方陣算の問題・公式のまとめ!正方形から三角形多角形、基本から難問まで。

「方陣算って何?」「いろんな問題があって頭がこんがらがる!」という中学受験生と保護者の方へ。たしかにゴチャゴチャしてますね…でも大丈夫ですよ!講師歴20年の管理人が分かりやすい考え方(区切り方)を図解します。手軽にできる確認テスト付きで定着を図れます!

中実方陣

爽茶そうちゃ

こんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_teacher(プロフィール)です。

まずは「(中実)方陣」が何か見ながら問題を解きましょう。
中実方陣の公式(最後に確認テストあり)
  • 中実方陣の石の数=タテ×ヨコ
  • 一辺A個の中実方陣の最外周の石の数
    =(A-1)×4 ←A×4ではない!
  • 一辺A個の中実方陣をタテヨコ一列増やすのに必要な石の数
    =(A×2)+1
  • 一辺A個の中実方陣の最外周をもう一週増やすのに必要な石の数
    =(A+1)×4 ←作れれば覚えずともOK

中実方陣の石の数

中実方陣ちゅうじつほうじんは人や石がぎっしりと正方形や長方形の形に集まった形。昔の戦争で歩兵が作っていた陣形です。

タテ・ヨコが等しい一辺A個の中実方陣に含まれる石の数は「A×A」個です。

問題を解く時は、「一辺が20個」のように石を実際に掛けない場合も多いです。その時は「区切り絵」というのを書きます。タテとヨコの石の数を長さのように書き、中の石の数を面積と同じ公式で出して書き込みます。

最外周の石

最外周の石の個数

問題で聞かれるのは最外周(一番外側のひとまわり)の石についてです。一辺A個の中実方陣の一番外側のまわりの石の数は「(A-1)×4」になります(A×4ではありません!)。

上のように、四隅と辺に区切るのが方陣算の一番のコツです!

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の中実方陣の最外周の石の数は?
→( (10-1)×4=36 )

タテヨコ一列増やす

一辺A個の中実本陣をタテ・ヨコ一列ずつ増やすのには石が(A×2)+1 個必要です。

区切り図を書きとこうなります。応用問題ではこの図が書けないと解けませんので練習して下さい

確認テスト

一辺7個の中実方陣をタテヨコ一列ずつ増やすのに石が何個必要か?
→( (7×2)+1=15 )

この区切り方を覚えれば、次のような問題も解けます。

応用テスト

碁石を正方形につめて並べたら9個余ったので、タテ・ヨコ1列増やそうとしたら2個足りなかった。碁石は何個ありますか?
→増やす前の方陣の一辺をA個とすると、増やすのに必要なのは(A×2+1)
→増やすのに必要だったのは(余りの9個にあと2個必要だったので9+2=11個  )
→つまり(A×2+1)=11 なので、A=( 5 )。
→( もとの方陣は一辺5個の5×5=25 +余り9 で34個あったことになる。 )

もう一周増やす

一辺A個の中実方陣の「外側にもう『一周』増やす」場合は{(A+1)×4}の石が必要になる。これは公式として覚えるというよりは下の図をイメージして式を作ることができればOKです。

長方形の中実方陣

少し面倒くさくなりますが、根本的な考え方は同じです。

石の数

タテA個ヨコB個の中実方陣に含まれる石の数は「A×B」個です。

確認テスト

タテ8個ヨコ14個の中実方陣に含まれる石の数は?
→( 8×14=112個 )

最外周の石

長方形の最外周には二種類の「区切り」が二つずつできます。まわりの石の数は「(A-1)×2+(B-1)×2」になります。

確認テスト

タテ8個ヨコ14個の中実方陣最外周の石の数は?
→( (8-1)個の区切りと(14-1)個の区切りが2つずつできるので )
→( 7×2+13×2=40個 )

一列ずつ増やす

タテ・ヨコ一列ずつ増やすのには石が A+B+1必要です。

確認テスト

タテ8個ヨコ14個の中実方陣をタテヨコ一列ずつ増やすのに必要な石の数は?
→( 8+14+1=23 )

(応用)拘束式の長方形

「ヨコの数がタテより2個多い」のように、タテヨコのうち一方がもう一方の大きさに拘束される場合です。区切り絵を最大限に活用して、平面図形の問題のように解きます。

最外周の石

例えば「ヨコの数がタテより2個多い中実方陣を作ったら最外周の石が24個だった。石は全部でいくつか」の場合、まず「ヨコの数がタテより2個多い中実方陣」はこうなります。

