小学生から高校生まで。等差数列の基本問題(N番目の数)の解き方。無料プリントも

「数列を予習したい」という小学校低学年生や「習い始めたけれど分かりづらい」と感じている中学受験生と保護者の方へ。東大卒講師歴20年の管理人が数列の基礎を分かりやすく図解しています。最後まで読めば数列の基本がしっかり理解できますよ!

この記事の最後でプリントがダウンロードできますので是非ご利用下さい。

等差数列とは?

爽茶そうちゃ

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_tutor(プロフィール)です。

数列が初めての人のために、数列は何か説明します。
説明よりも問題を解きたい人はコチラにジャンプして下さい。

等差数列のしくみ

この「数字の列」を見て下さい。次の数字が何か分かりますか?(▼をクリック)


14です!正解したアナタは「この数字の列はメチャクチャな並びでは無く、ルールがある」分かったということですね。

この数字の「ルール」というのは、一番左の「2」から右に一つ進むにつれて3ずつ増えていく、というものです。

このような等しく増えていく数字の列を等差数列と言います。

そして、一番左の数を「はじめの数」または「1番目の数」と呼び、等しい増え分(差)を「公差」と呼びます(「公」は「共通の」という意味)

まずは書き込み

数列には色々な種類がありますが、中学入試で出題されるのは、等差数列が多いです。

ですから、数字の列を見たらまず左から数の差を書き込んで(図1)差が等しいか(等差数列か)確認します。また数字の上に番号を書き込みます(図2)

図2

数字(番目)を書き込む

等差数列とは

はじめの数」から「等しい差(公差)」で増えていく(または減っていく)数字の並び

爽茶そうちゃ
等差数列が何か分かったので、基本問題を解いていきましょう!
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等差数列の基本(1)
「N番目の数」を求める

爽茶そうちゃ

はじめは「N番目の数」を出す問題です。入試では、サービス問題(小問(1))として出題されたり、解答を出すための材料として自分で出さないといけません。

まず誘導形式で解き方を理解して下さい!

解き方を理解♪

例題1

等差数列 2,5,8,11…の20番目を求めたい。以下の問いに答えなさい。

  1. 2番目の数「5」を初めの数「2」と公差「3」を用いて表すとどうなるか?
  2. 3番目の数「8」と4番目「11」を初めの数「2」と公差「3」を用いて表すとどうなるか?
  3. 20番目の数はいくつか?
考え方

「3ずつ足していって20番目まで書いちゃだめ?」と思う人がいるかもしれません。実は、数列の問題は時間さえあれば初めから書いて求められます

私の授業では「100個までなら書いても良いし、自信が無いなら迷ってないで書いちゃえ!」と指導しています。ですので、20番目なら書いてしまっても構いません

しかし、その方法だと「1000番目」には対応できません(汗)。そこで、計算で求める方法(公式)を考えます。

●例題1-(1)
等差数列 2,5,8,11の2番目の数「5」を初めの数「2」と公差「3」を用いて表すとどうなるか?
解答(▼をクリック)

初めの数2に公差3を加えているので、
523 」と表せますね。5=2+3

●例題1-(2)
等差数列 2,5,8,11の3番目の数「8」と4番目「11」を初めの数「2」と公差「3」を用いて表すとどうなるか?
解答(▼をクリック)

3番目の「8」は、初めの数2に公差32回足しているので「823+3 」と表わせます。

4番目の数「11」は、公差33回足しているので
「 1123+3+3と表せます。

8=2+3+3 , 11=2+3+3+3

この辺りで、+3を何度も書くのが面倒くさくなりましたね?(私もですw)そこで、この部分を掛け算にするとこうなります。

3番目は 82+(3×2) 4番目は 112+(3×3)

上の図を見て「あれ?」と思ったあなたは鋭いです!そうです、4番目の数「11」を出すのに+34回ではなく3回足しているのですね。

このように、等差数列に出てくる数は「自分の番目より1つ少ない回数分の公差を「初めの数」に足した数」になります。

例えば、100番目の数なら100-1で公差を99回足し、1000番目の数なら1000-1で999回足すことになります。

なぜ公差の回数が番目より1少なくなるかというと、植木算と同じです。木が4つなら間の数は1少ない3つになりました。(図1)。数列の場合は数が4つなら公差は1少ない3つになるのです(図2)

(図2)数列

差は数字より1つ少なくなる

興味がある人復習したい人は「植木算の基本:直線状に並べた植木」を読んで下さい。

せっかくなので、もう少し覚えやすい形の「公式」に直すと、等差数列のN番目の数は「初めの数+{公差×(N-1)}」と表すことができます。

等差数列のN番目の数

N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}

(例)10番目の数2+{3×(10-1)}

この公式を使えば、1000番目でも100000番目でも計算で出せますね。これを使って20番目の数を出します。

●例題1-(4)
等差数列 2,5,8,11…の20番目の数はいくつか?
ヒント

公式「N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}」を使います。

図解

この問題に限らず、公式を使うときは公式の形を崩さずに、数字を入れていきます

これを「代入(だいにゅう)」と言います。(くわしく読むには▼をクリック)


代入というのは、ハンバーガーのハンバーグを魚のフライに変えてフィッシュバーガーにするようなイメージです。

ハンバーグをフライドフィッシュに変えても、全体の「形」は上からパン→中身→パンという順番で変わりませんよね?

