等差数列の和の公式の求め方と問題の解き方
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「等差数列の数列の和が良く分からない」「数列の和の問題をもっと解きたい」という中学受験生・高校生と保護者の方へ。この記事は20年目のベテラン講師が「数列の和」の公式の求め方・問題の解き方を分かりやすく図解します。読み終われば等差数列の和が得意になっていますよ!

数列の基本に自信が無い場合は「等差数列の基本とN番目の数の求め方」に目を通すのをオススメします。

面倒くさい!という方は(汗)せめてコレを頭に入れて下さい

なお、この記事の最後に、プリントダウンロードのコーナーがございます。ぜひご利用下さい。

等差数列の和の求め方

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_teacher(プロフィール)です。

では、例題を解きながら、等差数列の求め方を三種類していきます。

「ペア式」の求め方

一番「自然」でやさしいのがこの方式です。

例題1

差が等しい数字が10個、1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 と並んでいる。この数列の合計はいくつか。はじめから順番に足す以外の方法で求めよ
図解(ペア式)

等差数列の和の求め方には何通りもの説明の仕方がありますが、
数や図形が苦手な生徒でも理解度が高かった「ペア式」をまず説明します。

まず、最初の「1」と最後の「19」をペア(一組)にします。和はいくつですか?

表示

1+19=20ですね。

次に、2番目の「3」と最後から2番めの「17」をペアにします。今度の和はいくつですか?

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3+17で、また20です。

さらに、3番目の「5」と最後から3番目「15」をペアにします。和はいくつですか?

表示

5+15なので、またまた20ですね。しつこくてゴメンナサイ…

このように10個の数字全部をペアにしていくと、それぞれの和はどうなるでしょうか?また、何ペアできるでしょうか?

表示

予想できたと思いますが、全てのペアが20になります

面白いよね?(^_^;)

そして、10個の数字を2個ずつペアにするので、全部で10÷2=5つのペアが出来ます

したがって、10個の数字の合計はいくつでしょうか?

答えを表示

ペアごとの合計が20で、5ペアありますから、

20✕5=100 になりますね。

答: 100

このように、等差数列の合計(和)は、ペア数字の和✕ペアの個数で求められます

「ペアの数字の和」は、どのペアを選んでも同じなので、分かりやすいように「はじめの数と最後の数」で代表させましょう。

そして「ペアの個数」は10÷2 つまり「数字の個数÷2」でしたので、こういう公式ができます。

等差数列の合計
(プロトタイプ)

等差数列の合計=
(はじめの数+最後の数)✕数の個数÷2
(例)①1 ②3 ③5 … ⑩19 和は?
→(1+19)×⑩÷2=100

今の問題は数字が10個しかありませんでしたが、この公式を使って、もっと多くの数字の合計を出してみましょう。

類題1(ペア式の練習)

等差数列 1,3,5,7,9… の、はじめの数から100番目の数までの合計を求めよ
ヒント

先程の公式「等差数列の合計=(はじめの数+最後の数)✕数の個数÷2を使います。

図解(ペア式)
解答を表示

公式「等差数列の合計=(はじめの数+最後の数)✕数の個数÷2の言葉に数字を入れていきます(代入)

「はじめの数」は1,「数の個数」は100 ですが、「最後の数」つまり100番目の数が書いてありません!

そこで、数列の基本公式「N番目の数」で求めます。

100番目の数を求めると?

数列は 1,3,5,7,9…なので、はじめの数=1,=2,N=100 で、100番目の数1+{2✕(100-1)}=199 と分かりますね。

これが良くわからない人は、以前の記事「等差数列の基本とN番目の数の求め方」を復習をして下さい。

これで、和の公式「等差数列の合計=(はじめの数+最後の数)✕数の個数÷2」を使えます。

はじめの数」は,「最後の数」=100番目の数は今求めた199、「数字の個数」は100 なので…

和はいくつですか?

この数列の合計=(1+199)✕100÷2=10000です。

答: 10000

以上のペア式で、等差数列の合計(和)を出す問題は解けます

が、せっかくですので、異なる考え方を2つ紹介します。

逆二段式

ペア式の説明は、数の個数が奇数個だった場合に直感的な理解が難しいので、
異なる説明も紹介します。はじめは「逆二段式」です。(とばして読みたい方は「閉じる」を押して下さい)

閉じる

まず、数列の合計を書き出して

同じ数列を最後から並べたものをもとの数列の下に置きます

ここで、足し算の筆算のように段の上下の数字を足します。

すると「=」の右側は「1(はじめの数)+199(最後の数)」と等しい200が100個(数の個数)並ぶので、右側の合計は 200✕100=20000になります。

一方、「=」の左側は 合計+合計で合計2個分になるので、全体としては、合計2個分=20000となります。

したがって、合計=20000÷2=10000 と分かります。

このように、逆二段式でもペア式と同じく「(初めの数+最後の数)×数の個数÷2」で合計が求められるのです。

面積式(階段式)

もうひとつの説明は、図形を使った説明です(個人的にはコレが好きです)

(とばして読みたい方は「閉じる」を押して下さい)

閉じる

スペースの都合上、例題の数列 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 で説明をします。

数列の様子を棒グラフを横倒したように表現すると階段のような形ができます。この面積が数列の合計になります。

ここで、同じ形をもう一つ作り、逆さまにひっくり返してもとの形と組み合わせると、長方形になります。

この長方形はタテが10(数の個数)になり、ヨコは1(初めの数)+19(最後の数)で20になるので、

面積は20×10=200になります。

そしてこれは階段の形2個分なので、階段1つ分すなわち数列の合計は 200÷2=100 と分かります

今行った計算は「(1+19)×10÷2」でこれは「(初めの数+最後の数)×数の個数÷2」です。

ペア式・逆二段式と同じ式「(初めの数+最後の数)×数の個数÷2」で合計を求めているのが分かります。
(実は、台形の面積の求め方と全く同じ考え方を使っています)

等差数列の和の求め方を
公式にする

このように、数列の和は「(はじめの数+最後の数)×数の個数÷2」で求められますが、覚えやすくするために今まで出てきた数列の公式と共通の言葉にそろえましょう!
「最後の数」は「N番目の数」、「数の個数」は「N」でしたね!

