概数の応用問題(小学生の算数)~概数同士の和と差

「概数の応用問題にチャレンジしたい!」という小学4年生・中学受験生の方、お任せ下さい!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が入試でも出題される「概数同士の和と差」の問題を数直線で分かりやすく説明します!この記事を読めば似た問題がスラスラ解けるようになりますよ!

概数の基本が怪しい人はまず「四捨五入のやり方」を読んで下さい。

がい数の応用問題
概数の和と差
(整数の指定あり)

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

概数は、一見とっつきづらそうですが、一度理解し、手順を暗記すれば算数が苦手な生徒さんでも比較的安定した得点源にできる分野です。頑張って身につけて下さい!

考え方を理解♪

概数同士を足した大きさ(和)や引いた大きさ(差)を考える問題です。大きさに幅がある概数同士を足したり引いたりするので、結果にも当然幅が出来るのは予想できますね。

「整数」という指定がある場合とない場合で処理が異なるので、順に説明します。まずは概数に「整数」という指定がある場合です。まず例題で考え方を理解しましょう。

例題1(整数指定の和の最大最小)

以下の問いに答えなさい。

  1. Aが4以上8以下の整数でBは10以上12以下の整数である時、A+Bの最小・最大を求めよ
  2. Aが4以上8未満の整数でBは10以上12未満の整数である時、A+Bの最小・最大を求めよ
  3. Aが4以上8以下の整数でBは10以上12未満の整数である時、A+Bの最小・最大を求めよ
ヒント

AとBが「整数」という指定があるので、AとBの最小値と最大値がハッキリと決まります。
したがってA+Bの最小・最大も値としてハッキリ決まります。

●例題1-(1)
Aが4以上8以下の整数でBは10以上12以下の整数である時、A+Bの最小・最大を求めよ
図解

AとBの範囲を数直線上に表してみます。●は「以上」「以下」を、◯は「より大きい」「未満」を表します。忘れた人は((参考記事))を見直して下さい。

Aの最小値は4,最大値は8で、Bの最小値は10,最大値は12です。

 

したがって、A+Bの最小値は、最小値同士を足して4+10=14,A+Bの最大値は最大値同士を足して8+12=20と分かります。

答: 最小値14最大値20

このように、整数指定がある2つの概数の和の最大・最小は、最大値同士最小値同士を合計すれば分かります。

2つの概数の和の最小・最大

概数の最小値同士、最大値同士で、概数の和の最小値、最大値を求められる。
((図))
(例)ABが整数で、4≦A≦8,10≦B≦12の時
→A+Bの最小値14,最大値20

小問2は範囲が変わります。

●例題1-(2)
Aが4以上8未満の整数でBは10以上12未満の整数である時、A+Bの範囲を求めよ
図解

Aの最小値は4,最大値は7です(8未満なので)、Bの最小値は10,最大値は11です(12未満なので)。

 

A+Bの最小値は、最小値同士を足して4+10=14,A+Bの最大値は最大値同士を足して7+11=18と分かります。

答: 最小値14最大値18

●例題1-(3)
Aが4以上8以下の整数でBは10以上12未満の整数である時、A+Bの範囲を求めよ
ヒント

分かってきましたか?

図解

Aの最小値は4,最大値は8です(以下なので)、Bの最小値は10,最大値は11です(未満なので)。

A+Bの最小値は、最小値同士を足して4+10=14です。一方、A+Bの最大値は最大値同士を足して8+11=19です。

答: 最小値14最大値19

ABの最小同士、最大同士を足せば、何とかなりますね!では、問題を解いてみましょう。

練習問題で定着!

類題1

十の位を四捨五入すると900になる整数Aと2000になる整数Bがある。AとBの和の最大と最小を求めなさい
ヒント

今度は範囲を出す必要があります。四捨五入の結果から元の数字の範囲を出す必要があります。やり方を忘れた人は、標準問題2(がい数の単純復元)を見直して下さい。

図解
Aの範囲と最小値・最大値は?

Aは850以上950未満なので、Aの最小値は850,最大値は949です。

Bの範囲と最小値・最大値は?

Bは1950以上2050未満なので、Bの最小値は1950,最大値は2049です。

A+Bの最小・最大は?

A+Bの最小値はAの最小値850+Bの最小値1950=2800です。一方、A+Bの最大値はAの最大値949+Bの最大値2049=2998です

答: 最小値2800最大値2998

以上で概数の和の問題は終了です。できましたか?

引き算の場合

次は概数AとBの差(引き算)です。まず考え方を理解して下さい。

例題2(整数指定の差の最大最小)

以下の問いに答えなさい。

  1. Aが4以上8以下の整数でBは10以上12以下の整数である時、B-Aの最小・最大を求めよ
  2. Aが4以上8未満の整数でBは10以上12未満の整数である時、B-Aの範囲を求めよ
  3. Aが4以上8以下の整数でBは10以上12未満の整数である時、B-Aの範囲を求めよ
ヒント

引き算(B-A)の場合は、ABの最小最大を同じ数直線上に並べて考えます。

●例題2-(1)
Aが4以上8以下の整数でBは10以上12以下の整数である時、B-Aの最小・最大を求めよ
図解

AとBの範囲と最小・最大は例題1と同じです。

B-Aが最小・最大になるのはどういう場合か、今度はABの最小最大を同じ数直線上に並べて考えます。

数直線上で2つの◆■の間の距離が一番短くなる場合が最小、一番長くなるのが最大です。どうなるでしょうか?

