無料プリント】等差数列の和の公式の求め方と問題の解き方!【中学受験

「等差数列の数列の和の出し方が良く分からない…」とお悩みの中学受験生の方、もう大丈夫ですよ!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく教えます。これを読めば数列の和は得意になりますよ!

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等差数列(復習)

爽茶そうちゃ

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_tutor(プロフィール)です。

等差数列は「『はじめの数』から『等しい差(公差)』で増えていく数の並び」でした。
基本図と公式を見て思い出して下さい。


特に最初の「N番目の数」の公式が大事なので、確認テストをしてみましょう。

確認テスト(タッチで解答表示)

「2,5,8…」という数列の100番目の数はいくつ?
→( はじめの数=2、公差=3、N=100だから、
100番目の数=2+{3×(100-1)}=299
)

確認テストが出来なかった人は「等差数列の基本とN番目の数の求め方」に目を通すのをオススメします。

等差数列の和の公式を求める

数列の和

「等差数列の和」というのは数列の「はじめの数」から何番目かの数までを全部足したものです。

例えば「2,5,8…という数列の1番目から5番目までの和」なら、「2,5,8,11,14」を合計して2+5+8+11+14=40 となります。

今のように5個の数の和なら単純に足せば良いのですが、「100番目までの数の和」になると計算(公式)で求めないと無理ですね。

ここでは三種類の求め方(公式)❶ペア式❷逆二段式❸台形式 を順に紹介します。

2つをセットにする「ペア式」

低学年の生徒さんや、数や図形が苦手な生徒さんでも直感的に分かりやすいのが「ペア式」です。

例題1(ペア式)

差が等しい数字が10個、1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 と並んでいる。この数列の合計はいくつか。はじめから順番に足す以外の方法で求めよ
図解

まず、最初の「1」と最後の「19」をペア(一組)にします。和はいくつですか?(▼をクリック)


1+19=20ですね。

次に、2番目の「3」と最後から2番めの「17」をペアにします。今度の和はいくつですか?


3+17で、また20です。

さらに、3番目の「5」と最後から3番目「15」をペアにします。和はいくつですか?


5+15なので、またまた20ですね。しつこくてゴメンナサイ…

このように10個の数字全部をペアにしていくと、それぞれの和はどうなるでしょうか?また、何ペアできるでしょうか?


予想できたと思いますが、全てのペアが20になります。そして、10個の数字を2個ずつペアにするので、全部で10÷2=5つのペアが出来ます(図2)

図2a

ペアの和はどれも20
図2b

10÷2=5ペアできる

面白いよね?(^_^;)

したがって、10個の数字の合計はいくつでしょうか?


ペアごとの合計が20で、5ペアありますから、

20✕5=100 になります。100

このように、等差数列の合計(和)は、ペア数字の和✕ペアの個数で求められます

数列の和(プロトタイプ1)

等差数列の和=ペアの和×ペアの数

「ペアの和」は、どのペアを選んでも同じなので、分かりやすいように「はじめの数と最後の数」で代表させましょう。

そして「ペアの個数」は10÷2 つまり「数字の個数÷2」でしたので、こういう公式ができます。

数列の和(プロトタイプ2)

等差数列の合計
=(はじめの数+最後の数)✕数字の個数÷2

(例)等差数列 ①1 ②3 ③5 … ⑩19 の和は?
→(1+19)×⑩÷2=100

今の問題は数字が10個しかありませんでしたが、この公式を使って、もっと多くの数字がある数列の合計を出してみましょう!

類題1(ペア式の練習)

等差数列 1,3,5,7,9… の、はじめの数から100番目の数までの合計を求めよ
図解

公式「等差数列の合計=(はじめの数+最後の数)✕数の個数÷2」の言葉に数字を入れていきます(代入)

「はじめの数」は1,「数の個数」は100 ですが、「最後の数」つまり100番目の数が書いてありません!

