小学生】等差数列の応用問題!並行する数列(2)分数の数列【中学受験

「難関校の入試問題を解けるようになりたい!」という中学受験生の方へ。等差数列の応用問題を東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすくまとめました♪この記事の問題が解ければ入試問題にも刃が立つようになるでしょう!

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数列の基本事項(復習)

過去の記事の要点です。最低限、これらを頭に入れて下さい。

和の公式

この図が「?」な人は「N番目の数の出し方」「Nの出し方」「等差数列の和」を身につけてからチャレンジして下さい。

分数の数列(○○なし)

爽茶そうちゃ
「○○って何だろう…」と気になるかもしれませんが、この章では関係ありませんので悩まなくても大丈夫ですよ!

考え方を理解♪

●例題1-(1)

23,57,811,1115,1419…という数列がある。
分子と分母はそれぞれどのような数列になっているか
ヒント

下の表を埋めるつもりで考えてみましょう

番号 1 2 3 4 5
分子
分母
図解(▼をクリック)

分子と分母を2列の表にしてみると、規則性が分かります。

番号 1 2 3 4 5
分子 2 5 8 11 14
分母 3 7 11 15 19

分子:はじめの数2,公差3等差数列

分母:はじめの数3,公差4の等差数列

このように分数の数列が出てきたら、まずは分母と分子を二列の表にすると考えやすくなります。

そして分子と分母の規則性が分かったら、右端に「N番目の数」を書き込んでおくと良いです。

番号 1 2 3 N
分子 2 5 8 2+{3×(N-1)}
分母 3 7 11 3+{4×(N-1)}

ここから先は、この表を使っていきましょう。

●例題1-(2)

23,57,811,1115,1419…という数列がある。
10番目の分数を求めよ
ヒント

さきほどの「実戦的な表」を使いましょう

図解

先程の表を使って10番目の分子(上段)を計算すると、等差数列のN番目の数の公式「N番目の数=はじめの数+公差×(N-1)」を使って 2+{3×(10-1)}=29です。

同様に10番目の分母(下段)を計算すると、3+{4×(10-1)}=39なので…

番号 1 2 3 10
分子 2 5 8 2+{3×(10-1)}
分母 3 7 11 3+{4×(10-1)}

10番目の分数2939です。2939

●例題1-(3)

23,57,811,1115,1419…という数列がある。
6283は何番目の分数か
ヒント

分子と分母のどちらを使ってもかまいません。

図解

分子を使って解いてみます。分子が62なので、表の上の段の何番目が62になるか(N)を求めます。

番号 1 2 3 N
分子 2 5 8 29
分母 3 7 11 39

等差数列の「N」を求める公式「N={(N番目の数-はじめの数)÷公差}+1」 を使うと、?={(62-2)÷3}+1=21 です。

6283は21番目です。21番目

●例題1-(4)

23,57,811,1115,1419…という数列がある。
何番目かの分数が67になった。◯を求めよ。
ヒント

(3)と違って分母しか分からないので、分母を使いましょう

図解

まず分母が67になるのが何番目か(N)を求めます

番号 1 2 3 N
分子 2 5 8
分母 3 7 11 67

公式「N={(N番目の数-はじめの数)÷公差}+1」を使って、N={(67-3)÷4}+1=17番目です。

次に分子の17番目(表の◯)を、等差数列のN番目を求める公式で求めると、◯=2+{3×(17-1)}=50です。

番号 1 2 3 17
分子 2 5 8 2+{3×(17-1)}
分母 3 7 11 67

以上より「ある分数」は5067で、は50です。50

●例題1-(5)

23,57,811,1115,1419…という数列がある。
分子と分母の差が33になるのは何番目か
ヒント

・∀・)つ ヒント絵

母と子の距離が開いていきます
図解

この問題の場合は、一番目の差が1、二番目の差が2…と広がっていくので…差が33になるのは33番目と直感で分かります。33番目

ただ…他の問題にも対応できるようにしたいので、こういう問題は「旅人算」のつもりで観察するとおぼえておきましょう。

この問題の場合は、最初の分子と分母の差は1で、分子が3ずつ分母が4ずつ増えていくので、差は4-3=1 ずつ、どんどん開いていきます。

分母と分子の1の差が、開いていく

子供の「うえ~ん」という声が聞こえてきそう…

この差が33になるのは、あと32差がつかないといけないので、32÷(4-3)=32番後で、1番目の32番後なので、1+32=33番目 と計算します。

番目と番後について詳しく知りたい人は参考記事「番号付き植木算」を見て下さい。

解き方がわかったところで、類題を解いてみましょう!

練習して定着!

類題1(分数の数列)

作成中です(2020.3.9) m(_ _)m
爽茶そうちゃ
以上で◯◯無しの分数の数列は終了です。
次は◯◯有りの問題です!

分数の数列(○○あり)

爽茶そうちゃ
「◯◯」がまた出てきましたw
これは普通の数字ではできないが分数では出来る何かです。これが解答のポイントでもあります。一体何でしょうか?

