【小学生】3つの数の最小公倍数・最大公約数の求め方
特殊なすだれ算も図で解説【中学受験】

「三つの数のすだれ算で最大公約数と最小公倍数を出す方法がよく分からない!」という中学受験生の方、確かに三つの場合は少し面倒くさいです…でも安心して下さい!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすくまとめます!

すだれ算がよく分からない人は「倍数約数まとめ」内の「すだれ算」を読んで下さい。

なお、記事の終わりでプリントがダウンロードできます。

三つの数の
最大公約数・最小公倍数
(素因数分解)

 

爽茶そうちゃ

こんにちは!図解講師の爽茶です(2018//)。

まずは、素因数分解を使った解法です。前回と考え方は同じなので、気楽に解きましょう♪

例題1

12と18と30の最大公約数と最小公倍数を求めたい

  1. 12と18と30を素因数分解の形にして、約数ごとにタテにそろえて横に並べなさい。
  2. 今作った「横並び」を元に、最大公約数を求めなさい
  3. 最小公倍数を求めなさい。
●1-(1)
12と18と30を素因数分解の形にして、約数ごとにタテにそろえて横に並べなさい。
ヒント

前回、12と18を因数分解して並べたのが下の図です。共通する素因数(約数)の「2」と「3」が一つずつタテにそろえられているのが分かります(太字の数)。コレを参考にして下さい。

図解
解説と解答を表示

30を素因数分解すると、30=2×3×5 ですね。
(これが分からない人はココを見て下さい)

12と18と30に共通する素因数は「2」と「3」なので、その2つをタテにそろえて横に並べるとこうなります↓

この図を使えば、色んなことが分かります。

●1-(2)
今作った「横並び」を元に、12と18と30の最大公約数を求めなさい
ヒント

いくつかの数が共通して持つ素因数をかけたものが最大公約数になります。

12と18の場合は、タテにそろった共通する素因数は「2」と「3」なので、2×3=6が最大公約数になります。

図解
解説と解答を表示

12と18と30が共通して持つ(タテにそろっている)素因数は「2」と「3」なので、それらをかけ合わせた6が最大公約数になります(たまたま同じ答えになりました)

答: 6

この図を使うとまだ分かることがありますね。

●1-(3)
12と18と30の最小公倍数を求めなさい
ヒント

いくつかの数がもつ全種類の素因数の積が最小公倍数になります。

12と18の場合は、登場する全ての因数をかけ算して最小公倍数は36になりました。

図解
解説と解答を表示

12と18と30が持つ素因数を全種類かけ合わせて、最小公倍数は180になります。

答: 180

爽茶そうちゃ
素因数と公約数・公倍数の関係が分かりましたね?
次は、同じ事をすだれ算でやってみましょう!

 

三つの数のすだれ算
(通常型)

爽茶そうちゃ
すだれ算は先程の因数分解と形は違いますが、やっていることは実は同じです。

解法を理解しよう♪

例題2

12と18と30の最大公約数と最小公倍数を「すだれ算」で求めなさい
ヒント

12と18の場合は、すだれ算はこうなりました。

2)12 18
3)  6   9
2   3

 

図解
すだれ算を表示

まず、12と18と30を並べて書き…

)12 18 30

12と18と30を全部割り切れるできるだけ小さい素数を考えます…2ですね。12と18と30を2で割り、答えを下に書きます。

2)12 18 30
6   9 15


次は、6と9と15を全部割り切れる一番小さな素数を考えます…3ですね。6と9と15を3で割り、答えを下に書きます

2)12 18 30
3)  6   9 15
2   3   5

2と3と5は全部が素数なのでもう割れません。ここで終了です!

では、最大公約数と最小公倍数を答えて下さい。

解答を表示
2)12 18 30
3)  6   9 15
2   3   5
(最大公約数)
2
×3
(最小公倍数)
2
×3×2×3×5

左に並んでいるのが12と18と30に共通する素因数なので、その積が最大公約数,左と下に並んでいるのが全種類の素因数なので、その積が最小公倍数になります。

答: 最大公約数6,最小公倍数180

さっきやった素因数分解式の図はこうでした。同じ計算になっています。

このように、三数といっても二数の場合と違いはありませんね♪
さっそく、類題で練習しましょう!
( ・`ω・´)

練習問題で定着!

類題2-1

54,90,126の最大公約数と最小公倍数を求めなさい
ヒント
すだれ算を表示
2)54  90 126
3)27  45   63
3)  9  15   21
3   5     7
図解
解答を表示

すだれ算が分かれば

2)54  90 126
3)27  45   63
3)  9  15   21
3   5     7
(最大公約数)
2×3×3
(最小公倍数)
2×3×3×3×3×7

答えは分かりますね。

答: 最大公約数18,最小公倍数1890

 

類題2-2

300,750,1050の最大公約数と最小公倍数を求めなさい
ヒント
すだれ算を表示
2)300 750 1050
3)150 375   525
5) 50  125   175
5) 10    25     35
2     5       7
図解
解答を表示

すだれ算ができれば

2)300 750 1050
3)150 375   525
5) 50  125   175
5) 10    25     35
2     5       7
(最大公約数)
2×3×5×5
(最小公倍数)
2×3×5×5×2×5×7

答えは分かりますね。最小公倍数のかけ算が少し面倒くさかったかもしれませんね

答: 最大公約数150,最小公倍数10500

爽茶そうちゃ
これで「基本」は終了です。実は、この後が今日の本題です…

三つの数のすだれ算
(変則)

爽茶そうちゃ
今度は、さっきのようにサクサクと行かない場合です。

「変則」すだれ算を理解する

例題3

14,20,30の最大公約数と最小公倍数を「すだれ算」で求めなさい
ヒント

どこが「変則」かを理解して下さい

図解

とりあえず、すだれ算を始めてみましょう

)14 20 30


14,20,30全部を割れる最小の素数…2で割ります

2)14 20 30
7 10 15

7と10と15の全部を割れる素数…無いですね。では、これで終了!
と思いきやまだ終わりではないのです!!

