小学生もOK♪約数の個数と総和の求め方(例:12の約数)【中学受験】素因数分解を活用

この記事のまとめ

約数の個数(素因数分解利用)

約数の個数の素因数分解での求め方

(例1)12の約数の個数
→→12=2×2×3(2、3回)
→→12の約数は(+1)×(+1)=2×3=6個

(例2)90の約数の個数
→→90=2×3×3×5(2回、3回、5回)
→→90の約数は(+1)×(+1)×(+1)=2×3×2=12個

「約数が何個あるのかパッと出したい!」という中学受験生・中学生と保護者の方へ。この記事は約数の応用問題「約数の個数」の求め方等を分かりやすく図解しています。読み終わる頃には3ケタの数の約数の個数が暗算で出せるようになりますよ!

前の記事「素因数分解とすだれ算」に目を通すことをおすすめします。面倒くさい人(汗)はこれだけ頭に入れて下さい。

「すだれ算」の復習

●すだれ算=答えを下に書いていくわり算
●すだれ算による素因数分解

(例:30をすだれ算で素因数分解する)

2)30
3)15
5

30=2×3×5

約数の個数を求めるには
書き出しだと限度がある!

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_teacher(プロフィール)です。

約数の第一回では約数を「書き出し法」で求めました。

→参考記事

約数の意味

「書き出し法」を思い出す

例えば、12の約数をすべて求めたい場合
12=1×12=2×6=3×4
以上より1,2,3,4,6,12の6つと求めました。

ただ…数が小さいうちは良いのですが、
大きな数、例えば「1050」のような4ケタの数になったりすると…

1×1050
2×525
3×350
4×…
(+_+)ムリ!となります

ところが!素因数分解を使えば、数え上げなくても約数の個数が分かってしまうのです。

例えば、1050でしたら、因数分解すると「2×3×5×5×7」になります。これを見て…2×2×3×2=24個!と3秒で分かってしまうのです

今回はその種明かしと練習をしましょう!

素因数分解を使う
約数の個数の求め方
(例:12の約数の個数)

素因数分解から約数の個数が分かるのは、約数は素因数から出来ているからです。

説明

12=2×2×3 を例に説明します(長いので興味がある人だけ読んで下さい。問題を解けるようになるのが最優先です)

長い説明を読む

約数は素因数から出来ている…の?

最初に約数を6個と出した「12」を「二分解法」で12を素因数分解してみます。

12→2×6→2×2×3 または 12→3×4→2×2×3 でしたね。

これを見ると、12の約数は2,3はもちろん、4や2×2、6は2×3、12は2×2×3 と皆「2」と「3」でできているのが分かります

つまり、約数は素因数の組み合わせでできている?気がします!!
( ・`ω・´)

ただ…もう一つ約数がありますね?

1 です。

1を2や3からは作れないように見えます困った…
(^_^;)

1を作るには…

もう一度、12の素因数分解をみましょう

12=2×2×3です

この「2」「2」「3」を使ってかけ算で好きな数を作るというのを、2を赤い玉3で、3を青い玉に例えると、

●●自由に組み合わせると何通り作れるか,という問題と同じですね。

何通りでしょう?

●●


●●

で、5通り!そう思った人、惜しい!です

もうひとつ、(何も無し)というのがあります。

「自由に」はそういう意味でした
(^_^;)

コレを表にすると、こうなります。

の要素(→)
の要素(↓)
無し
無し (何も無し) ●●
●●

つまり、は3パターン、は2パターン

それをかけ合わせて3×2=6 なので 6通りある、という仕組みです。

ここで、話を素因数分解に戻します。

今の表のを「2」「3」にするとどうなるでしょうか?
は2,は2×2、は3 これは良いですね?
問題は「無し」です。

2の要素(→)
3の要素(↓)
??? 2 2×2
???
3

ここで、因数分解の時に、いつも仲間はずれにされていたカワイソウな数字1の出番です!

かけ算では、1はあってもなくても同じ数字なので、「無し」の代わりに1を使いましょう。

表を書くと、こうなります

2の要素(→)
3の要素(↓)
1 2 2×2
1 1×11 1×22 1×2×24
3 3×13 3×26 3×2×212

12=2×2×3 から
「2」が2個なので「2」は2+1=3パターン
「3」が1個なので「3」は1+1=2パターン
(無しの「1」の分が+1されます)
3パターン×2パターン=全部で6パターン になります

これで、12の素因数分解「2×2×3」から12の約数を6個導くことができました!!

まとめと公式化

というわけで「12=2×2×3 と因数分解できるので、12の約数の個数は(+1)×(+1)=3×2=6 と求めることができると分かりました。

12は「2」と「3」の二種類の素数しか出てきませんでしたが、三種類以上の素数が出てくる場合も同じように出せます。

例えば60=2×2×3×5の場合
「2」が2個なので(2+1)パターン
「3」が1個なので(1+1)パターン
「5」が1個なので(1+1)パターン
合計で(2+1)×(1+1)×(1+1)=12パターン

60の約数は12個と出せます。

まとめると…こうなります。

では、練習してみましょう!