考え方を理解♪

●例題2-(1)

56,79,34,1115,1318,57,1724…という数列がある。分子と分母はそれぞれどのような数列になっているか
ヒント

とりあえず表を作りましょう…ね

図解

とりあえず、先程と同じように分子と分母を2列の表にしてみます。

番号 1 2 3 4 5 6 7
分子 5 7 3 11 13 5 17
分母 6 9 4 15 18 7 24

分子を見ると「5,7,3,11,13…」となっていて、3と5の周辺が等差になりません!3が9,5が15だったら良いのに…
(>_<)

分母も4と7の周辺が等差になりません!4が12、7が21だったら良いのに…
(>_<)

ところが、よく見ると…分子も分母も両方とも、3番目と6番目がおかしいですね。
Σ(゚◇゚;)!!

「約分してあったんだ!」と気付きます

34912に、571521に直すと、表はこうなります。

番号 1 2 3 4 5 6 7
分子 5 7 9(3) 11 13 15(5) 17
分母 6 9 12(4) 15 18 21(7) 24

これで、答えられますね。

分子:はじめの数5,公差2の等差数列

分母:はじめの数6,公差3の等差数列

このように、分数の数列は約分されている可能性を頭に入れておく必要があります。
タイトルの〇〇は「約分」だったのですね
(*^ー゚)b

ここからは、約分されていないかも考えて下さい!

●例題2-(2)

56,79,34,1115,1318,57,1724…という数列の12番目はいくつか
ヒント

表を使えば簡単ですね

図解

12番目の分子(上段)を計算すると 5+{2×(12-1)}=27で、12番目の分母(下段)を計算すると、6+{3×(12-1)}=39 になります。

番号 1 2 3 4 5 12
分子 5 7 9(3) 11 13 27
分母 6 9 12(4) 15 18 39

以上より、12番目の数は2739ですが約分をして913と答えないといけません。913

●例題2-(3)

56,79,34,1115,1318,57,1724…という数列で、3551は何番目の数か
ヒント

2つの場合を考える必要があります!

図解

分子が35なので表の上の段の何番目が35になるか(N)を求めたくなります。しかし、この問題では約分があるので…「35」が約分した数字で,元々は35×3=105 であった可能性があるのです。

すなわち、2つの場合が考えられるということです。

●場合その1(35は約分していない数字)

番号 1 2 3 4 5 ?
分子 5 7 9(3) 11 13 35
分母 6 9 12(4) 15 18 51

●場合その2(35は約分した結果)

番号 1 2 3 4 5
分子 5 7 9(3) 11 13 105(35)
分母 6 9 12(4) 15 18 153(51)

このように2つの場合があって、しかもどちらの場合が正しいのかパッと分からない時は、易しい方から確かめていきましょう。

今回は「35」は約分していない数字だとして、つまり場合1として計算します。

すると…N={(35-5)÷2}+1=16 です。

次に、分母の16番目が約分せずに51になるか確認をします。 6+{3×(16-1)}=51 になりました(ホッ)

これで、自信を持って3551は16番目と答えられますね。16番目

●例題2-(4)

56,79,34,1115,1318,57,1724…という数列で、2740は何番目の数か?
ヒント

ここの問題も2つの場合を考える必要があります

図解

分子が27なので、小問3と同様にとりあえず「27」は約分していない数字だとして計算すると N={(27-5)÷2}+1=12 です。次に、分母の12番目が40になるか、確認すると…6+{3×(12-1)}=39 ってアレ?
40になりません(泣)

番号 1 2 3 4 5 12
分子 5 7 9(3) 11 13 27
分母 6 9 12(4) 15 18 39

つまり、分子の「27」は約分した数字で分子の元々の数字は27×3=「81」だったんですね

番号 1 2 3 4 5
分子 5 7 9(3) 11 13 81(27)
分母 6 9 12(4) 15 18

気を取り直して…分子が81になるのは何番目か計算すると N={(81-5)÷2}+1=39 です。

次に、分母の39番目が40×3=「120」になるか確認すると…6+{3×(39-1)}=120 良かった。OKです。

番号 1 2 3 4 5 39
分子 5 7 9(3) 11 13 81(27)
分母 6 9 12(4) 15 18 120(40)

これで自信を持って2740(約分する前は81120)は39番目といえますね。39番目

ちょっと面倒くさかったかもしれませんね。

物足りない人は、類題で練習しましょう

練習して定着!

類題2

2020/3/9 作成準備中です m(_ _)m

次のステップへ

爽茶そうちゃ

並行する数列の解法は理解できましたか?
これで数列の記事は終わりです。

数列は大丈夫という人は、ものを二次元(たて・よこ)に並べる「方陣算」に進んで下さい。

最後まで読んでいただきありがとうございました♪
この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです。

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追記(2020.3.9)

一年以上ぶりに記事を見返してみたらレイアウトがひどすぎたのでリデコ

この記事を最初に書いたのはブログを始めて1ヶ月目くらいの頃で、表や分数・丸数字の表現に悪戦苦闘していたのを思い出しました。

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