そこで、数列の基本公式「N番目の数」で求めます。(▼をクリック)


数列は 1,3,5,7,9…なので、はじめの数=1,=2,N=100 で、100番目の数1+{2✕(100-1)}=199 と分かります。

100番目の数が分かったので、和の公式「等差数列の合計=(はじめの数+最後の数)✕数の個数÷2」を使って答を出します。


はじめの数」に,「最後の数」=100番目の数に今求めた199、「数字の個数」に100 をいれて計算すると、(1+199)✕100÷2=10000です。10000

 

以上のペア式で、等差数列の合計(和)を出す問題は解けますが、ペア式は、数が奇数個の場合に直感的な理解が難しいので、異なる説明も紹介します。

逆向きの列を足す「逆二段式」

これは数字好きな生徒さん向きかもしれないので、ペア式で十分という人は三番目の「面積式」へ飛んで下さい

まず、数列の合計を書き出して(図1)、

同じ数列を最後から並べたものをもとの数列の下に置きます(図2)

ここで、足し算の筆算のように段の上下の数字を足します(図3)。

すると「=」の右側は「1(はじめの数)+199(最後の数)」と等しい200が100個(数の個数)並ぶので、右側の合計は 200✕100=20000になります。

一方、「=」の左側は 合計+合計で合計2個分になるので、全体としては、合計2個分=20000となります。

したがって、合計=20000÷2=10000 と分かります。

このように、逆二段式でもペア式と同じく「(初めの数+最後の数)×数の個数÷2」で合計が求められるのです。

階段を組み合わせる「面積式」

三番目の説明は、図形を使った説明です(個人的にはコレが好きです)

スペースの都合上、例題の数列を「 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 」で説明をします。

この数列の様子を棒グラフを横倒したように表現すると階段のような形ができて、この面積が数列の合計になります(図1)。

図1:

階段の面積=数列の和

ここで、同じ形をもう一つ作り、逆さまにひっくり返してもとの形と組み合わせると、長方形になります。(図2)

図2a

もう一つの階段と組合せて…
図2b

長方形が出来る

この長方形はタテが10(数の個数)になり、ヨコは1(初めの数)+19(最後の数)で20になるので(図3)、面積は20×10=200になります。(図3)

図3:

長方形の面積は200

そしてこれは階段の形2個分なので、階段1つ分すなわち数列の合計は 200÷2=100 と分かります(図4)

図4:

数列の合計(階段)=長方形÷2

今行った計算は「(1+19)×10÷2」でこれは(初めの数+最後の数)×数の個数÷2」です。

ペア式・逆二段式と同じ式「(初めの数+最後の数)×数の個数÷2」で合計を求めているのが分かります。
(実は、台形の面積の求め方と全く同じ考え方を使っています)

和の公式が完成♪

上の3つのどの説明でも、数列の和は「(はじめの数+最後の数)×数の個数÷2」で求められますが、覚えやすくするために今まで出てきた数列の公式と共通の言葉にそろえましょう!

「最後の数」は「N番目の数」、「数の個数」は「N」でしたね!

こうして数列の和の公式「等差数列の和=(はじめの数+N番目の数N÷2」が完成しました!ワ~~~~パチパチパチ

等差数列の和(完成形)

等差数列の和=(はじめの数+N番目の数N÷2

(問題を解く手順)

  1. はじめの数公差N(合計を求める個数)を確認
  2. N番目の数はじめの数+{公差×(N-1)} で求める
  3. 数列の和を (はじめの数+N番目の数N÷2 で求める

ここから先は、この公式を使って問題を解いていきましょう。

数列の和の問題を解く

爽茶そうちゃ
では、公式「等差数列の和=(はじめの数+N番目の数N÷2」を使って問題を解いていきましょう!

手順を確認♪

例題2

8,11,14,17… という数列の50番目の数までの和を求めよ
ヒント<

❶はじめの数・公差・Nを確認→❷N番目の数を求める→❸N番目までの和を求める の手順で解きましょう

図解(▼をクリック)

❶はじめの数・公差・Nを確認
はじめの数=8、公差=3、N=50 ですね。

❷N番目の数を求める
N番目の数=はじめの数+{公差×(N-1)} なので、50番目の数=8+{3×(50-1)}=8+(3×49)=155です。

❸N番目までの和を求める
N番目までの和=(はじめの数+N番目の数)×N÷2 なので、50番目までの和=(はじめの数+50番目の数)×50÷2=(8+155)×50÷2=163×50÷2=4075 です。

4075

実は、最後の計算(163×50÷2=4075)にはコツがあります。

計算のコツ(割り算を先に)

数列の和の公式の「はじめの数+N番目の数」と「N」のどちらかは必ず偶数になるので、最初にかけ算ではなく「偶数になった数」÷2を暗算で出してしまうと計算が楽になります。

上の例題では 163×50÷2 なので 50÷2=25 を暗算して、163×25 を筆算します

49番目までの和なら、152×49÷2 という式になるので、最初に152÷2=76を暗算して、76×49を筆算します。

解き方が分かりましたね?では問題を解いてしっかり定着させて下さい。

問題で定着!

