【小学生】無料プリントあり♪等差数列上の位置(番目:N)問題の解き方【中学受験】

「等差数列の意味とN番目の数の出し方は分かった!」という中学受験生とその保護者・指導者の方へ。東大卒講師歴20年の管理人が等比数列のN(=番目)の求め方を図解します。算数が苦手な生徒さんは必ずマスターして入試での基礎点が稼いで下さい。

等差数列の基本(復習)

爽茶そうちゃ

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_teacher(プロフィール)です。

まず前回の復習として、等差数列の基本事項をもう一度示します。

等差数列とN番目の数

等差数列→「はじめの数」から「等しい差」で増えていく(または減っていく)数字の列

N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}
(例)10番目の数2+{3×(10-1)}

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

等差数列 3,10,17,24…の13番目の数を求めなさい
→( はじめの数は3、公差は7、Nは13 なので
13番目の数3+{7×(13-1)}=3+84=87
 )

確認テストができない人は「等差数列の基本とN番目の数」を見て下さい

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等差数列の何番目か(N)を求める

爽茶そうちゃ
前回は「13番目の数は何か?」つまり「N番目の数」を求めましたが、今度はその逆に「87は何番目の数か?」つまり「N」を求めます。

例題1

等差数列 2,5,8,11…がある。32は何番目の数か?
図解A(図ベース)

まず基本図を思い出します。

公差の数は数の個数(番目)より一つ少なくなっています。逆から言うと、(番目)は公差の数にプラス1することになります。

これは植木算の「木」と「間」の関係と同じです。

さて、今回の問題を図にするとこうなります。

2から32までは+30で

この30は公差10個分(30÷3)なので、N-110と分かります

これでNは分かりますね?

解答を表示

N公差の数プラス1して11になります。

答: 32は11番目


次は公式ベースの解説です。読み飛ばしたい人は「閉じる」を押して下さい

図解B(公式ベース)
読む

基本の公式をもう一度見ます。
N番目の数初めの数+公差×(N-1)

公式を使って解く場合、分かっているのは公式のどの部分か?を考えます。

この問題で分かっているのは「初めの数は2」「公差は3」「N番目の数が32」で、Nは問題で聞かれているので当然分かりません。

次に公式に分かっている数字を当てはめると

322+3×(N-1)

こうなって、あとは逆算の問題になります。
Nはいくつになるでしょうか?
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”

N=(32-2)÷3+1=30÷3+1=10+1=11

答: 11番目

逆算の途中過程を見たい人はこちらを表示

逆算の復習も兼ねて丁寧に書いてみます。
まず、左右を入れ替えて見慣れた形にして、先に計算するかけ算の部分はカッコにくくります

2+(3×(N-1))=32

となります

次に(3×(N-1))の部分だけがいくつになるか求めると

3×(N-1)=32-2=30 で

3×(N-1)=30と分かります

さらに(N-1)の部分を求めると

(N-1)=30÷3=10 で

(N-1)=10 と分かります

最後に「N」を求めると

N=10+1=11です


 

まとめと公式化

2つの説明を行いましたが、どちらも行っている計算自体は

32-2=30(差の合計)→30÷3=10(項差の個数=N-1)→10+1=11(N)

と全く同じです。このタイプは結構出題されるので、この計算自体を、公式としておきましょう!

等差数列での位置

ある数が数列のN番目の数である時
数列での番目(N)
={N番目の数はじめの数公差}+1
(例)2,5,8…32
→32は{(32-2)÷3}+1=11番目

中括弧{}の部分が公差の個数になっているのが分かります。

さて、
真面目な方はAB2つの解説を両方読んでいただいたと思います。
そうすると当然
「どっちが良いの?」と気になると思います
結論から言うと、
最初は図ベースで解けるようにして下さい。

詳しくはコチラ

公式ベースと図ベースの2つのどちらが良いのかというと、
「図ベースの説明が理解・実践できたら、以降は公式ベースの解き方で復習定着を図る」これが基本になります。
試験中はスピードが要求されるので公式ベースで瞬時に答えが出せる(頭を使わない)のが望ましいからです。かけ算の九九と同じイメージです。

ですから、受験生の場合、公式を記憶しているのが当然であって、自然と記憶できない人は「暗記」しないといけません。緊張するであろう試験中に思い出せる保証がないのに「公式は覚えなくても解く時に作れば良いよ」なんて無責任なことは言えません。

→参考記事

「公式は暗記しなくて良い」のか?

