差が等差数列に!階差数列の公式と問題の解き方教え方
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この記事のまとめ

階差数列」の公式
差が等差数列(B)になる数列AN番目
=Aのはじめの数+Bの(N-1)番目までの

(例:A④=A①(1)+B①~B③(1+4+7=12)=13
*BではなくB③までなのがポイント!

「等差数列の基本は分かったので『階差数列』を学びたい」「階差数列って何?難しそう…」という中学受験生と保護者の方、高校生の方へ。この記事は「階差数列」(正確に言うと階差が等差数列の数列)の解き方を分かりやすく図解します。

数列の基本に自信が無い人は「等差数列の基本とN番目の数の出し方」と「等差数列の和の公式と問題の解き方」に目を通す事をオススメします。

面倒くさい人は(汗)コレだけは頭に入れて下さい。

この記事の最後でプリントが自由にダウンロードできます。良ければ利用して下さい。

差が作る数列(階差数列)
に注目する

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_teacher(プロフィール)です。

今まで「数列を見たら等差数列と思え!」という勢いで問題を解いてきました。

では差が等しくない場合はどうしたらよいでしょうか。
(´;ω;`)ウッ…

そういうときは、慌てず騒がず「差を並べて」「差が作る数列」を見てみましょう!

例題1

2,3,5,8,12…という数列がある。以下の問いに答えよ
(1)これは等差数列か
(2)差はどのような数列になっているか
(3)もとの数列(2,3,5,8,12…)をA、階差数列(1,2,3,4)をBとする。
__Aの4番目を、Aの「はじめの数」とBの数列を使って表しなさい。
(4)Aの10番目の数を求めなさい
(5)「80」はAの何番目か

小問1

2,3,5,8,12…という数列がある。これは等差数列か
解答
解答を表示

最初の3つの数の差をとってみると… 1,2 となって、等しくないので等差数列ではありません

答: 等差数列ではない


小問2

2,3,5,8,12…という数列がある。差はどのような数列になっているか
図解
解答を表示

5つの数全部の差をとって並べると…1,2,3,4 となっていますね。

これは1ずつ等しく増えているので等差数列です!o(・∀・)o

「はじめの数」と「公差」で表現すると、差は「はじめの数」が1「公差」が1の等差数列になっています。

答:はじめの数1,公差の等差数列


このように差を並べた数列を階差数列と呼びます。 

「階差数列」が指すもの(タイトルではもとの数列を階差数列のように書いていますが、もとの数列の差を並べたのが階差数列です…(^_^;)

小問3

もとの数列(2,3,5,8,12…)をA、階差数列(1,2,3,4)をBとする。
Aの4番目を、Aのはじめの数とBの数列を使って表しなさい。
図解

Aのはじめの数「2」から4番目の数「8」まではいくつ増加していますか?

答を表示

6増加していますね

この増加分の6というのは、Bとどういう関係があるでしょうか?

答を表示

Bのはじめの数「1」2番めの数「2」3番目の数「3」の合計(和)です。


これで、答えが出ますね

解答を表示

Aの4番目=Aのはじめの数Bの番目までの和と表すことができます。

Bの4番目までの和ではなく3番目までの和になることに注意です。

植木算からずっと出てくる「木の数」と「間の数」の関係ですね

答:Aのはじめの数+Bの番目までの和


小問4

Aの10番目の数を求めなさい
ヒントを表示
Aの10番目の数=Aのはじめの数+Bの9番目までの和
図解

先程の考え方を使うと、Aの10番目の数=Aのはじめの数Bの9番目までの和 です。


まず「Aのはじめの数」は

次に「Bの9番目までの和」を求めます。いくつでしょうか?

答を表示

等差数列の和の公式 (はじめの数+N番目の数)✕N÷2 をB:1,2,3,4…にあてはめましょう。

「はじめの数」=1,「9番目の数」=9「N」=9

なので「Bの9番目までの和」=(1+9)✕9÷2=45 になります


以上の結果を

Aの10番目の数=Aのはじめの数Bの9番目までの和

に入れると答えですね。いくつでしょう?