●類題2-1(の練習)

5,9,13,17… という数列がある。以下の問いに答えなさい
ヒント

手順どおり解けば大丈夫です。

●類題2-1(1)
5,9,13,17… という数列がある。はじめの数から45番目の数までの和を求めよ回
図解

はじめの数5、公差は4N45です。45番目の数5+{4×(45-1)}=181 になります。

45番目までの和=(518145÷2=186×45÷2=186÷2×45=93×45=4185と分かります。

4185

●類題2-1(2)
5,9,13,17… という数列がある。はじめの数「5」から「169」までの和を求めよ
図解

はじめの数は5、公差は4ですが、Nが分かりません。その代わり、N番目の数169 と分かるので、ここからNを求めます。

上のような公式か、「169=5+{4×(N-1)}」を逆算してNを求めると、N=42です。これで和の公式が使えます。

等差数列の和=(516942÷2=174×42÷2=174÷2×42=87×42=3654と分かります

3654

計算を楽にするコツはありますが、最後は筆算をしなくてはいけないので、計算力をつけておきましょう。

計算力は万能!数列の和の問題は計算が面倒くさいので、
計算力をつけておくのも大切です

次は少し応用です。

類題2-2

3,8,13,18… という数列がある。次の問いに答えよ。
(1)はじめの数から9番目の数までの和を求めよ
(2)10番目の数から30番目の数までの和を求めよ
(3)はじめの数「3」から「123」までの和を求めよ
(4)「53」から「123」までの和を求めよ
小問1
はじめの数から9番目の数までの和を求めよ
解説と解答
解答を表示

「はじめの数」は3、「公差」は5、「N」は9 なので
9番目の数は 3+{5×(9-1)}=43 です。

これを使って、はじめから9番目までの和は (3+43)×9÷2=207 と分かります。

答: 207


小問2
10番目の数から30番目の数までの和を求めよ
解説と解答
解答を表示

10番目の数は、先程出した9番目の数「43」+公差5なので「48」と分かります。
30番目の数は、3+{5×(30-1)}=148 です。
これは10番目の「48」から数えると30-10+1=21番目の数になります。
(最後の「+1」は「番目=番差+1」なので。番目(木)と番差(間)の関係については過去の記事「番号付き植木算」を参照して下さい)

したがって、「10番目の数から30番目の数までの和」というのは「48,…,148 という21個の等差数列の和」と等しくなります。
((状況図))
これを公式で求めると(48+148)×21÷2=2058になります。

答: 2058


別解
別解を表示

「10番目の数から30番目の数までの和」というのは、「はじめから30番目までの和」-「はじめから9番目の和(10番で無いことに注意)」
と等しくなります。
((状況図))
はじめから30番までの和=(5+148)×30÷2=2265
はじめから9番までの和=小問1で求めた207 なので
10番から30番までの和=2265-207=2058 と分かります


小問3
はじめの数「3」から「123」までの和を求めよ
解説と解答
解答を表示

まず、123が何番目か(N)を求めます。N={(N番目の数はじめの数公差}+1 なので N={(12335}+1=25 です。

次に、和の公式を使って合計を求めます。
合計=(はじめの数N番目の数N÷2 なので合計=(312325÷2=1575 と分かります

答: 1575


小問4
「53」から「123」までの和を求めよ
解説と解答
解答を表示

「53」は小問2で出した10番目の「48」の次なので11番目と分かります。
また「123」は小問3で25番目だったので、「48」から数えると、25-11+1=15番目と分かります。

つまり「53」から「123」までの和は「53,…,123という15個の等差数列の和」と等しいことになります。
((状況図))
したがって、合計は(53+123)×15÷2=1320 と分かります

答: 1320


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数列の和(解答)

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爽茶そうちゃ

数列の和は分かりましたね?ここまでが中学受験生が4年生時までにマスターすべき基本事項になります。

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