小学生】等差数列の応用問題!
並行する数列(2)分数の数列【中学受験

この記事のまとめ

分数の数列
分子と分母を二段の表にしてみる
(例:$\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{8}{11}\cdot\frac{11}{15}\cdot\frac{14}{19}\cdot\cdot\cdot\cdot$)
二段の表にすると等差数列と分かる

番号 1 2 3 N番目
分子 2 5 8 2+{3×(N-1)}
分母 3 7 11 3+{4×(N-1)}

分子:「はじめの数2、公差3」
分母:「はじめの数3、公差4」
Q10番目の分数は?
分子が 2+{3×(10-1)}=29
分母が 3+{4×(10-1)}=39 →A:$\frac{29}{39}$

こんにちは!図解講師の爽茶です。今日は前回の記事に引き続き、並行する数列を分かりやすく図解していきます。等差数列の基本事項、「N番目の数の出し方」「Nの出し方」「等差数列の和」を身につけてからチャレンジして下さい。

面倒くさい方のためは(汗)最低これだけは思い出してください。

数列の応用問題
分数の数列(◯◯無し)

「○○って何だろう…」と気になるかもしれませんが、この章では関係ありませんので悩まなくても大丈夫ですよ!

さて、中学入試で分数の数列が出てきたら、まずは分母と分子を前回のような二列の表にしてみましょう

例題1(分数の数列)

$\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{8}{11}\cdot\frac{11}{15}\cdot\frac{14}{19}\cdot\cdot\cdot\cdot$ という数列がある。以下の問いに答えよ
(1)分子と分母はそれぞれどのような数列になっているか
(2)10番目の分数を求めよ
(3)$\frac{62}{83}$は何番目の分数か
(4)ある分数が$\frac{◯}{67}$になった。◯を求めよ。
(5)分子と分母の差が◯◯になるのは何番目か

小問1

小問2

小問3

小問4

小問5

解き方がわかったところで、類題を解いてみましょう!

類題1(分数の数列)

作成準備中です m(_ _)m

以上で◯◯無しの分数の数列は終了です。
次は◯◯有りの問題です!

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数列の応用問題
分数の数列(◯◯あり)

「◯◯」がまた出てきましたw
これは普通の数字ではできないが分数では出来る何かです。これが解答のポイントでもあります。一体何でしょうか?

例題2(分数の数列2)

$\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{11}{15}\cdot\frac{13}{18}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{17}{24}\cdot\cdot\cdot\cdot$ という数列がある。
以下の問いに答えよ。
(1)分子と分母はそれぞれどのような数列になっているか
(2)12番目の分数はいくつか
(3)$\frac{35}{51}$は何番目の分数か
(4)$\frac{27}{40}$は何番目の分数か

(ヒント)
先程の問題と違って、〇〇を考える必要があります。

小問1

$\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{11}{15}\cdot\frac{13}{18}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{17}{24}\cdot\cdot\cdot\cdot$ という数列がある。分子と分母はそれぞれどのような数列になっているか

(ヒント)
表を作ればわかりそうです…ね…

図解

とりあえず
先程と同じように分子と分母を2列の表にしてみると、

番号 1 2 3 4 5 6 7
分子 5 7 3 11 13 5 17
分母 6 9 4 15 18 7 24

分子を見ると「5,7,3,11,13…」と等差数列に見えませんね
3と5の周辺が等差になりません!3が9,5が15だったら良いのに…
(>_<)

分母も4と7の周辺が等差になりません!4が12、7が21だったら良いのに…
(>_<)

ところが、よく見ると…

気づく事を表示
分子も分母も両方とも、3番目と6番目がおかしいですね。
Σ(゚◇゚;)!!

「約分してあったんだ!」と気付きます

$\frac{3}{4}$$\frac{9}{12}$に、$\frac{5}{7}$$\frac{15}{21}$に表を直すと、こうなります。

番号 1 2 3 4 5 6 7
分子 5 7 9(3) 11 13 15(5) 17
分母 6 9 12(4) 15 18 21(7) 24

これで、答えられますね。

解答を表示

分子:はじめの数5公差2の等差数列

分母:はじめの数6公差3の等差数列


 

約分の可能性このように、分数の数列は約分されている可能性を頭に入れておく必要があります。
タイトルの〇〇は「約分」だったのですね
(*^ー゚)b

これで,考え方が分かりましたね!