解答を表示

こうなりますね。一番近い同士を組み合わせすると差が最小に、一番遠い同士を組み合わせると差が最大になります。

B-Aの最小は、Bの最小10-Aの最大8=2です。一方、B-Aの最大は、Bの最大12-Aの最小4=8です。

答: 最小最大8

●例題2-(2)
Aが4以上8未満の整数でBは10以上12未満の整数である時、B-Aの範囲を求めよ
図解

ABの範囲と最小・最大は例題1のときと同じ

B-Aが最小・最大になるのはどういう場合か、さっきと同様に考えると?

解答を表示

B-Aの最小は一番近い点同士の組み合わせ(差)で、Bの最小10-Aの最大7=3です。一方、B-Aの最大は一番遠い点同士の組み合わせ(差)、Bの最大11-Aの最小4=7です。

答: 最小最大7

●例題2-(3)
Aが4以上8以下の整数でBは10以上12未満の整数である時、B-Aの範囲を求めよ
図解

ABの範囲と最小・最大は例題1のときと同じ

B-Aが最小・最大になるのはどういう場合か、さっきと同様に考えると、

解答を表示

B-Aの最小は一番近い点同士、Bの最小10-Aの最大8=2です。一方、B-Aの最大は一番遠い点同士、Bの最大11-Aの最小4=7です。

答: 最小最大7

 

このように、概数の引き算は2つの数の最大最小の点を4つ並べて、一番近い点同士の差、一番遠い点同士の差を求めれば良いのです。

概数同士の差

最大最小の点を4つ並べて、一番近い点同士の差、一番遠い点同士の差を求めれば良い

では、類題で練習して下さい。

類題2

十の位を四捨五入すると900になる整数Aと2000になる整数Bがある。AとBの差の最大と最小を求めなさい
ヒント

ここに考えるヒントや方針

図解
解答を表示
AとBそれぞれの最小・最大は?

Aは850以上950未満なので、Aの最小値は850,最大値は949。Bは1950以上2050未満なので、Bの最小値は1950,最大値は2049。

B-Aの最小値・最大値は?

B-Aの最小値はBの最小値1950-Aの最大値949=1001です。一方、B-Aの最大値はBの最大値2049-Aの最小値850=1199です

答: 最小値1001最大値1199

最後に足し算・引き算が混じった練習問題です。

練習問題1&2

十の位までの概数にすると630になる整数Aと170になる整数Bがある。以下の問いに答えよ
(1)A+Bの最大・最小を求めよ
(2)A-Bの最大・最小を求めよ
図解
解答を表示

Aの範囲は625以上635未満、Bの範囲は165以上175未満。

Aは最小625最大634で、Bは最小165最大174。

A+Bの最小は625+165=790 最大は634+174=808

答(1): 最小790,最大808

A-Bの最小は625-174=451 最大は634-165=469

答(2): 最小451,最大469

これで「整数指定のある」問題は終了です!お疲れ様でした!!

がい数の応用問題
概数の和と差
(整数との指定なし)

次は「整数指定が無い」場合です。この場合は、最大・最小がハッキリ求められない場合があります。そのため、ここでは範囲を求める問題にしました。例題で処理手順に慣れてください

考え方を理解する♪

例題3(整数指定無しの和の範囲)

以下の問いに答えなさい。

  1. Aが4以上8以下でBは10以上12以下の時、A+Bの範囲を求めよ
  2. Aが4以上8未満でBは10以上12未満の時、A+Bの範囲を求めよ
  3. Aが4以上8以下でBは10以上12未満の時、A+Bの範囲を求めよ
●例題1-(1)
Aが4以上8以下でBは10以上12以下の時、A+Bの範囲を求めよ
図解

A+Bが一番大きくなるのはAの最大とBの最大を足した時、つまり 8+12=20です。一方、A+Bが一番小さくなるのはAの最小とBの最小を足した時、つまり 4+10=14です。

答: 14以上20以下

この場合は最小14最大20と答えられるので、整数指定があるのと同じ答えになります。次の小問は、条件が少し変わっています。どうなるでしょうか

●例題1-(2)
Aが4以上8未満でBは10以上12未満の時、A+Bの範囲を求めよ
図解

今度は「未満」なので、Aは最大でも 8にはギリギリなれず(◯になっています)、Bも最大でも12にギリギリなれません(◯になっています)。よって、A+Bは一番大きくなっても 8+12=20 にはギリギリなれません(20未満(◯)ということ)

一方、A+Bが一番小さくなるのは 4+10 で小問1と変わりません。

答: 14以上20未満

このように、整数指定が無い2つの概数の和の範囲は、概数の範囲の一番左(下限と言います)と一番右(上限と言います)同士を足したものになりますが、概数の範囲の端が●か◯かをよく見ないといけません。

2つの概数の和の範囲

概数の範囲の下限(左端)同士上限(右端)同士、を足すと和の範囲が出る
((図))
(例)4≦A≦8,10≦B≦12の時
→14≦A+B≦20

次はこういう場合です。

●例題1-(3)
Aが4以上8以下でBは10以上12未満の時、A+Bの範囲を求めよ
ヒント

今度は、Bだけが未満になっています。この場合はどうなるでしょうか?