また、
これから複数の解法を示す時があると思いますので、私の基本的な考え方を記しておきます。

複数の解法を教える場合「原則はコチラ、こういう場合は例外的にアチラ」という①選択基準か、
「まずはコチラをできるように、次にアチラもできるように」という②習得順序のどちらかを示す義務があると考えます。
さもないと、教えられる側は頭の負担が不必要に増えたり、どれを習得したら良いのか混乱してしまいます。

これで等差数列の「N」の求め方は分かりました。類題で公式を使う練習をしましょう

類題1

13,22,31という等差数列があります。
(1)83はこの数列上にありますか。あるとしたら何番目ですか
(2)112はこの数列上にありますか。あるとしたら何番目ですか

小問1

83はこの数列上にありますか。あるとしたら何番目ですか

「ありますか」というのが少し気になりますが…

図解

公式をもう一度示します。
N={(N番目の数はじめの数公差}+1

この問題では
N番目の数=191、はじめの数=13、公差=9
これらを公式に入れて計算してみると

解答を表示
N={(191139}+1={178÷9}+1 って

あれ?
178÷9が割り切れませんね…
つまり
191はこの数列上にない、ということです。

答: ない

こんな問題は、見たことがありませんが、問題文に「ありますか」と書いてあったら「ないことがあるんだろうな」と予想するのが大切です。


小問2

112はこの数列上にありますか。あるとしたら何番目ですか

「またかよ」という感じ?

図解
解答を表示
この問題では
N番目の数=112、はじめの数=13、公差=9
これらを公式に入れると
N={(112139}+1={99÷9}+1=11+1=12
この小問は普通に解けましたね(ホッ)

答: ある 12番目


できましたか?

類題2

12,16,20という等差数列があります。
(1)60は何番目ですか
(2)80は60から数えて何番目ですか

小問1

60は何番目ですか

公式にあてはめてラクに解きましょう!

図解
解答を表示

N番目の数は60、はじめの数は12、公差は4
公式 N={(N番目の数はじめの数公差}+1
の形を作ると
N={(60124}+1
={48÷4}+1=12+1=13

答: 13番目


小問2

80は60から数えて何番目か

最初は図を書いて下さい。

図解A(図ベース)
表示
初めの数「12」公差4,13番目「60」と?番の「80」
分かっている事を図にしてみるとこうなります。

60と80の差は20で、公差5個分です。
最初のコレ↓を思い出して

番目は公差+1なので5+1=6番目と分かります

答: 6番目

図が書けるようになったら、次のような公式だけの解法でも構いません(図がかけない間は図を練習するのが基本です)

解説B(公式ベース)
公式ベースの解答を表示

N番目の数を80に、はじめの数を60、公差を4 にして
公式の形を作ると
N={(80604}+1 となるので

N={20÷4}+1=5+1=6番目 と分かりま


できましたか?これでNを求める問題は終了です!

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今回までのまとめ

今回の公式「Nを求める」と前回の公式「N番目を求める」、それに等差数列の基本図をまとめてみました。

公式に直接書いていない「公差の個数(青い波線)」がポイントです。

プリントダウンロート

画像をクリックするとプリントが表示されますので保存して下さい。

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数列(2)解答

次のステップへ

爽茶そうちゃ

Nを求める方法は分かりましたか?他の基本問題には「はじめの数や公差を求める」があります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです♪
◎数列
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そうちゃ式 分かりやすい教え方の図解算数
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