【小学生も高校生も】無料プリント♪等差数列の「はじめの数」「公差」問題の分かりやすい解き方【中学受験】

この記事のまとめ

等差数列で「はじめの数」や「公差」を求める
基本公式で逆算を作る(算数が苦手な生徒向き)

図を書いて求める(算数が好き・得意な生徒向き)

「等差数列のN番目の数は出せるけど、他の問題もやってみたい」という中学受験生と保護者の方へ。この記事では「はじめの数」や「公差」の求め方を分かりやすく図解します。最後まで読めば等差数列の基本問題はもう完璧ですよ!

復習として等差数列の基本公式と図を示します。この公式または図を使って解いていきます。

なお、この記事の終わりにプリントがございます。自由にダウンロードできるので、ご利用下さい。

等差数列の「差」
を求める問題の解き方

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_tutor(プロフィール)です。

もう一度「等差数列の基本公式」を見て下さい。

上の公式を見ると分かりますが、等差数列には4つの要素があります。
①「はじめの数
②「公差
③「N」(「番目」)
④「N番目の数

数列の第1回は④を第2回は③の求め方を学習しました。

今日は残る①②の求め方です。

まず②公差を求める問題を見ていきます。

例題1(公差を求める)

4,◯,◯,◯,32… という等差数列がある(◯の数字は分からない)。
この数列の公差を求めよ。

2種類の解法を示します。
算数が得意な生徒さんにはA(図ベース)を
真面目だけど算数が苦手な生徒さんにはB(公式ベース)をオススメします。

図解A(図ベース)

数列に限りませんが、
問題を読んだら状況を図にします。

図を見ながら、考えると…
32は、はじめの数4から32-4=28増加しています。
また、
32は4から数えて5番目なので、公差は5-1=4個あります。

これで分かることは?

4に公差を4回加えたら28増えたということですね

以上より、
先程の増加分28が公差4個分と等しくなります。
従って、28÷4=7 公差は7と分かります。

答: 7


図解B(公式ベース)
表示

まず最初に覚えた公式
N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}

これに、N番目の数=32,初めの数=4,N=5を入れてみると

324+{公差×(5-1) }
というと式ができるので()の中を計算して
324+{公差×4}
ここから逆算で公差を求めれば良いことになります。

{公差×4}=32-4=28
公差=28÷4=7 でやはり
公差は7と分かります。

答: 7


(まとめと公式化)

図ベースでも公式ベースでも、どちらも計算式は全く同じです。
これも公式にできますが、暗記するというよりも、基本公式からこの公式を導ければ良い二次的な公式です

等差数列の公差

等差数列の公差=(N番目の数はじめの数(Nー1)
*(Nー1)が公差の個数になっています。

どこまでを公式として暗記し、どこからはその場で考えるか?というのは一般的な解答をするのが難しい問題なので、記事にする予定です。

→参考記事

暗記する範囲について

では、類題で練習しましょう!

類題1(公差を求める練習)

はじめの数が13で、20番目の数が108である等差数列がある。以下の問いに答えなさい。

  1. 公差はいくつか?
  2. 1000番目の数はいくつか?

●類題1-(1)

はじめの数が13で、20番目の数が108である等差数列がある。公差はいくつか?
図解
解答を表示

はじめの数20番目の数の差は95
20番目の数まで公差は20-1=19個あります。
(植木算の「間=木-1」ですね)

よって、公差19個分が95にあたると分かります。
公差1つは95÷19=5 ですね

答: 5

●類題1-(2)

1000番目の数はいくつか?
図解
解答を表示

公差が分かったので、N番目の数を求める公式が使えます。
N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}

これに、初めの数=13,公差=5,N=1000を入れてみると
13+5×(1000-1)=5008 と分かります。

答: 5008

 

 

等差数列の
「はじめの数」の求め方

次は、
等差数列の4つの要素(「はじめの数」「公差」「N」「N番目の数」)の中で最後に残った①「はじめの数」を求める問題です。

例題2

◯,◯,15,◯,◯,◯,27… という等差数列がある(◯の数字は分からない)
(1)この数列の公差はいくつか?
(2)はじめの数はいくつか?

小問1

公差はいくつか?
図解

分からない数だらけなので、分かっている数「15」「27」に注目します。

15から27まではいくつ増加し、それは公差何個分ですか?

答を表示

12増加して、公差は4個なので、公差4個分が12と等しくなります。

したがって、公差1個はいくつか分かりますね

解答を表示

12÷4で公差は3と分かります。

答: 3


小問2

はじめの数はいくつか?
図解

図を見ながら、
はじめの数と「15」との間に公差はいくつあって、差はいくつになるか考えると…

答を表示

15がはじめから数えて3番目なので
15とはじめの数の間の公差は3-1=2個

公差は3なので、公差2個分は3✕2=6になる。

差が出たので、答はすぐ分かりますね。

解答を表示

15-6=9で、はじめの数は9と分かる。

答: 9


(まとめと公式化)

今の考え方で「はじめの数」の求め方も公式にできますが、これもあくまで二次的な公式で、無理に覚えなくても良いでしょう。

等差数列の
はじめの数

等差数列のはじめの数
N番目の数-{公差
×(Nー1)}
*(Nー1)が公差の個数になっています。

今回は、これを使わずに図を描いて解いてみましょう。

類題で練習して下さい

類題2

14番目の数が108、21番目の数が164である等差数列があります。
(1)公差を求めなさい
(2)はじめの数を求めなさい

小問1

公差を求めなさい
図解
表示

14番目と21番目の差は164-108=56です。
これが公差何個分にあたるのか考えます。

14番目と21番目の間に公差がいくつあるのかは、番号付き植木算を思い出すと簡単です。

→参考記事

番号付き植木算

公差=「間」で、番号差=「間の数」なので、番号差=公差の数になります。
(忘れた場合は、1から3まで番号の付いた3本の木を書いて思い出しましょう)

従って、単純に21-14より公差は7個で差56は公差7個分にあたります。

よって公差一つは56÷7=8 とわかります。

答: 8


小問2

はじめの数を求めなさい
図解
表示

はじめの(1番目の)数と14番目の数の間の公比の数は14-1=13個です。

そして、さっき公差が8と出たので、はじめの(1番目の)数と14番目の数の差は13×8=104

よって、はじめの数は108-104=4 と分かります。

答: 4


以上で、等差数列の「公差」と「はじめの数」を求める問題は終了です。

等差数列の基本問題
プリント
ダウンロート

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数列(3)問題

数列(3)解答


誤字がございました。
3(2)の解答は7→9です。

等差数列の「差」や
「はじめの数」の求め方
が分かりましたか?

今回で、等差数列の4つの基本要素である「N番目の数」「N」「公差」「はじめの数」どれを聞かれても答えることができるようになりました!!

これで等差数列の「基礎」は終了して、次回は「等差数列の和」です。

他の数列の記事はこちら

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