答を表示

Aの10番目の数=Aのはじめの数Bの9番目までの和2+45=47 になります。

答: 47


このように「差(階差数列)が等差数列になる数列のN番目の数」は「和の公式」を使ってを求めることが出来ます。

公式として覚えておきましょう

差が等差数列になる数列

何度も言いますが、N番目の数を出すときは(N-1)です。

小問5

「80」はAの何番目か求めなさい
図解

次は、番目を求める問題です。

はじめに種明かしをしてしまうと、階差数列の問題では「N番目の数」は計算(公式)で出せますが、「番目(N)」は計算(公式)では出せません。(計算で出せるのは中学3年生から)

「出せない」問題を知る

ある程度勉强したら、「公式(計算)で出せない事柄」を知っておくのも大事です。
なぜなら、その事柄が登場した時にも慌てず「この数値は使わないな」とか「別の方法を考えれば良いのかな」と考えることができるからです。
小学生が計算で出せない事項として重要なのは「正三角形の『高さ』」「正方形の『対角線の長さ』」等です。
そのうち、別記事にまとめようと思います。

したがって、数列の基本に戻って手作業で出すことになります。

試でも同じように手作業で出しますので面倒臭がってはいけませんよ!

小問4で、Aの10番目が「47」と分かりました。

「80」はこれより後ろにあるのは確実なので、「47」の次の数字を出してみましょう。

そのためには、差が分からないといけませんが、まだ出していませんね…
((差が書いていない図))

「47」の直後にあるのはBの何番目でしょうか?

答を表示

10番目ですね。

ではBの10番目はいくつでしょうか?

答を表示

Bの10番目は「10」ですね。
((図))

従って、「47」の次、Aの11番目は

答を表示

47+10=57 と分かります。
((図))

この続きの図を、Aに「80」が出てくるまで続ければ良いのです。

え?面倒くさい?そうですか?
(^_^;)

「80」と「47」の差は33で、次に足す階差数列Bの10番目は「10」なので、「3回(つまり、あとたった2回)くらい足せば良いな」と考えましょう♪

(逆に、差が1000!などなら、さらに別のやり方を考えないといけないので、後回し問題にします。)

早速、図の続きを描きましょう。まずBを書いてしまいます。
((図))
それから、Aを確実に出していきます。

「80」は何番目に出てきますか?

解答を表示

Aの12番は57+11=68

Aの13番は68+12=80 はい!出ました

「80」はAの13番と分かりましたね。

計算間違いをしないように、図に書き込みながら解くことが重要です!

答: 13番目


以上が階差数列を使った問題の解法です。

類題で練習して下さい。

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階差数列を
練習問題で定着

類題1

4,6,11,19,30,44…という数列がある。
(1)20番目の数を求めよ
(2)「396」は何番目の数か?

小問1

20番目の数を求めよ
図解
まず20番目を階差数列を使って表すと

もとの数列をAとします。
Aの差を調べると…等しくはありません(´;ω;`)
が、とりあえず並べます。

すると…
2,5,8,11,14…という等差数列になっています(^O^)

この階差数列をBとします。
「はじめの数」=2「公差」=3の等差数列です。
((AとBを互い違いに並べた図))

ここで公式を用いると
Aの20番目の数=Aのはじめの数+Bの19番目までの和
になります。

次にBの19番目までの和を求めると

Bの19番目までの和は、(Bのはじめ+Bの19番目)✕19÷2 です
Bの19番目は、はじめの数2+公差3✕(19-1)=56 で、Bのはじめの数は2 なので
これを和の公式に入れると、Bの19番目までの和=(2+56)✕19÷2=551 になります。

最後に答えを出すと
これで答えが出せます。
Aの20番目の数=Aのはじめの数+Bの19番目までの和 で
Aのはじめの数は4,Bの19番目までの和は551なので
4+551より、Aの20番目の数=555 と分かります。