図解

Aは最大で8になれますが、Bは最大でもギリギリ12にはなれません。よってA+Bの最大もギリギリ20にはなれません(未満(◯)ということ)。最小は小問(1)(2)と同じで 4+10 で14です。

答: 14以上20未満

考え方は分かりましたか?では、問題を解いてみましょう。

練習問題で定着!

類題3

10の位までの概数にすると20になるAと10の位までの概数にすると70になるBがある。A+Bの最小と最大を求めよ。
ヒント

まず、AとBそれぞれの範囲を求めましょう。あとは例題と同じです。

図解

まずAの範囲とBの範囲を求めます。

答を表示

Aは15以上25未満、Bは65以上75未満です。

これが分からない人は標準問題2(がい数の単純復元)を見直して下さい


次にA+Bの範囲を求めます。例題で見たとおり、A+Bが一番小さくなるのはAもBも一番小さい時で、A+Bが一番大きくなるのはAもBも一番大きい時でした。計算してみましょう。

A+Bの範囲を表示

下限同士は 15+65=80、上限同士は 25+75=100 より、A+Bの範囲は80以上100未満と分かります。

答: 80以上 100未満

分かりましたか?次は差の問題です

差の場合

例題4(整数指定無しの差の範囲)

以下の問いに答えなさい。

  1. Aは4以上8以下、Bは10以上12以下の時、B-Aの範囲を求めよ
  2. Aは4以上8未満、Bは10以上12未満の時、B-Aの範囲を求めよ
  3. Aは4以上8以下、Bは10以上12未満の時、B-Aの範囲を求めよ
●例題1-(1)
Aは4以上8以下、Bは10以上12以下の時、B-Aの範囲を求めよ
図解

AとBの範囲は例題1と同じですが、引き算なので横に並べてみます。

例題2で見たように、B-Aは2つの点の距離なので、B-Aが最小になるのは近い点同士の差で、Bの最小10-Aの最大8=2です。一方、B-Aが最大になるのは遠い点同士の差で、Bの最大12-Aの最小4=8 です。

答: 2以上8以下

このように差を求める場合は最小と最大同士を引き算します。

2つの概数の差の範囲

B-Aの範囲は
「Bの最小-Aの最大」から
「Bの最大-Aの最小」になる
((図))
(例)4≦A≦8,10≦B≦12の時
→2≦B-A≦8

次の小問は、条件が少し変わっています。どうなるでしょうか

●例題1-(2)
Aは4以上8未満、Bは10以上12未満の時、B-Aの範囲を求めよ
図解

Bの最小-Aの最大は、10-8 ですが、Aはギリギリ8になれない(7.~ということ)ので、Bの最小-Aの最大は2「より大きく」なります(図だと◯)。
Bの最大-Aの最小は、12-4ですが、Bはギリギリ12になれないので、Bの最大-Aの最小は8「未満」です(図では◯)

答: 2より大きく8未満

 

●例題1-(3)
Aは4以上8以下、Bは10以上12未満の時、B-Aの範囲を求めよ
ヒント

今度は、Bだけが未満になっていますが、もう分かりますね?

図解

Bの最小-Aの最大は、10-8 で、Aは8になれるので、Bの最小-Aの最大は2「以上」です(図だと●)。
Bの最大-Aの最小は、12-4ですが、Bはギリギリ12になれない(◯)ので、Bの最大-Aの最小は8「未満」です(図では◯)

答: 2以上8未満

考え方は分かりましたか?では、問題を解いてみましょう。

類題4

10の位までの概数にすると20になるAと10の位までの概数にすると70になるBがある。B-Aの最小と最大を求めよ。
ヒント

ここに考えるヒントや方針

図解
解答を表示

AとBの範囲は類題1と同じですが、差を求めるので同じ数直線上に並べてみます。


B-Aの最小と最大はいくつになるでしょうか?

解答を表示
B-Aが小さくなるのは「Bの最小65」から「Aの最大25」を引いた時です。その差は 65-25=40 です。

同様にB-Aが大きくなるのは「Bの最大75」から「Aの最小15」を引いた時で、その差は 75-15=60と分かります。

しかし、ここで注意が必要です。「以上」(黒丸)と「未満」(白丸)を足したり引いたりした場合、計算の答えは「未満」や「より大きい」(両方とも白丸)になります。
従って
B-Aの範囲は「40『より大きく』60未満」になります。

答: 40より大きく60未満

以上で「整数指定が無い」場合も終了です。お疲れさまでした!

次のステップへ

爽茶そうちゃ

今回で「大きな数・小数・概数」はひとまず終了です。

「大きな数」は補充したいと思っています(2018//)

最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたとお子様の役に立てたなら嬉しいです!

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