中学受験】等差数列上の位置の出し方は?無料プリントもあります♪

「等差数列の基本を固めたい」という中学受験生の方、まかせて下さい。東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が「ある数の等差数列上での位置=N」の出し方を分かりやすく説明します。

等差数列の基礎(復習)

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

まず等差数列の基礎を確認します。

こうでしたね。

等差数列とN番目の数の出し方まとめ

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

等差数列 3,10,17,24…の13番目の数を求めなさい
→( はじめの数は3、公差は7、Nは13 なので
13番目の数3+{7×(13-1)}=3+84=87
 )

確認テストができない人は「等差数列の基本とN番目の数」を見た方が良いかもしれません。

できた人は今日の内容に進みましょう♪

Nを求める

爽茶そうちゃ
前回は「13番目の数は何か?」つまり「N番目の数」を求めましたが、今度はその逆に「87は何番目の数か?」つまり「N」を求めます。

解き方を理解♪

●例題1

等差数列 2,5,8,11…がある。32が何番目の数か考える。

ヒント

「はじめの数」と「公差」を使って考えます。

例題1(1)
32と「初めの数」の差はいくつか
図解

32は はじめの数2に+30した数です。

はじめの数と32との差

30

例題1(2)
小問(1)で求めた差は「公差」何回分か?
図解

+30は公差3の10回分(30÷3)にあたります。

はじめの数と32の差は公差10回分にあたる

10回分

例題1(3)
結局、32は何番目の数か?
図解

等差数列では、数が公差より一つ多くなります(植木算の木と間の関係)。

等差数列の数字と公差の関係は、植木算の木と間の数の関係と等しい

今回の問題では、公差が10回なので数は11個になります。つまりN=11で32は11番目の数です♪

公差の回数に+1して32の番目(N)を求める

11番目

解き方を公式化

今の計算を振り返ると、こうでした。

Nを求める計算の流れ図

これから先は何回もNを求めるので、この計算自体を公式としておきましょう!

ある数の等差数列での位置(N)の求め方まとめ
中括弧{}の部分が公差の回数になっているのが分かります。

これで等差数列の「N」の求め方は分かりました。類題で公式を使う練習をしましょう

練習問題で定着!

●類題1-1

9,15,21という等差数列があります。以下の問いに答えなさい。

類題1(1)
「9,15,21…」という等差数列で75は何番目ですか
ヒント

公式を使いましょう。

図解(▼をクリック)

公式「N={N番目の数はじめの数公差}+1」にN番目の数=75,はじめの数=9,公差=6を代入すると、N={7596}+1={11}+1=12番目と分かりますね!

12番目

類題1(2)
100は「9,15,21…」という等差数列上にありますか?ない場合、何番目と何番目の間にありますか?
ヒント

ありますか?と聞かれているということは…

図解

N番目の数=100,はじめの数=9,公差=6を代入すると公式に入れて計算するとN={(100-9)÷6}+1=16.1…で、Nが整数になりません。

つまり、100は数列上にはありません。

N=16.1…ということは、100は16番目と17番目の間にあるということです。

ない。16番と17番の間

類題1(3)
「9,15,21…」という等差数列がはじめて1000を越えるのは何番目の数のときですか
ヒント

小問(2)がヒントになっています

図解

N番目の数を1000にして公式を使うと、N={(1000-9)÷6}+1=166.1…で1000は数列上になく、166番目と167番目の間にあると分かります。

したがって1000を越えるのは167番目の数ですね!

167番目

●類題1-2

12,16,20という等差数列が76まで続いています。以下の問いに答えなさい。

類題1-2(1)
「12,16,20…」という等差数列が「76」まで続いています。全部でいくつの数字が並んでいますか?
ヒント

深く考えずに…

図解

N番目の数=76,はじめの数=12,公差=4を公式に代入すると、N={(76-12)÷4}+1=16+1=17なので、最後の数76は17番目とわかります。

17

類題1-2(2)
「12,16,20…」という等差数列が「76」まで続いています。真ん中の数字はなんですか?
ヒント

真ん中のものは「(1+全部の数)÷2」番目です。

図解

全部17個並んでいるので、真ん中の数字は(1+17)÷2=9番目です。

前回の公式「N番目の数=初めの数+{公差×(N-1)}」にはじめの数=12,公差=4,N=9を代入して計算すると12+{4×(9-1)}=44です。

44

別解

等差数列では、真ん中の数は「初めの数+最後の数)÷2」でも求められます。(12+76)÷2でやはり44になります。

類題1-2(3)
「12,16,20…」という等差数列が「76」まで続いています。40は後ろから数えて何番目ですか
ヒント

全部で10個ある時の前から4番目の数は、後ろから数えると10-(4-1)=7番目です。

図解

40が(前から)何番目か求めると、N={(40-12)÷4}+1=8番目です。つまり「40」の前には数字が8-1=7個あります。

この数列は全部で17個の数字があるので、後ろから数えると「40」は17-7=10番目になります。(詳しくは参考記事「数え方」を見て下さい)

10番目

別解

後ろからの番目を聞かれているので、数列を前後逆向きにして、初めの数=76,最後の数=12と考えます。公差は4で変わりません(減っていきます)。

Nを求める公式「N={}+1」に代入すると、N={(76-40)÷4}+1=10番目と分かります。

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まとめ

今回の公式「Nを求める」と前回の公式「N番目を求める」、それに等差数列の基本図をまとめてみました。

公式に直接書いていない「公差の個数(青い波線)」がポイントです。

プリント(旧作)

画像をクリックするとプリントが表示されますので保存して下さい。著作権は放棄しておりません。無断転載引用はご遠慮ください。

数列(2)解答
爽茶そうちゃ

Nを求める方法は分かりましたか?他にも数列の記事があるので「数列の総合案内」から見て下さいね

最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです♪
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