関連記事「算数が苦手な子には『公式』と『代入』を」を見て下さい。

この問題では20番目の数なので、公式の最初の「N番目の数」のNの代わりに20を入れて「20番目の数=」にします。
続いて、「初めの数」に2、「公差」に3,「N」に20を入れて、答えを出して下さい。(▼をクリック)


20番目の数2+{3×(20-1)} という形になります。{3×(20-1)} の部分を先に計算することに注意して下さい。

これを計算すると2+{3×19}=2+57=59です。59

爽茶そうちゃ

このように、等差数列の「N番目の数」は公式に入れれば簡単に出すことができます。

類題で公式の使い方を練習しましょう!

練習問題で定着!

類題1

等差数列 3,10,17,24…13番目の数を求めなさい
ヒント

N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}」

図解

はじめの数は3、公差は7、Nは13 を公式に入れると、13番目の数3+7×(13-1) です(「7×(13-1)」 の部分を先に計算することに注意)

計算すると3+7×12=3+84=87です。87

次はルールが少し変わった問題です。

類題2

等差数列 98,95,92,89…15番目の数を求めなさい
ヒント(▼をクリック)

公式が変わります。

N番目の数初めの数{公差×(N-1)}

図解

減っていく数列では、もとの公式
N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}」
のプラス(+)をマイナス(ー)に変えて、こうなります。

N番目の数初めの数{公差×(N-1)}
初めの数=98、公差=3、N=15 をこの公式に入れると、15番目の数983×(15-1)となります。

これを計算すると98-3×14=98-42=56です。56

最後は、応用問題です。

応用類題

等差数列 1,7,13,19…が35番目まで並んでいる。次の問いに答えなさい。

  1. 真ん中の数はいくつか
  2. 真ん中から数えて9番目の数はいくつか
  3. 後ろから数えて6番目の数はいくつか
ヒント

この類題では植木算で学習した「番目」と「番差」を使います。「番目」は植木「番差」は間と同様に考えて、こうなります

番目と番差

「番差」=「番目」-1
「番目」=「番差」+1

忘れた方、未見の方は関連記事「番号付き植木算」を見て下さい。

●応用類題(1)
等差数列「 1,7,13,19…」が35番目まで並んでいる。真ん中の数はいくつか
ヒント

まず、真ん中が何番目か(N)を求めます。

奇数(1,3,5…)個の物が並んでいる場合、最初の番号と最後の番号の合計を2で割った答えが真ん中の番号になります。

図解

奇数(1,3,5…)個の物が並んでいる場合、最初の番号と最後の番号の合計を2で割った答えが真ん中の番号になります。5個並んでいる場合を思い浮かべれば分かります(図1)。この問題では最初=1で最後=35なので(1+35)÷2=18より真ん中18番目と分かります(図2)。

図2

35個の真ん中は(1+35)÷2


N=18と分かったので、18番目の数を求めます。

初めの数=1、公差=6、N=18で公式の形を作ると、18番目の数1+6×(18-1) となります。

これを計算すると1+6×17=1+102=103です。103

●応用類題(2)
等差数列 「1,7,13,19…」が35番目まで並んでいる。真ん中から数えて9番目の数はいくつか
ヒント

順番の計算には「番目」ではなく「番差」を使います。9番目=9-1=8番差です。

図解

まず「真ん中から数えて9番目」が、はじめから何番目の数なのか(Nがいくつか)を求めます

9番目=9-1=8番差なので、真ん中(18番目)から9番目は18+8=26番目になります。

次に26番目の数を求めます。
初めの数=1、公差=6、N=26で公式の形を作ると、18番目の数1+6×(26-1) となります。

これを計算すると1+6×25=1+150=151です。151

●応用類題(3)
等差数列 「1,7,13,19…」が35番目まで並んでいる。後ろから数えて6番目の数はいくつか
ヒント

これも、まずNを求めます。

後ろから数えて6番目の数は、前に35-6=29個の数があります。

図解

後ろから数えて6番目の数は、前に35-6=29個の数があるので、前から数えると、29+1=30番目になります


N=30と分かったので、30番目の数を求めます。

初めの数=1、公差=6、N=30 を公式に入れると、30番目の数1+6×(30-1)となります。

これを計算すると1+6×29=1+174=175です。175

爽茶そうちゃ
お疲れ様でした!これで「N番目の数」を求める問題は終了です
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数列(1)解説

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爽茶そうちゃ

等差数列の意味とN番目の数の求め方が分かりましたね?

次の記事は「N番目の数」ではなく「N」つまり何番目かを求める「数列上の位置(N)を求める」です。

最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです。

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