相当算・還元算の問題(文章題)の解き方・図の書き方【中学受験

「相当算や還元算が難しい!」という中学受験生の方、確かに線分図が難しいことです…でも大丈夫!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が図の書き方から分かりやすく説明します。

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割合(復習)

爽茶そうちゃ
相当算・還元算は「割合」の一分野なので、割合を簡単に復習します!
割合の公式(矢印図)

「AのB倍はC」「CはAのB倍」という関係がある時に「矢印図」を使います。

(矢印図)
→3つの数が「A×B=C」の関係にある時に、
矢印の向きに沿って「A」「B」「C」を並べた図

(例)「2の3倍は6」「6は2の3倍」→「2×3=6」の矢印図になります。

さきの数(6)=もとの数(2)×矢の数(3)
矢の数(3)=さきの数(6)÷もとの数(2)
もとの数(2)=さきの数(6)÷矢の数(3)

爽茶そうちゃ
これが「?」な人は「割合の総まとめ」で復習して下さい。

矢印図から線分図へ

矢印図で解く

「相当算・還元算」は矢印図の「先の数」から「元の数」を求める問題。

例えば「月に行きたいという生徒は231人で、これは全校生徒の33%にあたる。全校生徒数は何人ですか?」という問題です。

231人全校生徒33%にあたる」は「全校生徒×0.33=231人」と同じなので、矢印図では反対の矢印を追加して解きます。

線分図で解く

このような単純な問題なら矢印図でも解けますが、この先の応用問題を解くには線分図を使う方が分かりやすいので、線分図でも解いてみます。

まず全校生徒を①(マルイチ)として線分を書き、その33%(だいたい三分の一の長さ)を区切ります。33%=0.33なので区切った部分に「0.33」と書き、その下に「行きたい」などの文字と「231人」を書き足します(図1)。この線分図は矢印図(図2)と同じことを意味しています。

矢印図

説明
相当算の線分図

全校を①に、
33%にあたる部分を0.33とする。

そして「0.33=231」のような「丸数字=数値」という関係が見つかったら、「数値÷丸数字」という計算をすると①が求められます。この場合は231÷0.33=700=①で、これが答です(図3)。矢印図(図4)でも同じ計算をしていますね。

図4:矢印図

こちらでも同じ計算「231÷0.33」をしています。

これが線分図を使った相当算の解き方です。

図を書くと時に全体を「1」ではなく「①」と書いて、単位がある普通の数値と区別するのが大切です。

相当算の解き方
  1. 全体(元の数)を①として線分図を書く
  2. 丸数字=数値」という関係を見つける。
  3. 数値÷丸数字で①を求める。

この「数値÷丸数字で①を求める」というのは受験算数の基本作業で「分配算」でも使いましたね。

テストで試してみましょう

確認テスト(タッチで解答表示)

クッキーが缶に詰められています。26個を食べました。全体の1320に当たるとき、はじめ何個のクッキーが入っていましたか。
→( 全体①とすると1320が26個なので「1320=26」よって①=26÷1320=26×2013=2×201=40 )

「残り」から求める問題

問題文には直接書いていない「残りの割合」を使う問題です。

「残り」の割合

例えば「貯金の3割を使ったら5600円が残った。最初、貯金はいくらあったか?」という問題です。

さっきのルールで線分図を書きますが、これだけでは「丸数字=数値」という関係がみつかりません(図1)。

図1:

問題文の言葉だけを線分図にしても解けない

そこで問題文には書いていない「残りの割合」を自分で求めて書き込みます。全体が①で使ったのが3割=0.3ですから残りは①ー0.3=0.7で、これが5600円です(図2)。

図2:

「残り」の割合0.7を書けば「丸数字=数値」が分かる

0.7=5600という関係が見つかったので、5600÷0.7=①=8000円が最初の貯金額と分かります。

半端な数(プラス)の場合

使う量に半端な数がある場合を考えます。

例えば「貯金の2割より2000円多く使ったら10000円が残った。最初、貯金はいくらあったか?」という問題です。

線分図を書きます。貯金全部を①、2割が0.2ですが、まだ「丸数字=数値」という関係が分かりません

そこで①-0.2=0.8を書き込むと、0.8=2000+10000=12000円という関係が見つかりました(図2)

これで12000÷0.8で①=15000円と分かります。

半端な数(マイナス)の場合

半端な数がマイナスの場合もあります。

例えば「箱に入ったたくさんのお菓子の4割より2個少ない個数を友達にあげたら26個残った。最初お菓子は何個あったか?」という問題です。

これも線分図を書きます。お菓子全部を①、4割が0.4、2個、26個という問題文の言葉・数値に加え①-0.4=0.6を書き加えて観察すると0.6=26-2=24という「丸数字=数値」の関係が分かります

これで①=24÷0.6=40個と答が出せます。

確認テスト(2020.2.22作成中)

端数を合わせると全体になる

「残り」ではない、端数の書き方を使った別タイプの問題を解いてみます。

「足りない」タイプ

例えば「袋の中にレモン味とブドウ味のアメがたくさん入っている。レモン味のアメは全体の3割より2個多く、ブドウ味のアメは6割より3個多い。アメは全部で何個あるか?」という問題です。