7と10と15の全部を割れる素数はありませんが、10と15の2つなら5で割れますね。5で割りましょう

ただし!この「5」は全部を割れる数ではないのでカッコの中に書いておきます

二つの数しか割れない
場合はカッコに入れる
2)14 20 30
(5))  7 10 15


そして、7は5で割れないので、そのまま下におろします

割ることができない数は
そのまま下におろす
2)14 20 30
(5))  7 10 15
7 10 15


10と15は5で割った答えを下に書きます。

2)14 20 30
(5))  7 10 15
7   2   3

7,2,3は全部素数なので今度こそ、完了です!

このように、途中で二数しか割れない素数が出てきた場合はちょっと特殊なやり方(変則すだれ算)になるのです。
そして、この場合の最大公約数に(5)は入れてはダメ!です。なぜなら、三数に共通な数では無いからです。

ただ、(5)も最小公倍数の式には入れます。20と30の約数ではあるからです。

というわけで、こうなります。

2)14 20 30
(5)) 7 10 15
7   2   3
(最大公約数)
2

(最小公倍数)
2
×(5)×7×2×3

()無しの左の積が最大公約数で、左と下の積が最小公倍数

答: 最大公約数2,最小公倍数420

これが変則すだれ算です。

変則すだれ算


二つの数しか割れない場合、最大公約数に注意

ちょっと紛らわしいですね…
(^_^;)
類題で練習して身につけて下さい。

練習問題で定着!

類題3-1

24,30,36の最大公約数と最小公倍数を「すだれ算」で求めなさい
ヒント

❶二数しか割れない数はカッコに入れる。
❷割ることが出来ない数はそのまま下に
ですよ

図解
すだれ算を表示

はじめに2で割った後は、三数を割れる素数がありません
(>_<)

2)24 30 36
12 15 18


しょうがないので、2で12と18を割って、15はそのまま下におろします。この2をカッコにいれるのを忘れずに!

2)24 30 36
(2))12 15 18
6 15   9


今度は、3で全部割れます

2)24 30 36
(2))12 15 18
3)  6 15   9
2   5   3

全部素数になったので、完了です!

これで答えが分かりますね

解答を表示

最大公約数は(2)は入れないので「2×3」になりますが、最小公倍数は(2)を入れるので「2×(2)×3×2×5×3」になります。

答: 最大公約数6,最小公倍数360

 

できましたか?もう一問やってみましょう。

類題3-2

42,60,90の最大公約数と最小公倍数を「すだれ算」で求めなさい
図解
すだれ算を表示

最後の5が二数しか割れないので、

2)42 60 90
3)21 30 45
(5)) 7 10 15
2   3

5をカッコに入れて、7はそのまま下ろします。

これで答えが分かりますね

解答を表示

答: 最大公約数6,最小公倍数1260

ここまでは慣れてもらうために「2」で三数を割ることができるような問題にしてきました。

慣れてきたら「2」で三数を割れない場合も、あせらずに二数を割れないか検討して下さい。

類題3-3

18,30,45の最大公約数と最小公倍数を「すだれ算」で求めなさい
ヒント

一番小さい素数「2」から検討していきましょう

図解
解答を表示

いきなり2で三数を割れませんが、二数は割れるのでカッコに入れて割り算します。割れない45はそのまま下へ。

(2))18 30 45
9 15 45

さらに進んでいくと、二数しか割れないのが連続しますが、落ち着いて丁寧に処理しましょう。

(2))18 30 45
3 9 15 45
(3))  3  5  15
1  5   5

面倒くさい問題でした。

(2))18 30 45
3 9 15 45
(3))  3  5  15
(5))   1  5   5
1   1

三数を共通して割れるのは二段目の3しかありませんでした…

最大公約数は3で、最小公倍数は全部の数をかけるので、(2)×3×(3)×(5)×1×1×1=90 です。

答: 最大公約数3,最小公倍数90

爽茶そうちゃ
これで、変則すだれ算の説明も終了です!お疲れ様でした。

まとめと
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この記事のまとめ

三数のすだれ算(最大公約数・最小公倍数)
二数しか割れない素数がある場合に最大公約数に注意!
三つの数の最大公約数と最小公倍数の求め方。変則のすだれ算

()無しの左の積が最大公約数
左と下の積が最小公倍数 

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三数すだれ算(問題)

三数すだれ算(解説)

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爽茶そうちゃ
応用編は少し面倒だったかもしれませんが、3つの数の公約公倍数の求め方は理解できたと思います。
約数倍数のまとめ」から応用問題にチャレンジしてみて下さい
最後まで読んでいただきありがとうございました!
この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです。
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