」のパターンは「1」「5」「5×5」

これらをカッコに入れてかけ算にすると

解答を表示

(1+2+2×2)×(1+5+5×5) となります。

あとは、カッコの中を計算して…
=(1+2+4)×(1+5+25)=7×31=216です

答: 216


小問2

216の約数の総和を求めよ
図解

216を素因数分解すると2×3×3×7

今度は「2」「3」「7」のパターンをカッコに入れてかけ合わせます

解答を表示

「2」のパターンは「1」「2」
「3」のパターンは「1」「3」「3×3」
さらに「7」のパターンは「1」「7」

これらをカッコに入れてかけ算にすると
(1+2)×(1+3+3×3)×(1+7)

あとは計算です
=(1+2)×(1+3+9)×(1+7)=3×13×8=312 ですね

答: 312


小問3

1050の約数の総和を求めよ
図解
解答を表示

1050を素因数分解すると2×3×5×5×7
「2」のパターンは「1」「2」
「3」のパターンは「1」「3」
「5」のパターンは「1」「5」「5×5」
「7」のパターンは「1」「7」

これらをカッコに入れてかけ算にすると
(1+2)×(1+3)×(1+5+5×5)×(1+7)

計算して
=(1+2)×(1+3)×(1+5+25)×(1+7)=3×4×31×8=2976です

答: 2976


爽茶そうちゃ
これで約数の総和は終了です!!

次のステップへ

爽茶そうちゃ
約数の総和は分かりましたか?他にも(公)約数(公)倍数の問題があるので「(公)約数(公)倍数の総まとめ」から見て下さい。
最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです。
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