こうして、等差数列の和の公式「等差数列の和=(はじめの数+N番目の数N÷2」が完成します。

等差数列の和の公式
(完成版)

ここから先は、この公式を使って問題を解いていきましょう。

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数列の和の問題

では、公式を使って問題を解いていきましょう!

基本問題

類題2

5,9,13,17… という数列がある。次の問いに答えよ。
(1)はじめの数から45番目の数までの和を求めよ
(2)はじめの数「5」から「169」までの和を求めよ
小問1
はじめの数から45番目の数までの和を求めよ
解説

公式ベースで解く時は、まず公式で使う数のうち分からないものが無いか確かめます。
公式は 等差数列の和=(はじめの数N番目の数N÷2
はじめの数」は5,「N」は45 と分かりますが「N番目の数」=「45番目の数」は計算しないと分かりません。

そこで、まず45番目の数を基本公式で求めると…

45番目を表示

数列は 5,9,13,17… なので、45番目の数5+{4×(45-1)}=181 と分かりました。

これで、和の公式が使えます。
「等差数列の和=(はじめの数N番目の数N÷2」に「はじめの数」5,「N」45「N番目の数」181 を入れると…

解答を表示

45番目までの和=(518145÷2=186×45÷2=186÷2×45=93×45=4185と分かります。

答: 4185


計算のコツ(わり算を先に)最後の計算「186×45÷2」は、かけ算(186×45)ではなく
割り算(186÷2)を先に計算して、その答えに45をかけると
計算が楽になります♪

次は公式を使う前に準備が必要です。

小問2
はじめの数「5」から「169」までの和を求めよ
解説

公式は「等差数列の和=(はじめの数N番目の数N÷2」で使う数のうち、何が分からないか考えます

はじめの数」は5,「N番目の数」=「169」と分かりますが「169が何番目か」=「N」は計算しないと分かりません。

公式か逆算で求めると…

Nを表示

数列は ①5,②9,…N169 なので、N={(16954}+1=42 と分かります。

これで、和の公式が使えます!
「等差数列の和=(はじめの数N番目の数N÷2 」に「はじめの数」5,「N」42「N番目の数」169 を入れると…

解答を表示

等差数列の和=(516942÷2
=174×42÷2=174÷2×42=87×42=3654と分かります。

答: 3654


計算力は万能!数列の和の問題は計算が面倒くさいので、
計算力をつけておくのも大切です

次は少し応用です。

応用問題

応用類題

3,8,13,18… という数列がある。次の問いに答えよ。
(1)はじめの数から9番目の数までの和を求めよ
(2)10番目の数から30番目の数までの和を求めよ
(3)はじめの数「3」から「123」までの和を求めよ
(4)「53」から「123」までの和を求めよ
小問1
はじめの数から9番目の数までの和を求めよ
解説と解答
解答を表示

「はじめの数」は3、「公差」は5、「N」は9 なので
9番目の数は 3+{5×(9-1)}=43 です。

これを使って、はじめから9番目までの和は (3+43)×9÷2=207 と分かります。

答: 207


小問2
10番目の数から30番目の数までの和を求めよ
解説と解答
解答を表示

10番目の数は、先程出した9番目の数「43」+公差5なので「48」と分かります。
30番目の数は、3+{5×(30-1)}=148 です。
これは10番目の「48」から数えると30-10+1=21番目の数になります。
(最後の「+1」は「番目=番差+1」なので。番目(木)と番差(間)の関係については過去の記事「番号付き植木算」を参照して下さい)

したがって、「10番目の数から30番目の数までの和」というのは「48,…,148 という21個の等差数列の和」と等しくなります。
((状況図))
これを公式で求めると(48+148)×21÷2=2058になります。

答: 2058


別解
別解を表示

「10番目の数から30番目の数までの和」というのは、「はじめから30番目までの和」-「はじめから9番目の和(10番で無いことに注意)」
と等しくなります。
((状況図))
はじめから30番までの和=(5+148)×30÷2=2265
はじめから9番までの和=小問1で求めた207 なので
10番から30番までの和=2265-207=2058 と分かります


小問3
はじめの数「3」から「123」までの和を求めよ
解説と解答
解答を表示

まず、123が何番目か(N)を求めます。N={(N番目の数はじめの数公差}+1 なので N={(12335}+1=25 です。

次に、和の公式を使って合計を求めます。
合計=(はじめの数N番目の数N÷2 なので合計=(312325÷2=1575 と分かります

答: 1575


小問4
「53」から「123」までの和を求めよ
解説と解答
解答を表示

「53」は小問2で出した10番目の「48」の次なので11番目と分かります。
また「123」は小問3で25番目だったので、「48」から数えると、25-11+1=15番目と分かります。

つまり「53」から「123」までの和は「53,…,123という15個の等差数列の和」と等しいことになります。
((状況図))
したがって、合計は(53+123)×15÷2=1320 と分かります

答: 1320


等差数列の和
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数列(4)問題

数列(4)解答

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等差数列の和が分かりましたか?

最後まで読んでいただきありがとうございました。

これで、等差数列の和の問題は一通り終了です。ここまでが4年生時までにマスターすべき基本問題になります。

次は、入試で頻出の「階差数列の問題」です。是非御覧下さい!

この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです。

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