類題1(約数の個数)

次の数の約数の個数を求めなさい
(1)100 (2)126
(3)1050 (4)32

●類題1-(1)

100の約数の個数を求めなさい
図解

100を素因数分解すると

どうなりますか?
2)100
2)  50
5)  25
5

2×2×5×5 です
「2」が2個「5」が2個なので、約数の個数は

何個ですか?

(2+1)×(2+1)=9個ですね

答: 9個

●類題1-(2)

126の約数の個数を求めなさい
図解
解答を表示

126を素因数分解すると

2)126
3)  63
3)  21
7

2×3×3×7 です
「2」が1個「3」が2個「7」が1個なので
約数の個数は(1+1)×(2+1)×(1+1)=12個です

答: 12個

●類題1-(3)

1050の約数の個数を求めなさい
注目!

はじめに出てきた「1050」の種明かしです

図解
解答を表示

素因数分解すると

2)1050
3)  525
5)  175
5)    35
7

2×3×5×5×7 です

「2」が1個「3」が1個「5」が2個「7」が1個なので
約数の個数は、(1+1)×(1+1)×(2+1)×(1+1)=24個です。

答: 24個

こうやって簡単に出していたんですね!

●類題1-(4)

32の約数の個数を求めなさい
図解
解答を表示

素因数分解すると

2)32
2)16
2)  8
2)  4
2

2×2×2×2×2 です
「2」が5個なので、約数の個数は (5+1)=6個です

答: 6個

32のように、素因数が一種類しかない場合は掛け算が出来ないので、そのまま答えになります。

以上で約数の個数の求め方は終了です。公式一発で得点できるので、必ず身につけて下さいね!

次はさらなる応用です。特に中学生の方におすすめです。

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素因数分解から
約数の総和の求め方
(例:12の約数の総和)

さらに!

素因数分解を使うと約数全部の合計(総和と言います)も分かってしまいます!!すごいですね
o(・∀・)o

中学受験には余り出題されませんが、せっかくなのでw紹介しましょう

説明を読む

合計の式を変形する

12の約数の合計をだしてみます。
先程の表をもう一回見ましょう。

2の要素(→)
3の要素(↓)
1 2 2×2
1 1×11 1×22 1×2×24
3 3×13 3×26 3×2×212

この表を使って、
12の約数の合計を
1+2+4+3+6+12=
(1×1)+(1×2)+(1×2×2)+(3×1)+(3×2)+(3×2×2)
と直すことができます。
この式は、さらに
(1+2+2×2)×(1+3)
と直せます。

前のカッコの中は表のヨコと後ろのカッコの中は表のタテと
同じになっています!

最後の変形は小学生には理解が難しいと思うので、今回は「へ~そうなんだ」と思って下さい。
(^_^;)

公式化

このように、素因数分解から約数の総和が求められるので
公式を示すと、

素因数分解と約数の総和

こうなりますが…分かりづらいですね
(これは、しょうがない)
実際の問題で練習しましょう
(^_^;)

類題2

次の数の約数の総和を求めよ
(1)100 (2)126 (3)1050

小問1

100の約数の総和を求めよ
図解

100を素因数分解すると2×2×5×5 になります

「2」と「5」が使われているので、「2」と「5」のパターンをカッコに入れてかけ合わせます

「2」のパターンは「1」「2」「2×2」(1が入るのを忘れずに!!)

「5」のパターンは「1」「5」「5×5」

これらをカッコに入れてかけ算にすると

解答を表示

(1+2+2×2)×(1+5+5×5) となります。

あとは、カッコの中を計算して…
=(1+2+4)×(1+5+25)=7×31=216です

答: 216


小問2

216の約数の総和を求めよ
図解

216を素因数分解すると2×3×3×7

今度は「2」「3」「7」のパターンをカッコに入れてかけ合わせます

解答を表示

「2」のパターンは「1」「2」
「3」のパターンは「1」「3」「3×3」
さらに「7」のパターンは「1」「7」

これらをカッコに入れてかけ算にすると
(1+2)×(1+3+3×3)×(1+7)

あとは計算です
=(1+2)×(1+3+9)×(1+7)=3×13×8=312 ですね

答: 312


小問3

1050の約数の総和を求めよ
図解
解答を表示

1050を素因数分解すると2×3×5×5×7
「2」のパターンは「1」「2」
「3」のパターンは「1」「3」
「5」のパターンは「1」「5」「5×5」
「7」のパターンは「1」「7」

これらをカッコに入れてかけ算にすると
(1+2)×(1+3)×(1+5+5×5)×(1+7)

計算して
=(1+2)×(1+3)×(1+5+25)×(1+7)=3×4×31×8=2976です

答: 2976


以上で素因数分解と約数の問題は終了です!!

約数の個数・総和の求め方が
分かりましたか?

今回の記事は難しいので、説明を理解する前に公式を「使える」ようにして下さい。勉強がすすめば「そのうち」分かるときが来るでしょう。

次回は中学入試で頻出の問題です。

最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです。

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