線分図を書いてみます。二種類のアメしか無いのでレモン(0.3+2)とブドウ(0.6+3)ですき間なく①になります。

線分図をながめると、丸数字のすき間①-(0.3+0.6)=0.1が5と等しいのが分かります。「丸数字=数値」を見つけたので、数値÷丸数字で①=5÷0.1=50と分かります。

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

ある小学校の男子の人数は全校生徒の52%より21人多く、女子は40%より15人多い。全校生徒は何人か?
→( 100-(40+52)=8%=0.08が21+15=36人にあたるので、全体①=36÷0.08=450 )

「余る」タイプ

「梅アメと桜アメがたくさん入った袋がある。梅アメは6割より7個少なく、桜アメは5割より9個少ない。アメは合計何個あるか?」

全体を①、梅アメの線分図を0.6-7個の長さで区切ります。すると桜アメの個数もここまでとなります。

そして桜アメが0.5-9個になるように0.5を書くと、梅で書いた0.6と重なってしまいます。これがポイントです。

そもそも0.6+0.5=1.1なので0.1の重なりができるのですね。この0.1が7+9=16と等しいと気付ければ、①=16÷0.1=160と分かりますね!

確認テスト(作成中)

二段階の問題(還元算)

ここまでの相当算は一回の計算で(一段階で)①が出せましたが、問題文が複雑になってくると一回では①が出せなくなってきます。

「残りの」○割

例えば「昨日貯金の4割を使ってゲームソフトを買い、今日は残りの3割でフィギュアを買ったところ6300円残った。最初貯金はいくらあったか?」という問題です。

全体(最初の貯金)を①、昨日使ったのが0.4、そして今日使ったのは「残りの」3割なので0.3ではありません(それだと最初の貯金の3割になってしまいます!)(図1)。
そこで、昨日の残り0.6を新しい記号で1とおき、今日使った金額を0.3と書きます(図2)。

図2:正しい図

新しい記号を作って0.3とする

すると最後に残るのは10.3=0.7で、これが6300円です。(図3)。

丸数字ではありませんが「記号数字=数値」が分かったので、6300÷0.71=9000円と求められます。これは0.6でもあるので、0.6=9000円です。やっと「丸数字=数値」が分かりました(図4)。

あとは9000÷0.6=15000円=①で、最初の貯金は15000円と分かります!

このように元の数が2つ出てくる(記号数字が二種類以上出てくる)問題を「還元算」と言います。

還元算の解き方をまとめると次のようになります。

還元算の解き方
  1. 全体を①、一部の丸数字を1として線分図を書く。
  2. 四角数字=数値」を見つけ、数値÷四角数字で1を求める
  3. 数値(1の値)÷丸数字で①を求める

確認テスト(2020.2.18作成中)

還元算を相当算で解く(記号を一種類ですませる)

記号が2種類あるのが面倒くさい!という人は次のように一種類の記号だけで解くことも出来ます。

フィギュアの値段は、昨日の残り0.6の3割(×0.3)なので0.6×0.3=0.18とも表せます(図1)。

すると今日残っている金額も0.60.18=0.42と表せて、これが6300円なので「0.42=6300」と分かります。ここから①=6300÷0.42=15000と答が出せます(図2)。

確認テスト(作成中)

端数と還元算

半端な数の残りのさらに○割という面倒な問題も丁寧に図を書けば還元算で解けます。

例えば「ある本を一昨日は全体の4割より3ページ多く読み、昨日は残りの半分より3ページ少なく読んだところ30ページ残った。全部で何ページあるか?」という問題です。

一日目に読んだ量は0.4+3で、一日目の残りを1とすると、二日目に読んだ量は0.5-3、最後に残ったのが30ページです(図1)。

線分図を見て0.5=30-3=27ページと分かれば1が27÷0.5=54ページと分かります。これを線分図に書き込み「丸数字=数値」の関係を探します。

0.6=54+3=57ページ」と気づけば、①も57÷0.6=95ページと分かりますね。

端数と還元算を相当算で解く

上の問題を一種類の記号で解くには少しテクニックを使います。

一日目の残りを「0.6-3」と表して、二日目に読んだ量を{(0.6-3)×0.5}-3=0.3-1.5-3=0.3-4.5 と計算します(0.6と3の両方に0.5をかけるのと-4.5になるのに注意)

 

線分図を眺めて、丸数字のすき間が①-(0.4+0.3)=0.3で、これが3+(30-4.5)=28.5ページだと気づけば、28.5÷0.3=95と求めることができます。

 

ただ、これは線分図も計算もやや複雑で計算ミスの可能性も増えるので、還元算でニ種類の記号を使ったほうが良いかもしれませんね。

 

 

もっと問題を解きたい・詳しい説明を見たい人は関連記事「相当算と還元算」を見て下さい。

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爽茶そうちゃ
相当算・還元算の図の書き方・解き方は分かりましたか?あとは反復練習あるのみです。
余裕がある人は、他の割合分野「売買算(損益計算)」にも挑戦してみましょう!
最後まで読んでいただきありがとうございました!この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです♪
◇割合と比
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