つぎに最外周の区切りを書くとこうなります。

そして最外周が24個なので…

図BとCを比べると?が分かります。

中実方陣のタテが7ヨコが9と分かったので、石の数は全部で7×9=63個です。

応用確認テスト

中実方陣を作ったらタテの数がヨコの数の3倍になった。最外周の石の数が68個のとき、全部の石の数は?
→タテの長さを?とおいて区切り図を書き、?と68の関係を式にすると、( {(?×8)-8}+4=68 )
→逆算して( ?×8=72 より?=9 )なので、方陣の大きさは( ヨコ9、タテ27 )
→石の数は( 9×27=243 )

 

タテヨコ一列ずつ増やす

例えば「ヨコの数がタテの数より2個多い長方形の中実方陣を作ったら石が9個余ったので、タテヨコを一列づつ増やそうとしたら石が14個不足した」という場合。

まず「ヨコの数がタテの数より2個多い長方形の中実方陣を作ったら石が9個余った」のを図にするとこうなります(図A)。
この後は外に増やすので、さっきと違って「2」で中を区切っています。

次に「タテヨコを一列づつ増やそうとした」計画の図はこうなります(B)

同じ「?」の面積の部分が2個できます。また右下隅の「1」は見慣れていますが、その隣に「2」が出来るのが今までにない特徴ですね。

そして「余った9個とあと14個必要だった」図はこうなるので、

一列ずつ増やすのに23個必要だったと分かります(図C)

B図とC図を比べると、面積の「?」が{23-(2+1)}÷2=10と分かります(図D)

これで長さの「?」も10÷1=10と分かります。これを最初の図Aに書くと石の数が{10×(10+2)}+9=129個と分かります。

応用確認テスト

ヨコの数がタテの数より2個多い長方形の中実方陣を作ったら石が7個余ったので、タテヨコを一列づつ増やそうとしたら石が12個不足した。石の数は?
→区切り絵に分かる個数(面積)を書くと、面積の「?」が( {19-(2+1)}÷2=8 )、長さの「?」は( 8÷1=8 )と分かる。
→石の数は( {8×(8+2)}+7=87個 )

最後に公式の確認テスト

空欄をタッチする(スマホ)かマウスポインタをのせる(パソコン)と答えが表示されます。

中実方陣の公式(タッチで解答表示)
  • 中実方陣の石の数=( タテ×ヨコ )
  • 一辺A個の中実方陣の最外周の石の数
    =( (A-1)×4 )
  • 一辺A個の中実方陣をタテヨコ一列増やすのに必要な石の数
    =( (A×2)+1 )
  • 一辺A個の中実方陣の最外周をもう一週増やすのに必要な石の数
    =( (A+1)×4 )←覚えずともOK

中実方陣は以上です。次は「中空ちゅうくう」方陣です。

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中空方陣

爽茶そうちゃ
中「実」方陣の次は中「空」方陣です。漢字を見れば、様子が想像できるのでは?
中空方陣の公式(最後に確認テストあり)
  • 一辺A個1列の中空方陣の石の数
    =(A-1)×4 個 ←中実方陣の最外周と同じ
  • 一辺A個2列の中空方陣の石の数
    ={2×(A-2)}×4
  • 一辺A個3列の中空方陣の石の数
    ={3×(A-3)}×4
  • 一辺A個で空洞の一辺がB個の中空方陣の石の数
    =(A×A)-(B×B)

中空方陣ちゅうくうほうじんは人や石が内側を空けて正方形や長方形の形に集まった形(戦場でケガ人を中に入れて守ったりする陣形です)

中空方陣の石の数

一列の中空方陣

1列の中空方陣は中実方陣の最外周と同じなので分かりますね。石の数は「(A-1)×4」個です。

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個1列の中空方陣の石の数は?
→( (10-1)×4=9×4=36個 )

2列の中空方陣

2列の中空方陣は「四隅」と「辺」に分けて(図➀)、それらを一組ずつ合わせて区切りを作ります(図➁)。一つの区切りは2×(A-2)の長方形になるので、石の数は{2×(A-2)}×4 になります

例えば「一辺5個2列」の場合に実際の石を書くとこのようになりますが、一辺が多い場合や分からない場合は上のような「区切り絵」を書いて解きます。

確認テスト

一辺10個2列の中空方陣の石の数は?
→( 2×(10-2)の区切りが4つできるので )
→( 2×(10-2)×4=64個 )