答: 555


小問2

「396」は何番目の数か
解説

まず、今まで分かった情報を元に「396」が、どの辺りにあるか予想できないか考えます。

設問で「44」が6番目、小問1で「555」が20番目と分かっているので、「396」は「555」から戻るように探すのが良いかな?と検討が付きますね。

「555」の直前にあるBの19番を求めると、
2+3×(19-1)=56と分かるので図を描きます。

((図))

計算したことは、この図に書き込んでいきましょう。
これで調べる準備が出来ました。

Aの19番目は555-56=499
Aの18番目は499-53=446
Aの17番目は446-50=396 はい出ました!

「396」はAの17番目と分かりました。

答: 17番目


次は、少し変わった階差数列です

類題2

1,21,39,55,69,81…という数列の10番目を求めよ
解説
この階差数列の特徴は?

問題の数列をAとして
Aの差を並べると、20,18,16,14,12 となりますね
この階差数列Bは「減る」タイプの等差数列になっています。
あとは公式通りに解きます( ・`ω・´)

答えを出すと?

Aの10番目=Aのはじめの数+Bの9番目までの和 です。
Bの9番目は、Bのはじめの数20-{Bの公差2✕(9-1)}=4 なので
Bの9番目までの和は
(Bはじめの数20+Bの9番目の数4)✕9÷2=108 です。

Aの10番目=Aのはじめの数+Bの9番目までの和 なので
1+108で、Aの10番目=109 と分かります

答: 109

>


次は少し応用です。

類題3

◯,◯,9,15,23,33,…という数列がある(◯は分からない)
(1)はじめの数を求めよ
(2)15番目の数を求めよ

小問1

はじめの数を求めよ

(ヒント)
問題の数列(A)が分かっている部分の差を調べて並べます

解説
解説と解答を表示

問題の数列(A)が分かっている部分
9,15,23,33の差を調べると
差の数列Bは 6,8,10 という等差数列になっていました♪
きちんとAとBを並べて書くと
Bの3番=6、4番=8、5番=10と分かるので
そこから遡るように
Bの2番=4、Bのはじめ=2 も分かります

次に
Aをさかのぼって
Aの2番は9-4=5,
Aのはじめは5-2=3 と分かります

答: 3


小問2

15番目の数を求めよ

(ヒント)
Aのはじめの数が分かったので、階差数列の公式が使えますね

解説
解説と解答を表示

Aの15番目=Aのはじめの数+Bの14番目までの和 です

Bの14番は
Bのはじめの数2+{Bの公差2✕(14-1)}
=28
なので
Bの14番目までの和は
(Bのはじめの数2+Bの14番目の数28)✕14÷2
=210 です

ようやく答えが出せます
Aの15番目
=Aのはじめの数3+Bの14番目までの和210
=3+210
Aの15番目=213と分かります


 

最後の類題は…応用です。

類題4

5,7,10,15,23,35,…という数列がある。差に注目して10番目の数を求めよ

まずは、差を書いてみましょう

解答と解説

ひと目見れば等差数列ではないと分かります。
そこで階差数列を調べてみても、2,3,5,8,12…これも等差数列ではありません。

そこで、階差の差を調べると、

どうなりますか?

1,2,3,4… 見事に!等差数列になっていました。

つまり、この数列は階差の階差が等差数列である数列」だったわけですね。

それでは10番目をどのように求めればよいでしょうか?
6番まで出ているので、10番までは少し頑張って図を完成させれば出せそうですね。

完成させて答えを出すと?

完成させると、こうなって

143と分かりました。

答: 143

小学生は、このように書き出すのが良いと思います(高校生になれば、これも公式にできるのですが…)


以上で階差数列の問題は終了です!

階差数列の問題
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数列(7)問題

数列(7)解答

階差数列の問題の解き方
は分かりましたか?

この他にも数列には応用問題があります。チャレンジしてみましょう!!

おすすめ!

数列の応用問題:並行数列その1
数列の応用問題:並行数列その2

最後までお読みいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです。

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