小問2

$\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{11}{15}\cdot\frac{13}{18}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{17}{24}\cdot\cdot\cdot\cdot$ という数列がある。12番目の分数はいくつか

(ヒント)
表を使えば簡単ですね

図解
解説と解答を表示

12番目の分子(上段)を計算すると、5+{2×(12-1)}=27
同様に、12番目の分母(下段)を計算すると、6+{3×(12-1)}=39

以上より、12番目の分数は$\frac{27}{39}$ですが、分子分母ともに3の倍数なので約分して$\frac{9}{13}$が答えです。


小問3

$\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{11}{15}\cdot\frac{13}{18}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{17}{24}\cdot\cdot\cdot\cdot$ という数列がある。$\frac{35}{51}$は何番目の分数か

(ヒント)
2つの場合を考える必要があります。

図解

分子が35なので
表の上の段の何番目が35になるか(N)を求めたくなりますが
この問題では約分があるので…

何を考えないといけないでしょうか?
35」が約分した数字で,元々は35×3=105 であった可能性があるのです。

すなわち、2つの場合が考えられるということです。

●場合その1(35は約分していない数字)

番号 1 2 3 4 5 ?
分子 5 7 9(3) 11 13 35
分母 6 9 12(4) 15 18 51


●場合その2
(35は約分した結果)

番号 1 2 3 4 5
分子 5 7 9(3) 11 13 105(35)
分母 6 9 12(4) 15 18 153(51)

このように2つの場合があって、しかもどちらの場合が正しいのかパッと分からない時は、易しい方から確かめていきましょう。
今回は「35」は約分していない数字だとして、つまり場合1として計算します。

結果を表示

すると…N={(35-5)÷2}+1=16 です。

次に、分母の16番目が約分せずに51になるか確認をします。 6+{3×(16-1)}=51 になりました(ホッ)

これで、自信を持って $\frac{35}{51}$は16番目です。

答: 16番目


小問4

$\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{11}{15}\cdot\frac{13}{18}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{17}{24}\cdot\cdot\cdot\cdot$ という数列がある。$\frac{27}{40}$は何番目の分数か?

(ヒント)
この問題も2つの場合を考える必要があります

図解

分子が27なので、小問3と同様にとりあえず「27」は約分していない数字だとして計算すると N={(27-5)÷2}+1=12 です

次に、分母の12番目が40になるか、確認すると…

40になりますか?

6+{3×(12-1)}=39 ってアレ?
40になりません(泣)

番号 1 2 3 4 5 12
分子 5 7 9(3) 11 13 27
分母 6 9 12(4) 15 18 39

つまり、分子の「27」は約分した数字で分子の元々の数字は27×3=「81」だったんですね

番号 1 2 3 4 5
分子 5 7 9(3) 11 13 81(27)
分母 6 9 12(4) 15 18

気を取り直して…分子が81になるのは何番目か計算すると N={(81-5)÷2}+1=39 です。
次に、分母の39番目が40×3=「120」になるか確認すると…

120になりますか?

6+{3×(39-1)}=120 良かった。OKです。

番号 1 2 3 4 5 39
分子 5 7 9(3) 11 13 81(27)
分母 6 9 12(4) 15 18 120(40)

これで、自信を持って
$\frac{27}{40}$(約分する前は$\frac{81}{120}$)39番目といえます。


 

ちょっと面倒くさかったかもしれませんね。

物足りない人は、類題で練習しましょう

類題2

2019/2/23 作成準備中です m(_ _)m

並行する数列
の解法は
理解できましたか?

次は「群数列(グループ数列)」です(2019/2/22準備中です)

最後まで
お読みいただき
ありがとうございました!
ー(^o^)/~~

(追記:2018/8/28)

今回、
wordpressの標準機能だけでは分数を表示できないので、数式を表示するプラグイン探しの記事「分数を表示するプラグイン4つを比較してみた!」を書きました。興味がある方はどうぞ。

◎数列
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そうちゃ式 分かりやすい教え方の図解算数
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