3列以上の中空方陣

1列の中空方陣の石の個数を(A-1)×4 としましたが、実は区切りが1×(A-1)の長方形なので、{1×(A-1)}×4 です。そうすると

1列の中空方陣…{1×(A-1)}×4
2列の中空方陣…{2×(A-2)}×4

なので、3列の中空方陣の石は{3×(A-3)}×4 4列なら{4×(A-4)}×4 …と予想できますね。実際それでOKです。

確認テスト

一辺が12個で4列の中空方陣に石は何個あるか?
→一辺12個4列の中空方陣の石は({4×(12-4)}×4 )個
→計算して( 32×4=128個 )

中空方陣の形を求める

今までは中空方陣の形から石の数を求めましたが、今度は反対に石の数から中空方陣の形を求めます。

列数と石の合計→一辺

列数が分かる場合は四隅が分かるので、それを手がかりにします。

確認テスト

96個の石を3列の中空方陣に並べると、一辺は何個になるか?
→一辺を3+?+3に分ける。
→四隅の合計は( 3×3=9個 ×4=36個 )になる
→辺の部分の石の合計は( 96-36=60個 )
→辺一つは( 60÷4=15個 )の石を含む長方形
→?=( 15÷3=5 )なので一辺は( 3+5+3=11個 )

一辺と石の合計→列数

一辺が分かる場合は中実方陣とした場合の個数がわかるので、実際の石との差が中の空洞になります。

この時使う公式が、一辺A個で空洞の一辺がB個の中空方陣の石の数=(A×A)-(B×B) です。

この式を使う練習をします。

確認テスト

96個の石を一辺11個の中空方陣にすると、何列になるか?
→中の空洞の一辺を?とする。
→一辺11個の中実方陣だとすると石の数は( 11×11=121個 )
→実際の96個との差( 121-96=25個 )が中の空洞
→( 25=5×5 )なので、中の空洞の一辺?=( 5個 )と分かる。
→方陣の一辺11から?=( 5 )を引いた残りの( 半分 )が列の大きさなので、列=(11-5)÷2=3

長方形の中空方陣

 

最後に公式の確認テスト

空欄をタッチする(スマホ)かマウスポインタをのせる(パソコン)と答えが表示されます。

中空方陣の公式(タッチで解答表示)
  • 一辺A個1列の中空方陣の石の数
    =( (A-1)×4 )
  • 一辺A個2列の中空方陣の石の数
    =( {2×(A-2)}×4 )
  • 一辺A個3列の中空方陣の石の数
    =( {3×(A-3)}×4 )
  • 一辺A個で空洞の一辺がB個の中空方陣の石の数
    =( (A×A)-(B×B) )

中空方陣は以上です。次は三角形の形に石を並べる問題です。

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ピラミッド算
(三角形に石を積む)

爽茶そうちゃ
今度は、石を三角形に並べます。丸太を積んでいるのを正面から見て、木の断面の年輪が見えているような?イメージです。
ピラミッド算の公式(最後に確認テストあり)
  • N段ピラミッドの最底辺の石の個数=N
  • N段ピラミッドの石の合計
    =N×(N+1)÷2  ←等差数列の合計
  • N段ピラミッド(Nは奇数)の奇数段だけの石の合計
    →Nは{(N+1)÷2}=M番目の奇数なので
    =M×M ←平方数になる
  • N段のピラミッドの最外周の石の個数
    =(N-1)×3  ←方陣と同じ考え方
  • N段のピラミッドの最外周をもう一周増やすのに必要な石の数
    =(N+2)×3  ←暗記しなくとも良い

組体操で作るピラミッドのように石を三角形に積んでいきます。

最下段の石の数

一番下の段の石の数は段数と同じになっているので、N段のピラミッドの最下段の石の数はN個です。

確認テスト(タッチで解答表示)

15段のピラミッドの最下段の石は何個?
→( 15 )

石の合計

全部の合計

上で見たように、1、3、6…と増えていきます(この数を三角数という)が、これを計算で求めます。

N段のピラミッドの石の合計は、1+2+3+…N 個になり、これは等差数列の和と同じ考え方で、N×(N+1)÷2と計算できます。

等差数列の合計=(はじめの数+N番目の数)×N÷2 で、N団のピラミッドは「はじめの数」=1、「N番目の数」=N なので、(1+N)×N÷2 になります。ここでは覚えやすいようにN段のピラミッドの石の合計は N×(N+1)÷2 としておきます。

よく分からない人は「等差数列の和」を見て下さい。

確認テスト

15段ピラミッドの石の合計は?
→( 15×(15+1)÷2=120 )

一段おきの合計

一段おきに(奇数段だけ)石を足していくと「平方数(四角数)」になります。

Nが奇数の時、N段ピラミッドは奇数では(N+1)÷2番目のピラミッドになっているので、N段ピラミッドの奇数段の合計は{(N+1)÷2}×{(N+1)÷2} になります。
この公式はおぼえるというよりも問題が解ければいいですよ。

確認テスト

奇数段は黒い石、偶数段は白い石で15段のピラミッドを作る時、黒い石は何個か?
→( 15段ピラミッドは奇数では(15+1)÷2=8番目のピラミッドなので、その奇数段(黒い石)の合計は8×8=64 )

確認テスト

さっきの15段ピラミッドの白い石の個数は?
→( 15段ピラミッドの全部の石の合計は15×(15+1)÷2=120で、黒い石が64個あるから、白い石は120-64=56 )

最外周の石の数

これは方陣と同じような「区切り」を考えれば良いですね。

N段のピラミッドの最外周の石は (N-1)×3 と分かります。

確認テスト

15段ピラミッドの最外周の石の個数は?
→( (15-1)×3=42 )

最後に公式の確認テスト

ピラミッド算の公式(タッチで解答表示)
  • N段ピラミッドの最底辺の石の個数=( N )
  • N段ピラミッドの石の合計
    =( N×(N+1)÷2 )
  • N段ピラミッド(Nは奇数)の奇数段だけの石の合計
    →Nは{(N+1)÷2}=M番目の奇数で
    =( M×M )
  • N段のピラミッドの最外周の石の個数
    =( (N-1)×3 )
  • N段のピラミッドの最外周をもう一周増やすのに必要な石の数
    =( (N+2)×3 )

ピラミッド算は以上です。次は石を多角形の形に並べる問題です。

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石を多角形型に並べる

爽茶そうちゃ
最後は石を五角形や六角形に並べます。実は形だけでなく、石の並べ方が今までと違います。
多角形並べの公式(最後に確認テスト)
  • 一辺A個のN角形に石を並べると、中心の1個以外の石を(A-1)段のピラミッドがN個に分割できる。
  • 一辺A個のN角形に石を並べると、石の合計は [{(A-1)×A÷2}×N]+1になる。←作ることができればOK
  • 一辺A個のN角形に石を並べると、最外周の石は(A-1)×N個になる

石を五角形・六角形など多角形の形に並べると下のようになります。

多角形並べの特徴

上で説明した「方陣」「ピラミッド」との違いを理解すると問題が解きやすいです。

この「多角形並べ」は中心に必ず1個の石(へそ)があります。

上で見た「方陣」や「ピラミッド」には中心が無いこともあります。

多角形並べの石の数

上の図のままだと何個あるのか数えてなんていられないので、工夫をします。中心となる石(へそ)以外の石をピラミッド」に分解します。

このピラミッドは多角形の辺の長さよりも1個少ない段になります。

上の図のような一辺4個の五角形の場合、ピラミッドは4-1=3段になります。
N段のピラミッドの石の数は「N×(N+1)÷2」でしたから、3段のピラミッドには3×(3+1)÷2=6個の石があって、これが5セット30個あります。
さらに中心の「へそ」1個を加えた31個が石の合計になります。

まとめると、一辺A個のN角形並べの石の合計は [{(A-1)×A÷2}×N]+1 になります。(この公式は覚えるというよりも作ることができればOKです。)

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の六角形に並べた石の数の合計は?
→へそ石1個と( 10-1=9段のピラミッド6個に分割できる。)
→ピラミッド1つに含まれる石は( 9×(9+1)÷2=45個 )なので
→合計は( (45×6)+1=271個 )

多角形並べの最外周の石

これは方陣と同じように「最外周の区切り絵」を書くと分かります。

((方陣、五角形並べ、六角形並べの「実体図」と「区切り絵」))

一辺6の五角形の場合は最外周に5個の石を含む区切りが5個できるので(6-1)×5=25個、一辺6の六角形の場合は最外周に5個の石を含む区切りが6個できるので(6-1)×6=30個になります。

つまり、一辺がA個のN角形並べでは、最外周には(A-1)個の石を含む区切りがN個できるので、最外周の石の数は (A-1)×N個 になります。

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の正七角形に並べた石の最外周の石の数は?
→最外周には( (10-1)=9個 )の石を含む区切りが( 7個 )できる
→最外周の石の数は( 9×7=63個 )

方陣算が分かりましたか?

爽茶そうちゃ

最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたやお子様の役に立てたなら嬉しいです。

他の規則性の問題も見てくださいね。

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◇規則性
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